第六章 平面向量的数量积及运算基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量数量积的概念、运算及应用，通过基础到综合的题型设计，系统覆盖定义理解、性质应用、几何与实际情境结合的逻辑链条，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|题1,9|数量积、模长直接计算|以数量积定义为起点，强化基本运算技能| |性质辨析|题2,4,7|夹角、投影、充要条件判断|通过性质推导（夹角公式、投影定义）深化概念理解| |几何与实际应用|题3,6,8|位移、游船航行、正六边形模型|构建几何图形与实际问题的向量模型，体现应用意识| |综合解答|题11,12|最值、证明、取值范围探究|整合数量积性质与函数思想，形成“概念-性质-应用”完整逻辑链|

第六章 平面向量的数量积及运算·基础通关练 1. 已知，，与的夹角为60°，则（   ） A． B． C．36 D．72 2. 已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5. 已知向量满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6. 如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 7. （多选）已知向量与满足且，则下列说法正确的是（    ） A．向量与的夹角为 B． C．向量与向量垂直 D．若，则向量与向量所成的角为锐角 8. (多选)软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 9. 已知向量，的夹角为，，，则__________． 10. 如图，在边长为1的正方形中，，为线段的中点，则的值为_____________. 11. (1)已知向量，，若，求的最小值． (2)，，与的夹角为，求的最小值． 12. 如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D． (1)若，证明：； (2)若，，求a的值； (3)若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量的数量积及运算·基础通关练 1. 已知，，与的夹角为60°，则（   ） A． B． C．36 D．72 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 则. 2. 已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、利用向量垂直求参数 【分析】由向量垂直的坐标表示求得值，结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】当时，，所以，充分性成立； ， ，解得或，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、速度、位移的合成 【分析】根据航行距离最短有合成速度垂直于两岸，即，再应用诱导公式化简，即可得. 【详解】要使船的航行距离最短，只需合成速度垂直于两岸， 所以，即. 故选：C 4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【详解】由题意，，， 则在上的投影向量为. 5. 已知向量满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】向量夹角的计算 【详解】由，得， 又，所以， 所以， 因为，所以． 6. 如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、速度、位移的合成 【分析】由数量积的运算律，定义，结合模长计算可得. 【详解】由题意可得质点P位移为， 所以 因为，，所以， 设的夹角为，所以， 因为所以， 所以. 故选：D 7. （多选）已知向量与满足且，则下列说法正确的是（    ） A．向量与的夹角为 B． C．向量与向量垂直 D．若，则向量与向量所成的角为锐角 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量数量积的运算律求得，再由向量数量积的定义求得判断A；对于B，C，D，根据向量数量积的运算律，向量垂直的表达式以及向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】由取平方，可得，即得， 因，则， 又，则，故A错误； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，由，可知向量与向量垂直，故C正确； 对于D，由， 当时，，但是，当时，与共线且方向相同， 此时向量与向量所成的角不为锐角，故D错误. 故选：BC. 8. (多选)软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、相等向量、向量加法的法则 【详解】根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D. 对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等， 所以向量与向量相等向量，A正确． 对于B，由图易得，，则向量与向量的夹角为， 则，B错误． 如图，因为，， 则，C正确． 为正三角形，连接交于点，由对称性可知，， 且，，则，， 故，D正确．    9. 已知向量，的夹角为，，，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量，的模和夹角即可得出的值. 【详解】由题意， 向量，的夹角为，，， ， 故答案为：. 10. 如图，在边长为1的正方形中，，为线段的中点，则的值为_____________. 【答案】 【难度】0.72 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】通过建立平面直角坐标系求出各关键点的坐标，结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如下： 由题意得，设， 因为，则有，即，解得， 即，因为为线段的中点，则，即， 则， 则. 11. (1)已知向量，，若，求的最小值． (2)，，与的夹角为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据向量的模的坐标公式及二次函数的性质即可求解． （2）根据向量的模的运算公式、向量积的运算及二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）依题意可得， 则， 当时，取得最小值． （2）由， 当时，取得最小值． 12. 如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D． (1)若，证明：； (2)若，，求a的值； (3)若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.6 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、用定义求向量的数量积 【分析】（1）用中点公式表示 ，结合 ，再通过向量减法得到 ； （2）引入未知的比例系数，将相关向量都用两个不共线的基底表示，利用向量相等的条件，将各分向量表达式代入，得到关于两个未知数的方程组，解方程组求得目标系数. （3）设 ，将数量积表示为 的二次函数，由 求值域. 【详解】（1）证明：因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以. （2）设， 由， 得， 即， 即， 因为，不共线，所以，解得. （3）因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，，， 设， 则， 因为，所以， 所以的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $