解答题专训15 圆锥曲线的证明探索问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型通法-分层训练”构建圆锥曲线证明探索问题突破体系，聚焦数学思维与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|4类核心技巧|证明问题直接法、定点探索特殊值/参数分离法、定值问题韦达代换/特殊验证法、存在性问题方程求解/数形结合|从圆锥曲线定义性质出发，通过代数运算（韦达定理、参数方程）实现几何关系证明与探索| |题型通法|4题型（各含例题+2变式）|证明问题（位置/数量关系）、定点/定值/定线探索问题|题型与方法一一对应，典例覆盖椭圆、抛物线等核心曲线，变式拓展参数范围与条件设置| |分层过关练|16题（巩固12+创新4）|综合应用上述方法解决复杂情境问题|从基础运算到创新探究，逐步提升数学语言表达与模型观念，契合一轮复习螺旋上升需求|

解答题专训15 圆锥曲线的证明探索问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 圆锥曲线证明问题 2 题型2 圆锥曲线定点的探索问题 5 题型3 圆锥曲线定值的探索问题 9 题型4 圆锥曲线定线的探索问题 12 重难专题分层过关练 16 巩固过关 16 创新提升 30 解题方法及技巧提炼 1.圆锥曲线中的证明问题常见策略 (1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等. (2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明. 2.定点存在性问题技巧 （1）特殊值法：取参数的两个特殊值（如不同斜率），求对应直线交点，再验证该交点是否在所有动直线上 （2）参数分离法：将直线方程整理为 “参数 ×（含的式子） + （含的式子） = 0”，令两式均为 0，解出定点 3.定值存在性问题技巧 （1）目标表达式化简：将斜率、向量、面积等目标表达式用韦达定理整体代换，避免单独求解交点坐标 （2）特殊位置验证：先取特殊点（如顶点、焦点）或特殊直线（如对称轴、切线）计算定值，再证明该值对任意情况成立 4.点、线、曲线存在性问题技巧 （1）方程求解法：将存在性条件转化为关于参数的方程，若方程有解则存在，无解则不存在（如 “存在点” 转化为方程有实根） （2）数形结合法：画出圆锥曲线与目标元素的大致图象，通过直观分析判断是否存在交点或满足条件的位置 题型通法及变式提升 题型1 圆锥曲线证明问题 【例1】（2026·北京朝阳·二模）已知椭圆的长轴长与短轴长之和为6，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点分别为椭圆上位于第一象限，第二象限内的点，且．当点满足时，证明：点在椭圆上． 【解】（1）由题意得： ，解得，，所以椭圆的方程为. （2）设点，由向量关系，得的坐标为： ，， 要证点在椭圆上，只需证，展开计算： 因为点在椭圆上，故 ， 同理，代入得： ，​ 接下来证明： 由题​​，代入点的椭圆方程 得： ， 又点满足，故。 由点在第一象限得，点在第二象限得， 故，将​代入得： . 因此 满足椭圆方程，故点在椭圆上，得证 . 【变式1】（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【解】（1）由点在椭圆C上，得， 而左焦点为，则，即，解得， 则椭圆C的方程为. （2）由题意，直线的斜率显然存在且不为0， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则，即或， 且，则， 而 ， ，故. 【变式2】（2026·北京丰台·一模）已知椭圆的一个顶点为，焦距为2． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由． 【解】（1）根据已知可得， 所以， 所以椭圆E的方程为. （2）由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧， 设直线的方程为，，不妨设， 则 由得 所以 因为， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则应有解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. 题型2 圆锥曲线定点的探索问题 【例2】（2026·北京昌平·一模）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【解】（1）由题意得，，，则， 则椭圆的方程为； （2）因为在椭圆上，且点与点关于轴对称， 所以，， 则直线，令，则，则， 直线，令，则，则， 设，则， 因为，所以，得， 因为，所以，故. 【变式1】（2026·北京顺义·一模）已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 【解】（1）由椭圆性质，左右顶点距离，得； 焦距，得； 由椭圆关系， 因此椭圆的方程为：； （2）不存在满足条件的点， 理由如下：由题意得，设， 中点坐标为，直线的斜率方程为，令得， 直线的斜率方程为， 若，则，而，故， 将代入化简得：， 因为在椭圆上，代入椭圆方程，结合在椭圆上满足，化简最终得：， 此时与重合，不符合“不同于”的条件，因此不存在满足条件的点. 【变式2】（2026·北京密云一模）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 题型3 圆锥曲线定值的探索问题 【例3】（2026·黑龙江牡丹江二模）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设，，， 由，化简得（）. （2） 设直线l：，代入得：， 整理得： 设，， 因为，均在双曲线的右支上，所以，且， 所以，. （ⅰ）所以， ，可得， ∴直线的方程为：. （ⅱ）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以， 此时. 所以存在点，使得为定值. 【变式1】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为，所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线：，代入得： ， 整理得：. 设，， 因为均在的右支上，所以，且，所以， . 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以. 此时. 所以存在点，使得为定值. 【变式2】（25-26高三上·北京通州·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意得 解得，所以的方程为. （2）设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以. （3）由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值.    题型4 圆锥曲线定线的探索问题 【例4】（2026·北京石景山·二模）已知椭圆C：的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，，直线l平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l使得A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由已知可得，解得． 故椭圆C的方程为． （2）据题意，假设存在平行于AB的直线l， 设直线l的方程为，设，， 联立，得， ，即， ，， 因为以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形， 所以，即成立， ，， ， ， 整理得． 代入， 得，即或， 当时，，则， 又因为，解得． 当时，直线l方程为与直线AB重合，不符合题意，舍去； 当时，直线l方程为所得四边形为平行四边形，不符合题意，舍去； 所以不存在平行于AB的直线l交椭圆于M，N两点，使得以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形． 【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程． (2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 【解】（1）设椭圆E的方程为． 则，解得， 故椭圆E的方程为． （2）依题可设直线l的方程为，，，． 联立方程组，整理得， 则， 直线AP的方程为，直线BQ的方程为， 联立方程组，得 由，得，得． 所以. 故点M在定直线上． 【变式2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，． (1)求椭圆的方程． (2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 【解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，， ，解得， ∴， ∴，，， ∴椭圆的方程为． （2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为． 联立椭圆方程，消去得． 设，，则，． ∴， 又，， ∴直线AD的方程为，直线BE的方程为． 联立得， ∴． 又∵，∴． ∴直线AD与直线BE的交点在定直线上． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京·二模）已知椭圆的离心率为，且椭圆C的上顶点、右顶点和坐标原点所构成的三角形面积为． (1)求椭圆的方程和其短轴长； (2)若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 【解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得①. 又因为椭圆C的上顶点、右顶点和坐标原点O所构成的三角形面积为． 所以，即②. 将①代入②得，所以. 所以椭圆的方程为，短轴长为 （2）因为椭圆方程C: ，所以设，则满足 由，得，即， 所以直线AB的方程：，化简得： 所以原点到直线的距离，代入和， 得 . 即原点到直线的距离为，所以直线和圆相切. 2．（2026·北京密云·一模）已知椭圆，过点，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 【解】（1）由题可得， 椭圆的方程为， 所以椭圆的离心率. （2）如图 为椭圆的右焦点，， 设，， 设过点的直线的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立得， 展开并整理得， 则即， 且，， ， 光线经过轴反射后经过点. 3．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：． 【解】（1）由题意，解得． 所以椭圆的方程为． （2） 依题意，，因为点是椭圆上一点，可得，且， 直线的斜率，直线的方程为， 令，得． 直线的斜率为，直线方程为， 令，得． 法一：因为， ， 所以，所以三角形为等腰三角形，因为点为底边的中点， 所以． 法二：点为线段的中点，，所以， 所以， ，所以，所以． 4．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明. 【解】（1）依题意可得，，又，所以， 所以椭圆方程为. （2）依题意过点的直线斜率存在，设， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 即的中点横坐标为， 又，所以 5．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的左顶点为，离心率. (1)求的标准方程； (2)设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为. 当与不重合时，求证：. 【解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，， 则，，得直线的斜率. 由得直线的斜率. 由经过点得直线的方程. 由，得， 由韦达定理 得. 所以. 因为 ，， 由于不重合，所以，所以 所以. 因为两条直线不重合，所以. 6．（2026北京顺义·三模）已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为. (1)求椭圆的方程 (2)设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线. 【解】（1）因为椭圆：的左顶点为，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的方程为； （2） 由（1）知，， 设：，，， 联立方程，可得， 解得或，所以， 因为四边形是平行四边形，由椭圆的对称性可知点与点关于原点对称， 所以， 直线的方程为，把代入可得， 所以， 把代入可得， 所以过，的直线的斜率为， 所以过，的直线的斜率， 所以，，三点共线. 7．（2026·北京平谷·模拟预测）已知椭圆E：过点，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点． 【解】（1） 由题意得 解得，． 所以椭圆E的方程是． （2） 椭圆E的右焦点F的坐标为， 由题意，设直线l的方程为． ，整理得． 因为， 所以，设直线l交椭圆E于点，， 则，． 由直线l的方程，令，解得， 所以，． 所以直线AQ的方程为，． 令，解得，所以． 直线BQ的方程为，． 令，解得，所以． ． 由于，． 则 ， 所以线段CD的中点为F． 8．（2025·北京海淀·三模）已知椭圆的焦距为2，长轴长为4. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【解】（1）因为椭圆的焦距为，长轴长为， 所以，，则椭圆的离心率， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）存在定点，使得恒在直线上. 设直线为，，，则， 联立，消去得， ，解得， 则，， 又直线的方程为， 又， ，恒过定点， 故存在定点，使得恒在直线上. 9．（2025·北京东城·二模）已知焦点为的抛物线经过点． (1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积； (2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【解】（1）因为抛物线过点，所以，即． 故抛物线的方程为，焦点，准线方程为. 所以 （2） 设直线的方程为． 由 得：，又有． 设则，． 设的中点为，则. 所以到准线的距离， ， 依题意有，即， 整理得，解得，满足． 所以直线过定点． 10．（2025·北京朝阳·一模）已知椭圆经过点． (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由． 【解】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 11．（2026·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设. 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以. 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 12．（25-26高三上·北京顺义期末）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意可知，，所以，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，由题意可知直线的斜率不为，设， 联立，可得， 所以， 且，即， 直线的方程为，代入，则，所以， 同理可得， 所以， 所以 ， 当时，即，此时， 当时，即(舍去)，此时， 综上所述，存在或使得为定值. 创新提升 13．（2025·北京东城·二模）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为A，，直线，且A到的距离与A到的距离之比为. (1)求椭圆的方程； (2)设，为椭圆上不同的两点（不在坐标轴上），过点作直线的平行线与直线交于点，过点作直线的平行线与直线交于点.求证：点与点到直线的距离相等. 【解】（1）由题意可知：， 因为A到的距离与A到的距离之比为，即，解得， 可得， 所以椭圆的方程. （2）解法一：由题意，.设， 则． 直线， 联立，得， 整理得，， 因为， 所以， ， 同理可得，． 所以点与点到直线的距离相等． 解法二：由（1）可知：， 设，， 可知直线， 过点作直线的平行线为， 联立方程，解得， 即点的横坐标为， 可知直线， 过点作直线的平行线为， 联立方程，解得， 即点的横坐标为， 可知点、的横坐标相等，所以点与点到直线的距离相等. 14．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求曲线的方程； (2)为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点， 由点在圆上，得，即， 所以点的轨迹的方程是. （2）（i）由（1）不妨令，直线不垂直于轴， 设直线，， 由，得，由，得或， 则，， 直线方程为，直线方程为， 联立消去，得， 解得，所以点在直线上. （ii）由，得，则点在以为直径的圆上， 设，则，解得，即， 于是直线的方程为，由消去得， 而点横坐标为，则点横坐标，纵坐标， 所以直线的斜率.    15．（2026·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由． 【解】（1）设， 由，得， 所以， 因为正方形ABCD的面积为，即， 所以，整理可得， 因此C的轨迹方程为． （2）依题意，直线l存在斜率，设l：，即， 设点，，， 由，消y得， 即， 由 ， 可以得到， 所以， 可得，， 由，得， 所以， 可得 ， 所以， 因为， 所以点Q在定直线上，定直线方程为．        16．（2026·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1. (1)求点的坐标. (2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点. （ⅰ）证明：点在定直线上； （ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设是椭圆上一点，则， 因为， ①若，解得（舍去）， ②若，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （2）（ⅰ）设直线， 由，得，所以， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上； （ⅱ）由图可知，，即，所以点在以为直径的圆上， 设，则，所以，即. 故直线的方程为， 直线的方程与椭圆方程联立，得，因为, 所以，所以,故. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训15 圆锥曲线的证明探索问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 圆锥曲线证明问题 2 题型2 圆锥曲线定点的探索问题 2 题型3 圆锥曲线定值的探索问题 3 题型4 圆锥曲线定线的探索问题 4 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 1.圆锥曲线中的证明问题常见策略 (1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等. (2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明. 2.定点存在性问题技巧 （1）特殊值法：取参数的两个特殊值（如不同斜率），求对应直线交点，再验证该交点是否在所有动直线上 （2）参数分离法：将直线方程整理为 “参数 ×（含的式子） + （含的式子） = 0”，令两式均为 0，解出定点 3.定值存在性问题技巧 （1）目标表达式化简：将斜率、向量、面积等目标表达式用韦达定理整体代换，避免单独求解交点坐标 （2）特殊位置验证：先取特殊点（如顶点、焦点）或特殊直线（如对称轴、切线）计算定值，再证明该值对任意情况成立 4.点、线、曲线存在性问题技巧 （1）方程求解法：将存在性条件转化为关于参数的方程，若方程有解则存在，无解则不存在（如 “存在点” 转化为方程有实根） （2）数形结合法：画出圆锥曲线与目标元素的大致图象，通过直观分析判断是否存在交点或满足条件的位置 题型通法及变式提升 题型1 圆锥曲线证明问题 【例1】（2026·北京朝阳·二模）已知椭圆的长轴长与短轴长之和为6，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点分别为椭圆上位于第一象限，第二象限内的点，且．当点满足时，证明：点在椭圆上． 【变式1】（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【变式2】（2026·北京丰台·一模）已知椭圆的一个顶点为，焦距为2． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由． 题型2 圆锥曲线定点的探索问题 【例2】（2026·北京昌平·一模）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（2026·北京顺义·一模）已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 【变式2】（2026·北京密云一模）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 题型3 圆锥曲线定值的探索问题 【例3】（2026·黑龙江牡丹江二模）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式1】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26高三上·北京通州·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型4 圆锥曲线定线的探索问题 【例4】（2026·北京石景山·二模）已知椭圆C：的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，，直线l平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l使得A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程． (2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由． 【变式2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，． (1)求椭圆的方程． (2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京·二模）已知椭圆的离心率为，且椭圆C的上顶点、右顶点和坐标原点所构成的三角形面积为． (1)求椭圆的方程和其短轴长； (2)若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 2．（2026·北京密云·一模）已知椭圆，过点，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 3．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：． 4．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明. 5．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的左顶点为，离心率. (1)求的标准方程； (2)设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为. 当与不重合时，求证：. 6．（2026北京顺义·三模）已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为. (1)求椭圆的方程 (2)设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线. 7．（2026·北京平谷·模拟预测）已知椭圆E：过点，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点． 8．（2025·北京海淀·三模）已知椭圆的焦距为2，长轴长为4. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 9．（2025·北京东城·二模）已知焦点为的抛物线经过点． (1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积； (2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 10．（2025·北京朝阳·一模）已知椭圆经过点． (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由． 11．（2026·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 12．（25-26高三上·北京顺义期末）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 创新提升 13．（2025·北京东城·二模）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为A，，直线，且A到的距离与A到的距离之比为. (1)求椭圆的方程； (2)设，为椭圆上不同的两点（不在坐标轴上），过点作直线的平行线与直线交于点，过点作直线的平行线与直线交于点.求证：点与点到直线的距离相等. 14．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求曲线的方程； (2)为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 15．（2026·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由． 16．（2026·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1. (1)求点的坐标. (2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点. （ⅰ）证明：点在定直线上； （ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $