精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

2027届高二下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据规律，利用观察法求出通项即可. 【详解】因为的前4项依次为， 所以的一个通项公式为． 故选：． 2. 数列中，，，，那么（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过递推公式找出数列的周期性计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以是以6为周期的周期数列． 因为，所以． 故选：B 3. 已知具有线性相关关系的变量，，设其样本点为（），经验回归方程为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点，利用经验回归直线必过样本中心点求解. 【详解】依题意，，， 由经验回归方程为经过点，得. 故选：B 4. 由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 B. 若越大，则两组变量的相关性越强 C. 经验回归方程至少经过样本数据中一个 D. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的含义可判断AB；根据回归直线的含义可判断CD； 【详解】对于A，若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，A错误； 对于B，若越大，则两组变量的相关性越强，是回归直线的斜率， 它不反应两变量的相关性强弱，B错误； 对于C，经验回归方程不一定经过样本数据中的一个，C错误； 对于D，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时， 若，相应的观测值y约增加个单位；若，相应的观测值y约增加个单位； 故当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位，正确， 故选：D 5. 已知数列 满足 若对于任意的 都有 ，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性和数列的单调性相结合，即可求出参数范围. 【详解】要满足，则数列是递减数列， 则只需要满足解得：， 故选：B. 6. 第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】解法1：利用超几何分布求得分布列，得到数学期望；解法2：利用超几何分布的数学期望公式求解即可. 【详解】解法1：由题意，共有幅作品，选取2幅作品有种方法， 其中全是文化领域的有种方法，因此全是文化领域的概率为，从而解得． 的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 则． 解法2：同法1，求得后可用下列方法求解． 由题意可知服从参数为，，的超几何分布，则． 故选：A. 7. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ） 附：若：，则，，． A. 0.0027 B. 0.5 C. 0.8414 D. 0.9773 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解. 【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故， 显然，其中，， 故， 则， 由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 . 故选：D 8. 已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用三点共线得，根据等差数列的性质求得可得答案. 【详解】，不妨设， 因为三点共线，所以， 所以 ， 所以， 故选：D. 二、多选题 9. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 时，的最小值为15 D. 最小时， 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列和的公式和等差数列的性质，得到，再结合已知，得到，进而分析可以判定各选项. 【详解】由，则， 又，则，所以，故A正确，B错误； 对于C，由上分析，当时，，当时，， 又，又，所以时，的最小值为15，故C正确； 对于D，当最小时，，故D错误. 故选：AC. 10. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为 C. 依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D. 假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，根据等高堆积条形图结合题意分别计算出男女生经常锻炼人数和不经常锻炼人数，进行分析判断即可，对于CD，根据题意列出列联表，然后根据公式计算，再根据临界值表分析判断即可. 【详解】对于A，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍， 故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人， 故男生中经常锻炼的人数为人，不经常锻炼的人数为人， 故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，A正确； 对于B，经常锻炼的女生人数为人，不经常锻炼的人数为人， 故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，B正确； 对于C，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男 100 60 160 女 100 40 140 合计 200 100 300 则， 故依据的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1，C错误； 对于D，由题意可得： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男 200 120 320 女 200 80 280 合计 400 200 600 则此时， 故依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，D正确， 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若随机变量服从两点分布，且，则 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方差的心智即可判断A；根据两点分布的方差即可判断B；根据正态分布的对称性即可判断C；根据二项分布的的概率公式，利用不等式组法即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据为，则，解得， 数据的方差为，A正确； 对于B，由题意，B错误； 对于C，随机变量， 由，得，C正确； 对于D，依题意，运动员击中次数，击中次的概率为， 由，解得， 因此最有可能击中的次数是8，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 【答案】11 【解析】 【分析】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解. 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11 13. 数列满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时是否满足，即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 则得：， 所以， 当时，不成立，所以． 故答案为：. 14. 已知等差数列的前n项和为，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前n项和计算得解. 【详解】等差数列中，， 由，得，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列满足：，.若， （1）求证：为等差数列. （2）求数列的通项公式 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式. 【小问1详解】 因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； 【小问2详解】 由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 16. 某校采用“翻转课堂”的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学生不会的内容．此地教育部门为调查在此模式下学生的物理考试成绩是否及格（60分及格）与每周学习物理的时间是否足够12小时的相关关系，随机抽取该校49名学生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于12小时的有21位学生．余下的人中，物理考试成绩不足60分的学生占余下人数的，每周学习物理的时间不少于12小时但物理考试成绩不足60分的有8位学生． （1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为“物理考试成绩是否及格与每周学习物理的时间是否足够12小时有关”． 大于等于60分 不足60分 合计 学时不少于12小时 8 21 学时不足12小时 合计 49 （2）若将频率视为概率，从全校物理考试成绩大于等于60分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周学习物理的时间不少于12小时的人数的期望和方差． 附，其中． α 0.050 0.025 0.005 0.001 3.841 5.024 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析；有关 （2），． 【解析】 【分析】（1）补全列联表，提出零假设，套用公式求，将与临界值比较大小，推断不成立． （2）分析题意可得变量服从二项分布，根据二项分布期望与方差的公式计算可得结果. 【小问1详解】 由题意得，每周学习物理的时间不足12小时的有（人）， 每周学习物理的时间不足12小时且物理成绩不足60分的有（人）， 所以每周学习物理时间不足12小时且物理成绩大于等于60分的有（人）， 补全的2×2列联表如下． 大于等于60分 不足60分 合计 学时不少于12小时 13 8 21 学时不足12小时 8 20 28 合计 21 28 49 零假设为：物理成绩是否及格与每周学习物理的时间是否足够12小时无关． ， 依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 即可以认为“物理考试成绩是否及格与每周学习物理时间是否足够12小时有关”． 【小问2详解】 由（1）知全校物理考试成绩大于等于60分的学生中每周学习物理的时间不少于12小时的概率是． 设从全校物理考试成绩大于等于60分的学生中随机抽取20人， 这些人中每周学习物理的时间不少于12小时的人数为随机变量Y，则， 所以，． 17. 混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位：）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期分别为时的抗压强度的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 9.4 29.7 2 366 5.5 439.2 55 表中． （1）根据散点图判断与哪一个适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立关于的回归方程； （2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为． （i）试预测该批次混凝土是否达标？ （ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度与第28天的抗压强度具有线性相关关系，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度． 附： 参考数据：． 【答案】（1）适宜，． （2）（i）达标；（ii）． 【解析】 【分析】（1）先换元再根据已知数据求出即可求出回归直线； （2）根据回归直线预测即可. 【小问1详解】 由散点图可以判断，适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型． 令，先建立关于的线性回归方程， 由于 所以关于线性回归方程为， 因此关于的线性回归方程为． 【小问2详解】 （i）由（1）知，当龄期为28天，即时， 抗压强度的预报值， 因为，所以预测该批次混凝土达标． （ii）令，得． 所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1） 通过 ，从而证明，结合已知，从而得到面； （2）构建空间直角坐标系，通过法向量的夹角求解； （3） 设 ，求解出平面的法向量，通过求解即可； 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴，即 又∵，且，且两直线在平面内， ∴平面. 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面 ，平面， ∴平面,又因为面， ∴. 由（1）已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ∴，，， ∵E为PD的中点，∴ 又∵，∴ 设平面FAE的法向量为，则， 令，则，，∴ 由（1）可知，平面， ∴平面的法向量为, ∴ ∴平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 线段上存在点，使得平面， 设，则 由（2）可知，平面的法向量， 则， 解得 ∴当是中点时，则平面. 19. 已知椭圆：（）的上顶点为A，离心率为.抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长. （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线l与相交于B，C两点，直线分别与相交于P，Q两点. ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由的关系以及，即可求解. （2）①由题意设方程为.联立抛物线方程，结合韦达定理以及斜率公式即可得证. ②由三角形面积公式只需分别求出，分别联立直线方程与抛物线、椭圆方程，结合弦长公式以及同理思想即可求解，进一步由基本不等式即可得解. 【小问1详解】 已知抛物线：中，令，解得，所以， 因为，所以，从而， ∴椭圆的方程为：. 【小问2详解】 ①直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，，则，，， 由已知，所以的斜率分别为， ，故， 所以直线与直线的斜率之积为定值； ②设直线AB：，显然，由，解得：或， ∴，则， 由①知，直线：，则， 由，得，解得或， ，则， 由①知，直线：，， 则 ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 【点睛】关键点睛：第二问②的关键是由同理思想求弦长，这样可以减少计算量，从而即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 数列中，，，，那么（ ） A. B. 1 C. 3 D. 3. 已知具有线性相关关系的变量，，设其样本点为（），经验回归方程为，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 B. 若越大，则两组变量的相关性越强 C. 经验回归方程至少经过样本数据中的一个 D. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位 5. 已知数列 满足 若对于任意的 都有 ，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 6. 第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ） 附：若：，则，，． A. 0.0027 B. 0.5 C. 0.8414 D. 0.9773 8. 已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设等差数列前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 时，的最小值为15 D. 最小时， 10. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 A. 参与调查男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为 C. 依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D. 假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若随机变量服从两点分布，且，则 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次 三、填空题 12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 13. 数列满足，则________. 14. 已知等差数列的前n项和为，若，则___________． 四、解答题 15. 已知数列满足：，.若， （1）求证：为等差数列. （2）求数列的通项公式 16. 某校采用“翻转课堂”的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学生不会的内容．此地教育部门为调查在此模式下学生的物理考试成绩是否及格（60分及格）与每周学习物理的时间是否足够12小时的相关关系，随机抽取该校49名学生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于12小时的有21位学生．余下的人中，物理考试成绩不足60分的学生占余下人数的，每周学习物理的时间不少于12小时但物理考试成绩不足60分的有8位学生． （1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为“物理考试成绩是否及格与每周学习物理的时间是否足够12小时有关”． 大于等于60分 不足60分 合计 学时不少于12小时 8 21 学时不足12小时 合计 49 （2）若将频率视为概率，从全校物理考试成绩大于等于60分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周学习物理的时间不少于12小时的人数的期望和方差． 附，其中． α 0.050 0.025 0.005 0.001 3.841 5.024 7.879 10.828 17. 混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位：）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期分别为时的抗压强度的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 9.4 29.7 2 366 5.5 439.2 55 表中． （1）根据散点图判断与哪一个适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立关于的回归方程； （2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为． （i）试预测该批次混凝土是否达标？ （ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度与第28天的抗压强度具有线性相关关系，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度． 附： 参考数据：． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 19. 已知椭圆：（）的上顶点为A，离心率为.抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长. （1）求椭圆的方程； （2）过原点直线l与相交于B，C两点，直线分别与相交于P，Q两点. ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $