精品解析：江西宜春赣西学校2025-2026学年高二下学期5月素养测试数学试题

高二5月数学素养测试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以或， 所以. 2. 已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（ ） A. 19， B. 21， C. 15， D. 16， 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，由，， 可得，解得， 所以数列的首项与公差依次为. 3. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以函数的导函数. 4. 定义在上的函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】 5. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差与公比，由题中所给条件列方程组即可求出公差与公比，即可得解. 【详解】设的公差为，的公比为， 则由题可知，有，解得或（舍去），则， 因此. 故选：B. 6. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）． A. 781万元，60万元 B. 525万元，200万元 C. 781万元，200万元 D. 1122万元，270万元 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列前项和求解即可. 【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是（万元）． 由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列， 所以这五年的旅游收入总额是（万元）． 故选：C． 7. 若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导后，由题意可知导函数在有2个不同的零点，从而可得方程有两个不同的实根，再结合二次函数的性质可求得结果. 【详解】函数的定义域为， ，在有两个不同极值点. 分母恒成立，令在上有两个不同的正实根. 函数，两个不同根都在需满足： ①判别式，结合得； ②对称轴，解得. ③区间端点，解得​；恒成立. 综上，. 8. 已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求导并利用导数结合的单调性和奇偶性分析的单调性和奇偶性，从而转化不等式为，进而求出实数的取值范围． 【详解】设，则， 又在上，，则， 函数在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则， ，即， 函数为上的奇函数， 在上单调递减， 又， ，即， ，解得． 二、多选题（共18分） 9. 已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（ ） A. B. 是数列中的项 C. D. ，，成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式求出，然后结合等比数列与等差数列的性质及求和公式即可求解． 【详解】正项等比数列的公比为，，且， 则， 即，即或舍，A正确； 因为，则，， 令，则，是数列的第项，B正确； ，C错误； 因为，，则，所以，，成等差数列，D正确． 10. （多选）在数列中，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据“凸数列”的定义推导递推关系，计算数列前几项确定周期，结合周期性质判断各项值与前项和即可. 【详解】由“凸数列”定义，移项得递推公式：， ，则， 已知， 则，， ，， 可得数列是周期为6的周期数列，且一个周期的和。 选项A：由计算得，正确； 选项B：由计算得，错误； 选项C：，故，正确； 选项D：，错误. 11. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极小值点 C. 当时， D. 曲线上存在无数多对互相平行的切线 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，A错误； 对于B， ， 所以当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，B正确； 对于C， ， 当时，，所以， 所以当时，，C正确； 对于D，， 所以对于任意的实数，都有两个解， 所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确. 三、填空题（共15分） 12. 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，当长方体的体积最大时，该长方体的长为______m． 【答案】2 【解析】 【分析】设长方体的宽为，体积为，则，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】设长方体的宽为，则长方体的长为，故长方体的高为， 则解得，设长方体的体积为， 所以， 则，令，解得，令，解得， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，此时长为． 故答案为：2 13. 设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质以及前项和公式求得正确答案. 【详解】因为为等差数列， 所以. 14. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. 【解析】 【小问1详解】 ， 由得曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由得或；得； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 16. 已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． （1）求该物体在内的平均速度； （2）求该物体的初速度； （3）求该物体在时的瞬时速度． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平均速度的概念求平均速度. （2）根据求初速度. （3）根据求该物体在时的瞬时速度. 【小问1详解】 因为该物体在内的时间变化量， 该物体在内的位移变化量， 所以该物体在内的平均速度为． 【小问2详解】 求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度． 因为该物体的位移在附近的平均变化率． 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体的初速度为． 【小问3详解】 该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率． 因为该物体的位移在附近的平均变化率， 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体在时的瞬时速度为． 17. 已知数列满足． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式和等差数列定义以及等差数列通项公式证明、求解即可； （2）表示出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 证明：显然，对两边同时取倒数， 得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 则数列的前项和 所以. 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）最大值为，最小值为；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解； （2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；（ⅱ）把存在性问题转化成在上的最大值，进而构造不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 函数求导得 ， 已知，则， ． 【小问2详解】 （ⅰ），则，求导得：， ，在上恒成立， 导数符号由决定： 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， ，， ， 在上的最小值为，最大值为； （ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值， 在上的最大值为， ，解得， 又，， 的取值范围为． 19. 已知函数，若存在数列满足．称是的“伴随数列”，称为数列的“伴随函数”． （1）若数列的“伴随函数”，求最小的正数的值，使得数列为等比数列． （2）若某数列的“伴随函数” ，证明：； （3）若某数列的“伴随函数”，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出前3项，利用等比中项的性质得出A的表达式求最值； （2）构造函数，利用导数判断单调性求最值证明不等式； （3）结合（2）中的结论，利用累加法构建数列通项公式的不等式，再化简并放缩构造所求不等式，再结合函数放缩求证 【小问1详解】 ， 由得，，即， 解得最小为4，故当时成立． 【小问2详解】 依题意，定义域为，据定义域分段讨论， 当时，， 令，， 所以，当时，单调递增，即， ，所以，即成立； 当时，， 令，， 故当时，单调递增，即， ，，即成立； 综上，成立 【小问3详解】 由（2）知， ，令，， 则 ，故 ， 所以当时， 即，可得当时，． 所以，即， 又时，有， 由于， 设 ，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即 ， ， 当时,令，则， 所以，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二5月数学素养测试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（ ） A. 19， B. 21， C. 15， D. 16， 3. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 6. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）． A. 781万元，60万元 B. 525万元，200万元 C. 781万元，200万元 D. 1122万元，270万元 7. 若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（ ） A. B. 是数列中的项 C. D. ，，成等差数列 10. （多选）在数列中，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极小值点 C. 当时， D. 曲线上存在无数多对互相平行的切线 三、填空题（共15分） 12. 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，当长方体的体积最大时，该长方体的长为______m． 13. 设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 14. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求函数的单调区间. 16. 已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． （1）求该物体在内的平均速度； （2）求该物体的初速度； （3）求该物体在时的瞬时速度． 17. 已知数列满足． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数，若存在数列满足．称是的“伴随数列”，称为数列的“伴随函数”． （1）若数列的“伴随函数”，求最小的正数的值，使得数列为等比数列． （2）若某数列的“伴随函数” ，证明：； （3）若某数列的“伴随函数”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $