期末模拟考试（五）-2025-2026学年高二下学期人教A版数学

**基本信息** 这份高二下学期期末数学模拟卷，通过新能源汽车数据回归、体育锻炼调查等真实情境，综合考查排列组合、概率统计、导数与数列等知识，梯度设计合理，注重数学思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|排列组合（第1题）、概率期望（第2题）、导数切线（第4题）|基础计算与综合应用结合，如第8题函数极值范围考察抽象能力| |填空题|3题15分|二项分布期望（第12题）、数列通项（第13题）|简洁考察核心概念，第14题函数零点范围体现推理意识| |解答题|5题77分|独立性检验（15题）、线性回归（17题）、概率模型（18题）、函数与数列证明（19题）|情境真实，如17题新能源汽车数据培养数据观念；19题综合证明发展逻辑推理，适配期末检测|

2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（五） 数　学 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.　从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ 　　） A. 60 B. 84 C. 100 D. 120 2.　从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ 　　） A. B. 2 C. D. 3.　已知随机变量 ，，则 （ 　　） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.35 4.　曲线 在 处的切线方程为（ 　　） A. B. C. D. 5.　已知 且 ，则二项式 的展开式中，常数项为（ 　　） A. -24 B. -6 C. 6 D. 24 6.　某学校有 两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐.如果某天去 餐厅，那么第2天还去 餐厅的概率为 ；如果某天去 餐厅，那么第2天还去 餐厅的概率为 .若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去 餐厅用餐的概率为（ 　　） A. B. C. D. 7.　已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ 　　） A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 8.　若函数 的图像与直线 恰有两个公共点，则 的取值范围为（ 　　） A. 或 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.　下列说法错误的是（ 　　） A. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 越接近于1 B. 甲、乙两个模型的决定系数 分别为0.98和0.82，则模型甲的拟合效果更好 C. 对于经验回归方程 ，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均增加2个单位 D. 在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 10.　现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ 　　） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 11.　已知函数 ，则下列结论正确的是（ 　　） A. 当 时， 有两个极值点 B. 当 时， 在 处取得极大值 C. 若 满足 ，则 的最小值为 D. 若 存在极大值点 ，且 ，其中 ，则 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.　甲将一枚硬币向上抛出10次，每次落下时正面朝上的概率为 ，用 表示落下时正面朝上的次数，则 的期望 ＿＿＿＿＿＿. 13.　已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式 ＿＿＿＿＿＿. 14.　已知函数 ，若 存在两个零点，则实数 的取值范围为 ＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人.学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查. 将每天体育锻炼时长 小时视为锻炼达标，整理出如下列联表： 是否达标 学段 合计 初中 高中 达标 28 不达标 24 合计 60 40 100 （1）请完成上面列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联.（结果保留小数点后三位） （2）如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值 的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联.（结果保留小数点后三位） 附：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.　（15分）在 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. （1）求 ； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 17.　（15分）新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1,2,3,4,5,6,7,8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费 (单位:百亿元) 2 3 6 10 13 15 18 21 销售量 (单位:百万辆) 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数 ，，. （1）根据样本数据，计算科研经费 与销售量 之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）； （2）根据样本数据，求销售量 关于科研经费 的线性回归方程（ 用分数表达）. 18.　（17分）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为 和 ，乙传给甲和丙的概率分别为 和 ，丙传给甲和乙的概率分别为 和 . （1）求第1次和第2次传球后球在乙手中的概率； （2）求第 次传球后球在乙手中的概率； （3）记第 次传球时，乙接到的次数为 ，则 服从两点分布，且 ，，设前 次传球后，乙接到球的总次数为 ，且 总成立，求实数 的最小值. 19.　（17分）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，设正项数列 满足：. （i）证明：； （ii）记数列 的前 项和为 ，证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学期末模拟考试（五） 试卷说明 一、命题特色 （一）结构与教学范围契合度 本试卷严格遵循新高考“8单选+3多选+3填空+5解答”的19题制结构，总分150分.在考点分布上，试卷精准聚焦于高二下学期的教学内容，即导数、数列、计数原理、随机变量及其分布列、成对数据的统计分析.这六大模块在客观题中均匀分布，也在解答题中占据了主导地位（第15题至第19题分别对应独立性检验、二项式定理、线性回归、概率与数列综合、导数与数列综合）.这种设计既保证了对本学期授课内容的全面覆盖，又兼顾了知识体系的完整性，能够精准诊断学生对高二下学期核心知识的掌握情况. （二）难度曲线设计 试卷整体难度呈现出平滑过渡与波浪式递进相结合的特点，预估整卷难度系数在0.60左右，符合期末考试选拔与诊断并重的定位.在选择题和填空题的开篇，试卷安排了第1至第4题以及第12题作为基础送分题，考查排列组合基础、期望计算、正态分布对称性等单一知识点，帮助考生迅速进入考试状态，稳定答题情绪.随着题号的推进，难度逐渐攀升，在单选第8题、多选第11题、填空第14题设置了小题压轴位，重点考查导数与方程、不等式的综合应用，具备一定的选拔功能.解答题则严格遵循“低起点、高落点”的分层设问原则，如第18题和第19题，第一问均属于中等难度的常规计算或讨论，保证大部分学生能够动笔得分，而最后一问则迅速拉升思维层级，直击核心素养，有效区分高分段考生. （三）情境与创新题布局 本卷高度重视数学知识在真实情境中的应用，全卷共设置了6道情境题，主要集中在概率与统计、计数原理模块.例如，第2题的摸球游戏、第6题的餐厅就餐选择、第10题的小球入盒问题、第15题的体育锻炼问卷调查以及第17题的新能源汽车销售量预测，这些题目将抽象的数学模型巧妙地融入生活实践中，要求学生具备从繁杂信息中提取数学特征、建立数学模型的能力. 二、双向细目表 题号 题型 分值 知识模块 具体考点要求 目标难度系数 备注 1 单选 5 计数原理 排列组合的基础计算（无限制条件或简单限制） 0.85 基础送分 2 单选 5 概率统计 离散型随机变量的分布列与期望基础计算 0.80 基础送分 3 单选 5 概率统计 正态分布的对称性与概率计算 0.80 基础送分 4 单选 5 导数 导数的几何意义（求切线方程） 0.75 基础送分 5 单选 5 计数原理 二项式定理（求特定项的系数） 0.65 常规考查 6 单选 5 概率统计 条件概率与全概率公式的实际应用 0.60 情境应用 7 单选 5 数列 等差/等比数列的通项与前n项和性质 0.55 常规考查 8 单选 5 导数 导数与函数的单调性、极值综合判断 0.35 小题压轴 9 多选 6 概率统计 线性回归、独立性检验、相关系数的概念辨析 0.70 概念辨析 10 多选 6 计数原理 排列组合的综合应用（分组分配问题） 0.55 情境应用 11 多选 6 导数 导数构造函数、不等式恒成立问题 0.30 小题压轴 12 填空 5 概率统计 二项分布的期望计算 0.80 基础送分 13 填空 5 数列 数列的递推关系求通项 0.60 常规考查 14 填空 5 导数 导数与方程的根（隐零点或双变量问题） 0.25 小题压轴 15 解答 13 概率统计 （1）列联表的完善与卡方计算(基础)；（2）独立性检验结论的判断(中等) 0.75 情境应用 16 解答 15 计数原理 （1）二项式系数性质与方程求解(中等)；（2）展开式特定项或有理项的求解(中等) 0.65 常规考查 17 解答 15 概率统计 （1）散点图分析与相关系数计算(中等)；（2）一元线性回归方程的求解与预测(中等) 0.60 情境建模 18 解答 17 概率与数列 （1）全概率公式求概率(中等)；（2）建立概率的递推数列并求通项(较难)；（3）期望的计算或最值探究(压轴) 0.35 跨模块融合 19 解答 17 导数与数列 （1）含参函数的单调性讨论(中等)；（2）利用导数证明数列不等式(压轴) 0.20 探究压轴 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（五） 数　学（解析卷） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 答案速查表 1 2 3 4 5 C C C A C 6 7 8 9 10 B B C ACD AB 11 12 13 14 15 ACD （1）没有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联 （2）有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联 16 17 18 19 （1） （2） （1），线性相关程度很强 （2） （1）第1次，第2次 （2） （3） （1）当 时，单调递增区间为 ；当 时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2）（i）证明见解析 （ii）证明见解析 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.　从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ 　　） A. 60 B. 84 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字组成无重复数字的三位数，由于首位不能为0，可分步进行： 第一步，确定百位数字，从1，2，3，4，5中任选1个，有 种选法； 第二步，确定十位和个位数字，从剩下的5个数字中任选2个进行排列，有 种选法. 根据分步乘法计数原理，共有 种. 【点拨】本题考查排列组合的基础应用.处理含“0”的排数问题时，“首位不为0”是核心限制条件，优先安排受限元素（首位）是常用策略. 2.　从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ 　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】设取出2个球所得分数为 ，则 的可能取值为2（两白），3（一白一红），4（两红）. ； ； . ∴ . 【点拨】本题考查超几何分布的数学期望.也可利用期望的线性性质求解：每次摸取红球的概率为 ，白球的概率为 ，每次得分的期望为 ，两次摸取的总期望即为 . 3.　已知随机变量 ，，则 （ 　　） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.35 【答案】C 【解析】∵随机变量 ，∴正态曲线的对称轴为 . ∵ ，∴ . 由正态曲线的对称性可知，. ∴ . 【点拨】本题考查正态分布曲线的对称性.利用 为对称中心，将所求区间的概率转化为已知区间的概率是解题关键. 4.　曲线 在 处的切线方程为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 ，得 ，即切点坐标为 . 求导得 ， ∴切线的斜率 . 由点斜式可得切线方程为 ，即 . 【点拨】求曲线在某点处的切线方程，需严格遵循“三步曲”：一求切点坐标（代入原函数），二求导函数，三代入横坐标求切线斜率. 5.　已知 且 ，则二项式 的展开式中，常数项为（ 　　） A. -24 B. -6 C. 6 D. 24 【答案】C 【解析】∵ ，∴正态曲线关于 对称. 又 ，由对称性可知 与 5 关于 3 对称，即 ，解得 . ∴二项式为 . 其展开式的通项为 . 令 ，解得 . ∴展开式中的常数项为 . 【点拨】本题综合考查了正态分布的对称性与二项式定理.确定参数 后，写出二项展开式的通项公式，分离系数与变量是求特定项的标准流程. 6.　某学校有 两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐.如果某天去 餐厅，那么第2天还去 餐厅的概率为 ；如果某天去 餐厅，那么第2天还去 餐厅的概率为 .若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去 餐厅用餐的概率为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设第 天去 餐厅用餐为事件 ，去 餐厅用餐为事件 . 由题意知，，. 且 ，；，. 第2天去 餐厅的概率为： . 第2天去 餐厅的概率为： . 第3天去 餐厅的概率为： . 【点拨】本题考查全概率公式在马尔可夫链模型中的应用.画出树状图，理清每天状态转移的条件概率，逐层递推计算是避免出错的有效方法. 7.　已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ 　　） A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 【答案】B 【解析】在等差数列 中，由等差数列的下标性质可知： . ∵ ，∴ ，解得 . 由等差数列前 项和公式得： . 【点拨】本题考查等差数列的性质与前 项和公式.熟练运用“若 ，则 ”这一性质，可大幅减少计算量. 8.　若函数 的图像与直线 恰有两个公共点，则 的取值范围为（ 　　） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】由 ，得 . 令 ，解得 . 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增. ∴ 在 处取得极小值，且极小值为 . 又当 时， 且 ；当 时，. 画出 的大致图像，可知要使直线 与 的图像恰有两个公共点， 需满足 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值与图像.处理方程根的个数问题，通常转化为两个函数图像的交点问题，准确画出函数草图（特别是注意极限趋势）是关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.　下列说法错误的是（ 　　） A. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 越接近于1 B. 甲、乙两个模型的决定系数 分别为0.98和0.82，则模型甲的拟合效果更好 C. 对于经验回归方程 ，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均增加2个单位 D. 在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】对于A，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 的绝对值 越接近于1，而不是 越接近于1（ 可能接近-1），故A错误； 对于B，决定系数 越大，模型的拟合效果越好.∵ ，∴模型甲的拟合效果更好，故B正确； 对于C，对于经验回归方程 ，回归系数 ，表示当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均减少3个单位，故C错误； 对于D，在回归分析模型中，残差平方和越小，决定系数 越大，模型的拟合效果越好，故D错误. 本题选错误的，故选ACD. 【点拨】本题考查统计学中的基本概念.需准确区分相关系数 （符号表示正负相关，绝对值表示相关强弱）与决定系数 （越接近1拟合越好）的统计意义. 10.　现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ 　　） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】AB 【解析】对于A，没有空盒子，意味着4个小球分别放入4个盒子，即4个小球的全排列，共有 种方法，故A正确； 对于B，可以有空盒子，即每个小球都有4种选择，共有 种方法，故B正确； 对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外3个盒子都有球.由于共有4个球，则必然有1个盒子放2个球，其余2个盒子各放1个球.先从4个盒子中选1个作为空盒，有 种；再从4个球中选2个捆绑在一起，有 种；最后将捆绑后的球和剩下的2个球放入选定的3个盒子中全排列，有 种.共有 种方法，故C错误； 对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒子，先选定这个小球和对应的盒子，有 种方法；剩下的3个小球放入剩下的3个盒子且均不能放入自己编号的盒子（即3个元素的错排），错排数为2种.共有 种方法，故D错误. 【点拨】本题综合考查排列组合的经典模型.“恰有空盒”对应分组分配问题（先分组后分配），“放入自己编号”对应错排问题. 11.　已知函数 ，则下列结论正确的是（ 　　） A. 当 时， 有两个极值点 B. 当 时， 在 处取得极大值 C. 若 满足 ，则 的最小值为 D. 若 存在极大值点 ，且 ，其中 ，则 【答案】ACD 【解析】由 ，得 . 对于A， 有两个极值点等价于 有两个不相等的实数根，即 ，化简得 ，解得 ，故A正确； 对于B，当 时，.令 得 或 .当 时，；当 时，.∴ 在 处取得极小值，故B错误； 对于C，若 ，则函数 的图像关于点 对称.又三次函数的对称中心横坐标为 ，∴ .即 ，化简得 .∴ .当 时， 取得最小值 ，故C正确； 对于D，若 存在极大值点 ，设极小值点为 ，则 是 的两根，且 ，.由 且 ，结合三次函数图像的性质（极值点与交点的横坐标关系，即“1:2”切线定理），可知 ，即 .整理得 .或者利用代数法：，对比原函数 的系数得 ，故D正确. 【点拨】本题考查三次函数的综合性质.需熟练掌握三次函数的导数与极值的关系、对称中心坐标公式、以及极值点与函数值相等的另一交点横坐标之间的比例关系. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.　甲将一枚硬币向上抛出10次，每次落下时正面朝上的概率为 ，用 表示落下时正面朝上的次数，则 的期望 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意可知，甲抛掷硬币10次，每次正面朝上的概率均为 ，且各次抛掷相互独立. 因此，落下时正面朝上的次数 服从二项分布，即 . 根据二项分布的数学期望公式，可得 . 【点拨】识别出随机变量服从二项分布模型是解题的关键，直接套用公式 即可快速求解. 13.　已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】已知 ①. 当 时，，解得 . 当 时， ②. ① - ② 得：，整理得 . 将其变形为 . ∵ ， ∴数列 是以2为首项，4为公比的等比数列. ∴ ，即 . 【点拨】本题考查由 与 的关系求通项公式.利用 转化为递推式，再通过构造辅助数列转化为等比数列是常规套路. 14.　已知函数 ，若 存在两个零点，则实数 的取值范围为 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由 得 ，即 . 变形为 ，即 . 设 ，则 ，∴ 在 上单调递增. 由 可得 . ∵ 存在两个零点，∴方程 有两个不相等的正实数根. 设 ，则 . 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增. ∴ 的最小值为 . 又当 时，；当 时，. ∴要使直线 与 的图像有两个交点，需满足 . 即实数 的取值范围为 . 【点拨】本题考查利用导数研究方程的根.通过同构法构造相同结构的函数 ，利用其单调性将复杂方程转化为 ，再分离参数构造新函数求导是解题的核心技巧. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.　 某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人.学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查. 将每天体育锻炼时长 小时视为锻炼达标，整理出如下列联表： 是否达标 学段 合计 初中 高中 达标 28 不达标 24 合计 60 40 100 （1）请完成上面列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联.（结果保留小数点后三位） （2）如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值 的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联.（结果保留小数点后三位） 附：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 列联表见解析；没有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联 （2） 有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联 【解析】解：（1）依题意，抽样比例为 . 在100人中，初中抽取 人，高中抽取 人. 初中达标人数为 人；高中不达标人数为 人. 完成的 列联表如下： 是否达标 学段 合计 初中 高中 达标 36 28 64 不达标 24 12 36 合计 60 40 100 ………………………… 2 分 根据列联表，计算得： ………………………… 5 分 ∵ ， ∴根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关. ………………………… 7 分 （2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍， 则 ………………………… 11 分 ∵ ， ∴根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联. ………………………… 13 分 【点拨】本题考查分层抽样与独立性检验.完善列联表时需注意抽样比例的计算，代入公式计算 时要细心，最后需将计算结果与临界值比较得出规范的统计推断结论. 16.　 在 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. （1）求 ； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） ， 【解析】解：（1）由题意得，展开式中第2，3，4项的二项式系数依次为 . ∵它们成等差数列，∴ ………………………… 2 分 即 ………………………… 4 分 化简得 ，解得 或 . ∵ ，∴ . ………………………… 7 分 （2）由（1）知 ，展开式共有8项， 二项式系数最大的项为中间两项，即第4项或第5项. ………………………… 9 分 第4项为： ………………………… 12 分 第5项为： ………………………… 15 分 【点拨】本题考查二项式定理的通项公式与二项式系数的性质.注意区分“二项式系数”与“项的系数”，二项式系数最大项仅由指数 的奇偶性决定. 17.　 新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1,2,3,4,5,6,7,8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费 (单位:百亿元) 2 3 6 10 13 15 18 21 销售量 (单位:百万辆) 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数 ，，. （1）根据样本数据，计算科研经费 与销售量 之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）； （2）根据样本数据，求销售量 关于科研经费 的线性回归方程（ 用分数表达）. 【答案】（1） ，线性相关程度很强 （2） 【解析】解：（1）由题中数据可得： ………………………… 2 分 ………………………… 4 分 ………………………… 6 分 ∴相关系数 ∵ ，∴ ………………………… 8 分 由于 接近1，∴科研经费与销售量之间线性相关，且线性相关程度很强. ………………………… 9 分 （2）由（1）可得： ………………………… 12 分 ………………………… 14 分 ∴销售量 关于科研经费 的线性回归方程为 . ………………………… 15 分 【点拨】本题考查一元线性回归方程的求解与相关系数的计算.熟练运用公式的变形形式 可大大简化运算过程. 18.　 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为 和 ，乙传给甲和丙的概率分别为 和 ，丙传给甲和乙的概率分别为 和 . （1）求第1次和第2次传球后球在乙手中的概率； （2）求第 次传球后球在乙手中的概率； （3）记第 次传球时，乙接到的次数为 ，则 服从两点分布，且 ，，设前 次传球后，乙接到球的总次数为 ，且 总成立，求实数 的最小值. 【答案】（1） 第1次 ，第2次 （2） （3） 【解析】解：（1）设第 次传球后球在乙手中的概率为 . 第1次由甲将球传出，甲传给乙的概率为 ，∴ . ………………………… 2 分 第2次传球后球在乙手中，说明第1次传球后球不在乙手中. 若第1次传球后球在甲手中，甲传给乙的概率为 ；若球在丙手中，丙传给乙的概率也为 . ∴第2次传球后球在乙手中的概率 . ………………………… 5 分 （2）由（1）的分析同理可得，第 次传球后球在乙手中，必然是第 次传球后球不在乙手中（即在甲或丙手中），且甲、丙传给乙的概率均为 . ∴ ………………………… 8 分 将其变形为 . 又 ， ∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. ………………………… 10 分 ∴ ， 即 . ………………………… 12 分 （3）由题意， ………………………… 14 分 ∵ 总成立，∴ 恒成立. 设 ，只需要 . 当 为奇数时，，随 的增大而减小，最大值为 ； 当 为偶数时，. ………………………… 16 分 ∴ . ∴ ，故实数 的最小值为 . ………………………… 17 分 【点拨】本题考查全概率公式与数列递推的综合.分析出“无论球在甲还是丙手中，传给乙的概率均为1/3”是建立递推关系 的破题关键. 19.　 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，设正项数列 满足：. （i）证明：； （ii）记数列 的前 项和为 ，证明：. 【答案】（1） 当 时，单调递增区间为 ；当 时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2） （i）证明见解析 （ii）证明见解析 【解析】解：（1）函数 的定义域为 ， . ………………………… 2 分 当 时， 恒成立，∴ 在 上单调递增； ………………………… 3 分 当 时，令 ，得 ；令 ，得 . ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减. ………………………… 5 分 （2）（i） 当 时，. 由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减. ∴ ，即 . 又 ，∴ . ∴ ，即 . ………………………… 7 分 下面证明：，只需证明 . 设 ， 则 . ………………………… 9 分 ∴ 在 上单调递增，∴ . 又 ，∴ ，即 成立. 综上，. ………………………… 11 分 （ii） 由（i）知 . 由 得 ，又 ，∴ . 由 得 . 又 ，∴ . ∴ . ………………………… 13 分 ∴ . 设 ， 则 . 两式相减得：. 即 . ………………………… 15 分 ∵ ， ∴ （当 时等号成立）； 又 . 故 . ………………………… 17 分 【点拨】本题考查导数在证明数列不等式中的应用.第（2）问的难点在于利用对数函数的放缩（如 ）构造出 的范围，进而通过累乘法和错位相减法实现对 的放缩. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $