2025-2026学年北师大版八年级数学下学期期末复习模拟卷

**基本信息** 这份初中数学期末模拟卷以核心素养为导向，通过光的折射、绿化工程等现实与跨学科情境，结合动态几何、材料阅读等创新题型，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式性质、图形对称、因式分解|第8题光的折射融合几何计算，体现数学眼光| |填空题|6/18|平移性质、三角形形状判断、坐标变换|第16题含参不等式组整数解，考查数学思维| |解答题|9/72|几何证明（18题折叠）、应用题（23题蔬菜销售）、材料阅读（24题分式化简）|25题动态几何拼接问题，培养创新意识与模型观念|

期末复习模拟卷答题卡 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写， 字体工整 由监考老师负 4、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] g [c] [c] [C] [C] [C] [c] [C] Ic] Ic] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 11题、 12题、 0 0 d 瑶ST ~虹 ET 16题、 17题、 3-2-10123456 18题、 2 碥Z OZ ~瑶6T 22题、 x+a a x+6 个x b 甲 乙 23题、 24题、 25题、 M ② C D C D D ©7 ③ ⊙ P ③ ② ② ① A B B B 图1 图2 图3 备用图 期末复习模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 5．如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点B的对应点E恰好落在边上．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的角平分线，，，过点作，交的延长线于点，的垂直平分线交 于点，连接 ，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 7．为了提升城市形象，武汉市某区计划对辖区内60万平方米的土地进行绿化．为了尽快完成任务，实际施工时平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成了全部任务．设原计划平均每月的绿化面积为万平方米，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：__________． 12．如图，三角形沿着由点到点的方向，平移得到三角形，已知，，那么的长为__________． 13．在中，，则该三角形的形状是_________三角形． 14．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 16．关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式组： 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以，原不等式组的解集为 ． 18．如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接．且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 19．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 20．解方程及化简求值 (1)解分式方程：． (2)先化简，再求值：，其中． 21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于y轴的对称图形； (2)请画出将绕点O顺时针旋转后得到的； (3)求的面积． 22．如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 23．张师傅批发甲、乙两种蔬菜到农贸市场去售卖，已知两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 蔬菜品名 甲种蔬菜 乙种蔬菜 批发价（单位：元/千克） 2 3.5 零售价（单位：元/千克） 3 5 (1)张师傅批发两种蔬菜共110千克，共花310元，这两种蔬菜各批发了多少千克？ (2)由于农贸市场对甲种蔬菜的认可，张师傅批发的甲种蔬菜很快就销售一空，为了能尽快卖掉乙种蔬菜，张师傅把没有卖掉的乙种蔬菜按零售价的八折进行销售，这样两种蔬菜都售完最多能挣120元，那么张师傅最多按原零售价销售了多少千克的乙种蔬菜？ 24．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 25．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，即可解答． 【详解】解：已知， 对A选项，不等式两边同时加1，不等号方向不变，得，A不成立； 对B选项，不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，B不成立； 对C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得，C不成立； 对D选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，得 ，即 ，D成立． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、它是整式乘法运算，结果是多项式和的形式，不是几个整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； B、等式右边是和的形式，不是整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； C、原式左边是单项式，不是多项式，故式子从左到右的变形不是因式分解； D、将多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义，故式子从左到右的变形是因式分解． 4．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 【答案】C 【分析】根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； ，，故B错误； 方程的解是，故C正确； 当时，，故D错误. 5．如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点B的对应点E恰好落在边上．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据折叠的性质得到，最后利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点B的对应点E恰好落在边上， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 6．如图，是的角平分线，，，过点作，交的延长线于点，的垂直平分线交 于点，连接 ，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】延长交延长线于点，证明得，由计算得，由题推理得是的中位线，得，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 是角平分线，， ，， ， ， ，， ， ， 的垂直平分线交于点， ， 是的中位线， ． 7．为了提升城市形象，武汉市某区计划对辖区内60万平方米的土地进行绿化．为了尽快完成任务，实际施工时平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成了全部任务．设原计划平均每月的绿化面积为万平方米，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用工作时间工作总量工作效率的关系，根据原计划完成时间比实际完成时间多2个月的等量关系列方程，即可解题． 【详解】解：∵原计划平均每月绿化面积为万平方米，总绿化面积为60万平方米， ∴原计划完成任务的时间为个月， ∵实际平均每月绿化面积是原计划的倍， ∴实际平均每月绿化面积为万平方米，实际完成任务的时间为个月， ∵实际提前2个月完成任务，即原计划时间比实际时间多2个月， ∴可得方程． 8．光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为法线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则，由折叠性质得，则，再根据得，由此解得，则，然后在中，根据即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠性质得：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 10．定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，列出方程，求出的值，再根据，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：由题意，的“溯源值”是方程的解， 解，得， ∵， ∴， 解得， ∴m的最小值是. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：__________． 【答案】 【分析】利用提取公因式法即可完成因式分解． 【详解】解：． 12．如图，三角形沿着由点到点的方向，平移得到三角形，已知，，那么的长为__________． 【答案】2 【分析】根据平移的性质计算即可． 【详解】解：由平移得， ∴． 13．在中，，则该三角形的形状是_________三角形． 【答案】钝角 【分析】根据三角形内角和定理求出最大内角的度数，再根据三角形按角分类的规则判断三角形的形状． 【详解】解：设，，， 根据三角形内角和定理，得， 解得， 因此最大角， 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此该三角形是钝角三角形． 14．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【答案】 【分析】由题意可得，从而得出，即，进而得出平移方式，由此即可得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点O的对应点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴将沿x轴向右平移个单位长度，得到， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 【答案】 6 【详解】解：∵点E、F是、的中点， ∴在中，， 且， ∴． 16．关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，从而确定个整数解，再求出的取值范围． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组共有个整数解， ∴整数解为，，， ∴． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式组： 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以，原不等式组的解集为 ． 【答案】，，， 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， 将不等式①和②的解集在数轴上表示略 故原不等式组的解集为． 18．如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接．且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵，是的角平分线，， ∴， 在和中， ∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）证明，可得，从而得到，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 19．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【分析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； 【详解】略． 20．解方程及化简求值 (1)解分式方程：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）方程两边同乘以化为一元一次方程，解方程，最后进行检验即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． （2）解：原式 ， 将代入得：原式． 21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于y轴的对称图形； (2)请画出将绕点O顺时针旋转后得到的； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求作的三角形； (2)解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）先作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，然后顺次连接即可． （2）根据旋转的性质先分别作出点、，的对应点、，，再顺次连接即可； （3）用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 22．如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 【答案】(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是． （2）解：∵，且， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，． （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，． （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11． 23．张师傅批发甲、乙两种蔬菜到农贸市场去售卖，已知两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 蔬菜品名 甲种蔬菜 乙种蔬菜 批发价（单位：元/千克） 2 3.5 零售价（单位：元/千克） 3 5 (1)张师傅批发两种蔬菜共110千克，共花310元，这两种蔬菜各批发了多少千克？ (2)由于农贸市场对甲种蔬菜的认可，张师傅批发的甲种蔬菜很快就销售一空，为了能尽快卖掉乙种蔬菜，张师傅把没有卖掉的乙种蔬菜按零售价的八折进行销售，这样两种蔬菜都售完最多能挣120元，那么张师傅最多按原零售价销售了多少千克的乙种蔬菜？ 【答案】(1)张师傅批发了甲种蔬菜50千克，乙种蔬菜60千克 (2)张师傅最多按原零售价销售了40千克的乙种蔬菜 【分析】（1）设张师傅批发了甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克，根据张师傅批发两种蔬菜共110千克，共花310元列两个二元一次方程，解二元一次方程组即可； （2）设张师傅按原零售价销售了千克的乙种蔬菜，根据两种蔬菜都售完最多能挣120元列一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设张师傅批发了甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克， 根据题意，得， 解得， 答：张师傅批发了甲种蔬菜 50 千克，乙种蔬菜60千克． （2）解：设张师傅按原零售价销售了千克的乙种蔬菜， 根据题意，得 解得， 答：张师傅最多按原零售价销售了40千克的乙种蔬菜． 24．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)当时，分式取到最小值，最小值为 【分析】（1）将代入即可； （2），根据是的整数约数进行求值； （3），结合进行求值．注意验证取等． 【详解】（1）解：， ， 当且仅当（即）时取等号， 又，故， 因此，当时，式子取到最小值，最小值为； （2）解：； 若分式的值为整数， 则需为整数，即是的整数约数， 的整数约数有， 因此，，， 共个满足条件的整数； （3）解：， ， ， ， 当且仅当（即）时取等号， 又∵，故，即， 此时分式的最小值为； 因此，当时，分式取到最小值，最小值为． 25．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 【答案】(1)135 (2) (3) (4)当时，的长最小，长的最小值是 【分析】（1）根据平行四边形对平行的性质即可求解． （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （3）连接交于P，根据平行四边形的性质得到，即点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线的性质得到，，根据已知条件得到，解直角三角形即可得到结论． （4）（2）由题意得，，，于是得到，当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：略； （3）解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ，即点是的中点， 过作于，于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得，，， ， ， 当时，的长最小， 过作于， 由问题3求得， ， ， ， ， ， ， 长的最小值是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $