精品解析：江苏南京市励志高级中学2025-2026学年高一下学期第三次调研考试数学试题

励志高级中学2025－2026年度高一年级第二学期第三次调研考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人 苏太盛 审题人 赵静波 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的共轭复数为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 3. 如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为四边形是矩形，且E为CD中点， 所以，且且， 所以. 4. 平行四边形ABCD中，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，． ，而， 5. 已知向量 ，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则， 所以. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以． 7. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在中，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 在中，，，， 由， 得，所以， 所以，， 所以． 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项，使用正弦定理即可求解；对于B选项，使用余弦函数单调性即可判断；对于C选项，使用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可判断；对于选项D，使用正弦定理边化角，再使用诱导公式即可判断； 【详解】对于A选项，若，则的外接圆半径满足，，圆面积为,故选项A错误; 对于B选项，若，由于在中，,函数在上单调递减，故，选项B错误； 对于C选项，由正弦定理可得，， ， 所以C为钝角，故为钝角三角形，选项C正确； 对于选项D,由可得 ，即， 则为等腰三角形，故选项D错误; 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确. 对于B，因为，所以z的共轭复数为，所以B正确. 对于C，，所以C正确. 对于D，，所以D错误. 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量是 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项：，则，故A选项错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：在方向上的投影向量，故D正确． 11. 已知，其中为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A，因为为锐角，所以，得，，A错误； 选项B，因为为锐角，所以，， 则， ，B错误； ， 选项C，由B选项可知，C正确； 选项D，由B选项可知，D正确 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知是共轭复数，若是纯虚数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意设， ，即，解得， 若是纯虚数，即是纯虚数，得 则 13. 已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，则 设，则 因为，所以（*）， 因为，所以， 将其代入（*），可得，解得 14. 内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角正切恒等式，结合题设求出角C，再通过正弦定理求出外接圆半径，最后求出面积 【详解】由三角形内角和得，故． 由正切和角公式， 代入得：，整理得． 结合题设，联立得． 因，故． 已知，设的外接圆半径为R，则 外接圆面积 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）若，求； （2）若的夹角为，求； （3）若，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到两向量的夹角，结合数量积公式计算即可； （2）根据展开即可求解； （3）根据向量垂直，展开后结合数量积的计算公式即可求解. 【小问1详解】 若，则与的夹角为或， 所以 或. 【小问2详解】 若的夹角为， 则 ， 所以． 【小问3详解】 若，则，即， 所以 ，即 ，解得， 又，所以． 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角形的三角关系以及正弦定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又，所以 ， 则， 化简得， ， 在中，，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以． 17. 已知向量. （1）若，求 的值； （2）若，且，求角. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由 ，可得，化简即可得出；（2）利用向量共线定理、三角函数的化简即可. 试题解析：（1）因为，所以，所以， 即，因为，所以. （2），得，即， 即，整理得， 又因为，所以， 所以或，即或. 18. 已知为锐角，． （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【18题详解】 【19题详解】 所以 ． 【20题详解】 因为， 所以 所以． 所以 且为锐角，可得，所以． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． （1）求； （2）若，求周长的最大值； （3）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线条件得到边角关系，再通过正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换与，直接求出，得； （2）用余弦定理结合基本不等式，将转化为关于的不等式，求出最大值，进而得周长最大值； （3）先由锐角三角形条件确定A的取值范围，再用正弦定理将b表示为关于A的函数，结合tanA的范围求出b的范围，最后代入面积公式，得到面积范围. 【19题详解】 在中，， 与共线，， 由正弦定理可得 ， ， ，又，所以． 【20题详解】 由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，则，所以周长的最大值为12． 【21题详解】 为锐角三角形，且角，所以，故， 由正弦定理得， ， 所以， 所以， 即， 面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 励志高级中学2025－2026年度高一年级第二学期第三次调研考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人 苏太盛 审题人 赵静波 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的共轭复数为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（ ） A. B. C. D. 4. 平行四边形ABCD中，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量 ，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在中，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量是 11. 已知，其中为锐角，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知是共轭复数，若是纯虚数，则______． 13. 已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 14. 内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）若，求； （2）若的夹角为，求； （3）若，求与的夹角． 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值． 17. 已知向量. （1）若，求 的值； （2）若，且，求角. 18. 已知为锐角，． （1）的值； （2）的值； （3）的值． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． （1）求； （2）若，求周长的最大值； （3）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $