8.6.1直线与直线垂直课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间直线与直线垂直，核心内容包括异面直线所成角的定义、范围及求法。课堂导入通过回忆直线间平行、相交、异面关系，结合正方体模型提问异面直线位置差异，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以正方体、长方体等模型为载体，通过例1求直线BA'与CC'所成角、例2证明AO⊥BD等实例，培养学生空间观念（数学眼光）、逻辑推理能力（数学思维）和符号表达能力（数学语言）。课堂小结系统梳理定义、范围及证明方法，助力学生构建知识体系，教师可借此高效开展空间几何教学。

8.6.1直线与直线垂直 预习课本P146~148页 学习目标 1.借助长方体，了解空间中直线与直线的垂直关系． 2．理解并掌握异面直线所成角，会求任意两条直线所成角． 2 思考 在前面的学习中，我们已经学习过直线与直线之间的关系，现在请同学们回忆一下，直线与直线之间有哪几种关系？ 提示：平行，相交，异面 追问：请同学们回忆一下异面直线的概念？ 3 观察 课本第146页 如图8.6-1，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与直线A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 提示：异面直线所成角 4 概念：异面直线所成角 如图8.6-2，已知两异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线a'//a, b'//b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 思考：空间两条直线所成角的范围与异面直线所成角的范围是一样的吗？如果不一样，有何区别？ 5 例题 课本第147页 例1 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'. （1）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？ （2）求直线BA'与CC'所成的角的大小. （3）求直线BA'与AC所成的角的大小. 解：（1）如图，棱AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A'所在的直线与直线AA'垂直. 6 例题 课本第147页 （2）求直线BA'与CC'所成的角的大小. 解：(2) ∵正方体ABCD-A'B'C'D'， ∴BB'//CC'. ∴∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角. ∵∠A'BB'=45°， ∴直线BA'与CC'所成的角等于45°. 7 例题 课本第147页 （3）求直线BA'与AC所成的角的大小. 解：（3）如图，连接A'C'. ∵正方体ABCD-A'B'C'D', ∴AA' BB'，BB' CC'. ∴AA' CC'. ∴四边形AA'C'C是平行四边形. ∴A'C'//AC. ∴∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角. 连接BC'，得△A'BC'是等边三角形. ∴∠BA'C'=60°. ∴直线BA'与AC所成的角等于60°. 8 练习 课本第148页 3.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD= ,AA'=2,求： （1）直线BC和A'C'所成的角的大小； （2）直线AA'和BC'所成的角的大小. 解：(1)∵长方体ABCD-A'B'C'D'， ∴BC//B'C'. ∴∠A'C'B'为直线BC和A'C'所成的角. ∵∠A'C'B'=45°， ∴直线BC和A'C'所成的角等于45°. 9 练习 课本第148页 （2）直线AA'和BC'所成的角的大小. 解:(2) ∵长方体ABCD-A'B'C'D'， ∴AA'//BB'. ∴∠B'BC'为直线AA'和BC'所成的角. 在Rt△B'BC'，BB'=2，B'C'= ∴tan∠B'BC'= . ∴∠B'BC'=60° . ∴直线AA'和BC'所成的角等于60° . 10 例题 课本第147页 例2 如图（1）在正方体 中， 为底面 的中心. 求证： 分析：要证明 ，应先构造出直线 与BD 所成的角，若能证明这个角是直角，即得 证明:如图(2),连接 . ∵正方体 ， ∴ , . ∴四边形 是平行四边形 . ∴ . ∴直线 与 所成的角即为 直线 与BD 所成的角. 连接 则 . ∵ 为底面 的中心， ∴ 为 的中点 . ∴ . ∴ . 11 练习 课本第148页 4 如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D为棱AC的中点，AB=BB'=2 ,求证BD⊥AC'. 证明:如图,取CC'的中点E,连接BE，DE. ∵正三棱柱ABC-A'B'C',D为棱AC的中点， ∴BD⊥AC，DE//AC'. ∵AB=BB'=2, 在Rt△BCD中，CD=1，BC=2, ∴BD= . 同理可得：DE= ，BE= . ∴ . ∴△BDE为直角三角形，∠BDE=90°. ∴BD⊥DE. ∵AC'//DE, ∴BD⊥AC'. 12 课堂小结 summary 1、异面直线所成角的定义； 2、异面直线所成角的范围以及空间两直线所成角的范围； 3、直线与直线垂直的证明. 13 课时作业：完成达标31 作业 homework 14 再见 15 $