2.8 函数的模型及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的模型及应用”核心考点，依据高考评价体系梳理了对数、指数、二次函数等模型在实际问题中的应用，通过近五年全国卷及地方卷真题分析，明确对数函数模型（如视力表、声压级）占比45%、指数函数模型（如酒精衰减、荷花生长）占比30%的高频考点分布，归纳数据转换、最值计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+模型建构+素养提升”策略，以2021全国甲卷视力表问题（L=5+lgV）为例，指导学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维列对数方程求解，总结“模型识别—参数计算—实际验证”三步法。特设“易错点警示”（如对数运算符号处理），助力学生掌握答题技巧，教师可据此开展精准复习，提升冲刺效率。

2.8　函数的模型及应用 返回目录 五年高考 考点　函数模型 1.★★(2021全国甲,文6,理4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助 视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小 数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力 的小数记录法的数据约为( ≈1.259)( ) A.1.5　　    B.1.2　　    C.0.8　　    D.0.6     C     解析　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,即lg V=-0.1=- =lg 1 , ∴V=1 = ≈ ≈0.8, ∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C. 返回目录 2.★★(2025北京,9,4分)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需 要的时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增 加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到 4.096×109个单位时,训练时间增加 ( ) A.2 h　　    B.4 h　　    C.20 h　　    D.40 h     B     解析　设三次训练的时间分别为T1 h,T2 h,T3 h,由题意得T1=klog2106, T2=klog21.024×109=k(log21 024+log2106)=k(log2106+10), 两式相减得T2-T1=10k=20,即k=2, 则T3-T2=2log24.096×109-2(log2106+10)=2(log2106+12)-2(log2106+10)=4.故选B. 返回目录 3.★★★(2022北京,7,4分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二 氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧 化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列 结论中正确的是 ( )     D     A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 返回目录 解析　对于A,当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026=3+lg 1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化 碳处于固态,∴A错误. 对于B,当T=270,P=128时,lg P=lg 128=2+lg 1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态, ∴B错误. 对于C,当T=300,P=9 987时,lg P=3+lg 9.987≈3+1=4,由题图可知,二氧化碳处于固态, ∴C错误. 对于D,当T=360,P=729时,lg P=lg 729=2+lg 7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临 界状态,∴D正确.故选D. 返回目录 4.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量 声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下 表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 返回目录 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3, 则( ) A.p1≥p2　　     B.p2>10p3 C.p3=100p0　　    D.p1≤100p2     ACD     返回目录 解析　对于C,由题意知20×lg =40,即lg =2,故p3=100p0,故C正确. 对于A,由题意知 ≥ ,所以20×lg ≥20×lg ,所以p1≥p2,故A正确. 对于B, =20×lg ∈[50,60],所以 ≤lg ≤3,所以p2∈[1 p0,103p0],即p2≤103p0=10p3, 故B错误. 对于D, =20×lg ∈[60,90],所以3≤lg ≤ ,所以p1∈[103p0,1 p0],因为100p2∈[1 p0, 105p0],所以p1≤100p2,故D正确,故选ACD. 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届江苏盐城七校联盟检测,4)为了解决大尺度问题的压缩,物理学家、地震 学家里克特设计了一种度量方式:里克特震级,简称里氏震级,后来经同行古登堡的改进 和完善,得到了震级的计算公式M=lg ,其中A是被测地震的最大振幅,A0是标准地震的 振幅,并通过研究得出了地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关 系lg E=4.8+1.5M.则10.0级地震释放的能量是6.0级地震的 ( ) A.1 倍　　    B.103倍　　    C.106倍　　    D.109倍     C     解析　设10.0级地震释放的能量为E1焦耳,6.0级地震释放的能量为E2焦耳,则lg E1=4.8+ 1.5×10.0=19.8,lg E2=4.8+1.5×6.0=13.8,则E1=1019.8,E2=1013.8,则 = =106.故选C. 返回目录 2.★★(2025届吉林长春质量监测,4)某学校科技创新小组准备模拟东风-31弹道导弹的 发射过程,假设该小组采用的飞行器的飞行高度y(单位:米)与飞行时间x(单位:秒)之间 的关系可以近似用函数y=alog3x+b来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米, 经过6秒时的高度为30米,欲达到50米的高度,需要 ( ) A.15秒　　    B.16秒　　    C.18秒　　    D.20秒     C     解析　由题意可得 解得a=20,b=10-20log32, 设达到50米的高度需要t秒. 则20log3t+10-20log32=50,解得t=18, 所以达到50米的高度需要18秒.故选C. 返回目录 3.★★(2026届广东揭阳联考,6)为了研究中学生远程网络学习的学习效率,某研究小组 将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化,通过调查研究发现,研究对象在40分 钟的远程网络学习中,注意力指数y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线.当t∈ [0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0 且a≠1)图象的一部分,根据专家研究发现,当注意力指数不低于80时,学习效率最佳.据 此可以判断,研究对象在40分钟的远程网络学习过程中,学习效率最佳的时间共有  ( ) (参考数据: ≈1.414, ≈1.732,lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)     A     返回目录   A.22.828分钟　　    B.9.172分钟 C.21.172分钟　　    D.21.477分钟 返回目录 解析　由题意可设f(t)=k(t-12)2+82,t∈[0,14], 由题图得f(14)=81,所以k=- . 又因为81=loga(14-5)+83, 所以loga9=-2,解得a= , 要使学习效率最佳,需y≥80, 所以  返回目录 或  解得12-2 ≤t≤14或14≤t≤32, 所以12-2 ≤t≤32, 因为32-(12-2 )=20+2 ≈22.828, 所以学习效率最佳的时间共有22.828分钟.故选A. 返回目录 4.★★(2026届湖北黄冈调研,5)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安 全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车,8 0 mg及以上认定为醉酒驾车.某天,驾驶员张某在家喝了一定量的酒后,其血液中的酒精 含量达到了0.5 mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时40%的速度减 少,那么他至少经过______小时才能安全驾驶?(结果取整数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3 ≈0.477) ( ) A.1　　    B.2　　     C.3　　    D.4     B     返回目录 解析　设经过x小时才能安全驾驶,由题意得50×(1-40%)x<20,则 < ,两边取对数得lg  <lg ,即xlg <lg ,x> = = ≈ ≈1.79,所以至少要 经过2小时才能安全驾驶.故选B. 返回目录 5.★★★(2026届黑龙江省实验中学段考(二),5)中国的5G技术领先世界,5G技术极大地 提高了数据传输速率,最大数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明:C与W满 足C=Wlog2 ,其中S是信道内信号的平均功率,N是信道内部的高斯噪声功率, 为 信噪比.当信噪比比较大时,上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W,而将信噪 比 从1 000提升至4 000,则C大约增加了 ( ) (附:lg 2≈0.301 0) A.10%　　    B.20%　　     C.30%　　    D.40%     B     返回目录 解析　当 =1 000时,C1=Wlog21 001≈Wlog21 000; 当 =4 000时,C2=Wlog24 001≈Wlog24 000, 所以增加的百分比为  = -1= -1= -1= -1= = ≈ ≈0.2= 20%.故选B. 返回目录 6.★★★(2026届山东大联考,6)按照国家《室内空气质量标准》规定:一般场所的二氧 化碳最高容许浓度为0.10%,某封闭办公场所会议刚结束时,测定空气中含有0.23%的二 氧化碳,使用空气净化设备后,可用函数y=0.05+k (k∈R)求得净化t min后二氧化碳的 浓度y%,若该场所二氧化碳浓度要达到国家标准,至少需要的时间为(结果取整数,参考 数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099,ln 5≈1.609) ( ) A.12 min　　    B.13 min　　    C.25 min　　    D.26 min     B     解析　当t=0时,y=0.05+k=0.23,解得k=0.18,所以y=0.05+0.18 ,由0.05+0.18 ≤0.1,得  ≤ ,即- ≤ln ,即 ≥ln 18-ln 5=ln 2+2ln 3-ln 5≈0.693+2×1.099-1.609=1.282,解 得t≥12.82.故至少需要的时间为13 min. 返回目录 7.★★★(2026届辽宁名校联盟期中,5)宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨,水 面清圆,一一风荷举”.已知池塘中的荷花每经过一天的生长,荷叶覆盖水面面积都是前 一天的 倍,若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半 时,荷叶大约生长了(参考数据:lg 2≈0.3) ( ) A.15天　　    B.16天　　    C.17天　　    D.18天     C     返回目录 解析　设荷叶覆盖水面的初始面积为a, 则经过x天荷叶覆盖水面的面积为y,则y=a· (x∈N*), 由题意得2a· =a· ,即241-2x=520-x, 两边同取常用对数得(41-2x)lg 2=(20-x)lg 5,所以(41-2x)·0.3=(20-x)·0.7,解得x=17.故选C. 返回目录 8.★★★(2026届江西赣州十八县二十四校期中联考,8)某试验稻田中,有害昆虫的数量 y(单位:千只)与时间x(单位:月)的关系为y=a·ex(e为自然对数的底数,e=2.718 28…),其中 系数a(a>0)可以通过喷洒农药等措施控制.试验员制定了实时监控比值M= ,当 比值M不超过e4时,稻田产量不受影响;当M超过e4时,稻田产量会受影响.预计稻田在x=3 时收割,为确保稻田产量不受有害昆虫影响,则实数a的最大值为 ( ) A.e3　　    B.3e2　　    C.  　　    D.7e     D     返回目录 解析　由题意得M= ,令M(x)= ,则M'(x)= (a>0),因此,M(x)在 区间(0,1)和(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减, 又M(1)=ae,M(3)= ,所以当x∈[0,3]时,M的最大值是 , 故 ≤e4⇒a≤7e,故a的最大值为7e. 返回目录 9.★★★★(2025届上海宝山质检,11)某物流公司为了扩大业务量,计划改造一间高为6 米,底面积为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙,无需建造 费用,设仓库前面墙体的长为x(4≤x≤6)米.现有甲、乙两支工程队参加竞标,甲队的报 价方案为仓库前面新建墙体每平方米400元,左右两面新建墙体每平方米300元,屋顶和 地面以及其他共计28 800元;乙队给出的整体报价为 ·6k·104元(k>0).不考虑其他因 素,若乙队要确保竞标成功,则实数k的取值范围是_________. 返回目录 解析　由题意知仓库前面墙体的长为x(4≤x≤6)米,则左右两面墙的宽度为 米, 则甲队整体报价为400×6x+300×6· ·2+28 800=2 400x+ +28 800, 若乙队要确保竞标成功,则  ·6k·104<2 400x+ +28 800, 所以6k·104< = ·102, 【方法技巧:分母是一次式的二次分式,将分母看作一个整体,将该分式转化为整式+分 返回目录 式形式,利用单调性求解】 则6k·102<  =  =24x+240+ =24(x+2)+ +192, 易知函数y=24(x+2)+ +192在[4,6]上单调递增,故ymin=24×6+ +192=400,故6k·102< 400,则k< , 所以实数k的取值范围是 . 返回目录 $