专题03 平面向量数量积及其应用15种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 系统整合平面向量数量积15类考法，以“概念-方法-应用”逻辑链构建解题体系，通过分层题型培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数量积计算|6类/42题|定义法、基底法、极化恒等式等6种核心算法|从数量积定义出发，通过不同场景（几何图形、坐标体系）构建计算方法网络| |数量积应用|9类/51题|模的运算、参数求解、最值分析等综合策略|以数量积为核心，延伸至夹角、垂直、投影等应用，形成“计算-推理-应用”完整链条|

专题03 平面向量数量积及其应用15种常考考法归类 题型一 向量数量积的夹角及运算律 题型九 求向量的模 题型二 定义法求数量积 题型十 已知模求参数 题型三 基底法求数量积 题型十一 模的最值问题 题型四 极化恒等式求数量积 题型十二 向量垂直问题 题型五 投影法求数量积 题型十三 求向量的夹角 题型六 坐标法求数量积 题型十四 已知向量的夹角求参数 题型七 数量积的最值问题 题型十五 求投影向量 题型八 利用向量数量积判断平面图形形状 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量数量积的夹角及运算律 1．（2026高一·宁夏石嘴山·阶段检测）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若和都是单位向量，则 C． D．若，则且 2．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026高一·辽宁辽阳·阶段检测）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 题型2 定义法求数量积 5．（2026高一·四川达州·阶段检测）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2 6．（2026·山西临汾·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（2026高二·福建·学业考试）已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·北京海淀·模拟预测）已知是单位向量，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东威海·模拟预测）已知向量的夹角为，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 10．（2026高一·广东广州·期中）已知，，与的夹角为60°，则（   ） A． B． C．36 D．72 11．（2026高一·湖南湘潭·期中）已知向量和夹角为，且，求： (1)的值； (2)的值； (3)与的夹角的余弦值． 12．（2026·广东佛山·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（     ） A． B． C． D． 题型3 基底法求数量积 13．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 14．（2026高一·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 15．（2026高一·上海·期中）在中，， 是上一点，，则________ 16．（2026高一·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 题型4 极化恒等式求数量积 17．（2026高三·江苏南通·期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________． 18．（2026高一·全国·专题练习）已知为边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 19．（2026高三·全国·专题练习）半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________． 题型5 投影法求数量积 20．（2026·山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（山东九五高中协作体2026届高考最后一卷数学试卷）在 中， ， ，则 的值为_____. 22．（2026高一·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2026·北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________. 题型6 坐标法求数量积 24．（2026高三·广东·阶段检测）已知，若与的夹角为，则（    ） A．10 B． C．15 D． 25．（2026高二·山东潍坊·阶段检测）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2026·安徽芜湖·模拟预测）梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 27．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知为直线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D． 28．（2026高一·辽宁朝阳·期中）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2026高一·上海·阶段检测）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 题型7 数量积的最值问题 30．（2026·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．（2026高三·山西晋城·阶段检测）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 32．（2026高三·河南南阳·期中）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2026高三·北京海淀·阶段检测）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（2026高三·云南曲靖·阶段检测）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高三·天津·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则___________：若点为线段上的动点，则的取值范围为___________．    36．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是______． 37．（2026高一·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________. 38．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 题型8 利用向量数量积判断平面图形形状 39．（2026高一·北京·阶段检测）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 40．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 41．（2026高一·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 题型9 求向量的模 42．（2026·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 43．（2026高一·江苏连云港·阶段检测）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 44．（2026高一·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 45．（2026高三·江西宜春·期末）已知单位向量，满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 46．（2026·四川成都·模拟预测）已知向量满足，则__________. 47．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）平面向量，满足，，，则______． 题型10 已知模求参数 48．（2026·北京东城·模拟预测）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 49．（2026·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 50．（2026高一·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 51．（2026高一·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 52．（2026高一·江苏南京·期中）在中，已知，，和的夹角为，且． (1)若为的中点，求． (2)已知，若，求实数的值． 题型11 模的最值问题 53．（2026高一·浙江·阶段检测）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 54．（2026·河北邢台·模拟预测）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 55．（2026高一·四川南充·期中）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小 值为___________． 56．（2026·陕西安康·模拟预测）已知向量，满足，且，则的最大值是______. 57．（2026高一·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 题型12 向量垂直问题 58．（2026·安徽合肥·模拟预测）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 59．（2026·河北沧州·模拟预测）已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 60．（2026·重庆·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 61．（云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二学期5月联考数学试题）已知向量，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．7 D．3 62．（2026·江苏常州·模拟预测）设向量，，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 63．（2026高一·内蒙古·期中）已知向量，，若，则______ 64．（2026高一·江苏苏州·期中）已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 题型13 求向量的夹角 65．（2026高一·辽宁朝阳·期中）已知向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 66．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知单位向量满足，则______. 67．（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 68．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 69．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量与满足：，且，则与的夹角为__________. 70．（2026高一·山东枣庄·期中）已知向量，则___________． 71．（2026高一·天津红桥·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 72．（2026高一·陕西榆林·期中）已知向量，若. (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值. 题型14 已知向量的夹角求参数 73．（2026高一·江苏南京·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 74．（2026高一·山东聊城·期中）已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 75．（2026高一·江西抚州·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则取值范围是______； 76．（2026高一·湖北武汉·期中）已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 77．（2026高一·吉林长春·阶段检测）已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 78．（2026高一·广东揭阳·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 79．（2026高一·江苏宿迁·阶段检测）已知 (1)求在上的投影向量的坐标. (2)若 与 的夹角为钝角，求实数的取值范围. 80．（2026高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 81．（2026高一·天津武清·阶段检测）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 82．（2026高一·广东广州·期中）已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 题型15 求投影向量 83．（山东省枣庄市第三中学2025-2026学年高三学期10月学情诊断测试数学试题）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 84．（2026高一·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 85．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 86．（2026高三·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 87．（2026·四川凉山·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 88．（2026·重庆·模拟预测）已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 89．（2026高三·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 90．（2026·安徽淮南·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 91．（2026高三·江西上饶·阶段检测）记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 92．（2026高三·河南南阳·期中）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 93．（2026高三·甘肃兰州·阶段检测）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为______． $专题03 平面向量数量积及其应用15种常考考法归类 题型一 向量数量积的夹角及运算律 题型九 求向量的模 题型二 定义法求数量积 题型十 已知模求参数 题型三 基底法求数量积 题型十一 模的最值问题 题型四 极化恒等式求数量积 题型十二 向量垂直问题 题型五 投影法求数量积 题型十三 求向量的夹角 题型六 坐标法求数量积 题型十四 已知向量的夹角求参数 题型七 数量积的最值问题 题型十五 求投影向量 题型八 利用向量数量积判断平面图形形状 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量数量积的夹角及运算律 1．（2026高一·宁夏石嘴山·阶段检测）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若和都是单位向量，则 C． D．若，则且 【答案】D 【详解】对于A，零向量有方向，其方向是任意的，A错误； 对于B，和都是单位向量，则和的长度相等，方向不确定，因此和不一定相等，B错误； 对于C，是实数，是与共线的向量，同理是与共线的向量， 而向量与可能不共线，C错误； 对于D，由，得且方向相同，从而有，D正确. 2．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【详解】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D 3．（2026高一·辽宁辽阳·阶段检测）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形， 所以，则向量与的夹角为. 故选：B 4．（2026高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解； （2）由向量夹角的定义即可求解； （3）由向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型2 定义法求数量积 5．（2026高一·四川达州·阶段检测）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】根据平面向量数量积的定义可得 . 6．（2026·山西临汾·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】. 7．（2026高二·福建·学业考试）已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 所以. 8．（2026·北京海淀·模拟预测）已知是单位向量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是单位向量，且 所以 9．（2026·山东威海·模拟预测）已知向量的夹角为，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】由题意可知：向量的夹角为，， 则， 所以. 10．（2026高一·广东广州·期中）已知，，与的夹角为60°，则（   ） A． B． C．36 D．72 【答案】A 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 则. 11．（2026高一·湖南湘潭·期中）已知向量和夹角为，且，求： (1)的值； (2)的值； (3)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）依题意，； （2）因， 则； （3）因， 由（2）得，则. 12．（2026·广东佛山·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将用表示，通过平方运算求得，再代入所求数量积表达式计算结果. 【详解】由已知，移项得，两边同时取模平方， 得， 代入 ，得 ，解得， 将代入所求表达式： ， . 题型3 基底法求数量积 13．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则， ， ， ， ． 14．（2026高一·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 【答案】1 【详解】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点， 所以 ， ， ， ， . 15．（2026高一·上海·期中）在中，， 是上一点，，则________ 【答案】 【分析】先将，用表示出来，再利用向量运算法则及向量数量积的运算求解. 【详解】 ， ， . 16．（2026高一·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 【答案】 【分析】分别用，表示出和，结合向量数量积及运算律求解即可. 【详解】由为中线可得，.    又点为中线的三等分点，所以. 因为点为的中点，所以， 又， 所以. 题型4 极化恒等式求数量积 17．（2026高三·江苏南通·期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________． 【答案】-4 【分析】利用向量数量积的极化恒等式求解 【详解】取MN中点E，由向量数量积的极化恒等式， ∴， ∴，∴． 故答案为：-4. 18．（2026高一·全国·专题练习）已知为边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析 本题除了用建系法之外，还能用极化恒等式及分析法来解答，但要先取的中点． 法一：极化恒等式 显然． 法二：分析法 先化简，显然只可能，，三点共线时（因为无限制）才会有的结果最小，此时由均值或轮换对称的思想知，只可能为中点时取得最小值． 19．（2026高三·全国·专题练习）半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可得四边形是菱形，然后利用极化恒等式可得到，，即可求得答案 【详解】由得， 所以四边形是平行四边形，又，则四边形是菱形， 易得是等边三角形，所以， 设四边形对角线的交点为E，， 由极化恒等式得， ， 所以， 因为是圆内一点，所以，所以，即. 故答案为： 题型5 投影法求数量积 20．（2026·山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 21．（山东九五高中协作体2026届高考最后一卷数学试卷）在 中， ， ，则 的值为_____. 【答案】 【分析】取的中点为，连接，利用向量的投影向量大小即可求解. 【详解】取的中点为，连接， 由，所以， 所以在上的投影向量的大小为， 所以. 22．（2026高一·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的对称性，结合平面向量数量积的几何意义进行求解即可. 【详解】由正六边形的对称性可知，易知正六边形的每个内角为. 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值； 当最小时，取得最小值. 可知当与重合时，取得最大值， ，此时.. 当与重合时，取得最小值，此时， 此时，故的取值范围为. 23．（2026·北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________. 【答案】 1,1 【详解】根据平面向量的点乘公式,由图可知，, 因此=; ,而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1. 【考点定位】本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法． 题型6 坐标法求数量积 24．（2026高三·广东·阶段检测）已知，若与的夹角为，则（    ） A．10 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积定义及乘法分配律，结合模长坐标运算公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，与的夹角为， 所以， 则. 故选：B 25．（2026高二·山东潍坊·阶段检测）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式求解. 【详解】由向量，得， 由，得，所以. 故选：B 26．（2026·安徽芜湖·模拟预测）梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】   如图所示，由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，设， 则有，，，，由于为的中点，所以， 得，， 所以，故B正确. 27．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知为直线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用共线定理可得，再由平面向量数量积的坐标公式及二次函数的最值即可求解． 【详解】由题意可得， 因为为直线上的一个动点，可设， ， 所以当时，有最小值． 28．（2026高一·辽宁朝阳·期中）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求，或者利用数量积的运算律可求. 【详解】法1：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 所以，， 因为，且，，所以， 因为，所以，所以； 法2：因为，可得， 因为，可得， 所以，所以， 由，且相似比为，可得， 所以，因为， 所以 ． 29．（2026高一·上海·阶段检测）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，先求出点坐标，再利用向量的数量积的坐标运算，以及基本不等式的计算可得. 【详解】由， 则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设，，则，，，， 又， 其中是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， ，即， ， ， ， 当且仅当时取“”， 故的最大值为. 题型7 数量积的最值问题 30．（2026·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 31．（2026高三·山西晋城·阶段检测）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 32．（2026高三·河南南阳·期中）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影法研究数量积最值. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为． 当在处时，最小，最小值为； 当在处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故选D． 33．（2026高三·北京海淀·阶段检测）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：利用几何法，延长线段至点，使得，然后由数量积的几何意义求得结果；方法2：利用代数计算法，将等式展开得到，进而可求得结果. 【详解】法1：由题意得，延长线段至点，使得， 易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知 故选：C. 法2：由可得. 设夹角为，得，故，解得，故. 故选：C. 34．（2026高三·云南曲靖·阶段检测）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 35．（2026高三·天津·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则___________：若点为线段上的动点，则的取值范围为___________．    【答案】 /0.25 【分析】由题意得，从而；对于第二空，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意， 又， 所以，则， 设， 可得， 而， 得到 ， ， 设，对称轴是， 故在上单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 36．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意分点在上时，点在上两种情况进行运算求解即可. 【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点， 所以为等边三角形，即， 所以，又， 所以． 当点在上时，如图2， 此时，所以， 又，所以． 综上，． 故答案为： 37．（2026高一·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】以为原点，以、为轴、轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 设，则，. 所以. 所以当在五边形上移动纵坐标最大时，取最大值. 易知，当点与点重合时，点纵坐标最大，此时， 因此的最大值为. 38．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 题型8 利用向量数量积判断平面图形形状 39．（2026高一·北京·阶段检测）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 40．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 41．（2026高一·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 题型9 求向量的模 42．（2026·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】，又，，， 则，所以. 故选：D. 43．（2026高一·江苏连云港·阶段检测）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 44．（2026高一·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积可求的值. 【详解】, 故选：A. 45．（2026高三·江西宜春·期末）已知单位向量，满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由单位向量结合三角形法则得出，由数量积求即可. 【详解】因为单位向量，满足， 设，，则, 由题意，向量与的夹角为， 即在中，,又，即， 故为等边三角形，所以， ， 所以， 故选：C. 46．（2026·四川成都·模拟预测）已知向量满足，则__________. 【答案】2 【分析】先根据垂直关系求出数量积，再利用模长公式可求答案. 【详解】因为，所以，所以. 又因为，所以. 故答案为：2 47．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）平面向量，满足，，，则______． 【答案】 【分析】对两边平方可得，再计算从而可得结果. 【详解】由，两边平方可得，解得， 则，. 故答案为：. 题型10 已知模求参数 48．（2026·北京东城·模拟预测）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 49．（2026·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意，，由得，进而可得. 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 50．（2026高一·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 51．（2026高一·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 52．（2026高一·江苏南京·期中）在中，已知，，和的夹角为，且． (1)若为的中点，求． (2)已知，若，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）首先可得，再由数量积的运算律及定义计算可得； （2）用、表示，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，和的夹角为，且， 所以 因为为的中点，所以， 所以； （2）因为 ， 所以， 即有， 代入已知条件有，解得． 题型11 模的最值问题 53．（2026高一·浙江·阶段检测）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义和运算性质，化简条件，用模长表示夹角余弦值的函数，求出模长范围. 【详解】已知，得，变形得， 设，则，变形得， 因为，所以，因为，所以， 解不等式组，当时，解得. 故选：D. 54．（2026·河北邢台·模拟预测）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 55．（2026高一·四川南充·期中）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小 值为___________． 【答案】 【分析】设向量，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设向量，因为且与的夹角为， 则 ，所以当时，的最小值为. 故答案为：. 56．（2026·陕西安康·模拟预测）已知向量，满足，且，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据向量加法的几何意义可得结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 57．（2026高一·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据得到，代入计算即可得到答案； （2）求得，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 即， 因为，， 所以， 解得. （2）， 所以当时，有最小值2， 故的最小值为. 题型12 向量垂直问题 58．（2026·安徽合肥·模拟预测）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 59．（2026·河北沧州·模拟预测）已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用向量垂直求出，再用模长公式计算结果. 【详解】， 所以， 因为，则，即：. 解得：. 所以. 60．（2026·重庆·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】已知向量，， 则， ， ，解得． 61．（云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二学期5月联考数学试题）已知向量，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．7 D．3 【答案】C 【分析】由向量垂直以及数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，解得. 62．（2026·江苏常州·模拟预测）设向量，，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】D 【分析】由，和，分别求得x的值，再逐项判断. 【详解】因为向量，， 若，则 ，即，解得 或 ； 若则，即，解得 或 ； 所以，”是“”的充分条件，故A错误； “”是“”的充分不必要条件，故B错误； “”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； “”是“”的充分条件，故D正确； 63．（2026高一·内蒙古·期中）已知向量，，若，则______ 【答案】 【详解】因为，，所以， ， 因为， 所以，化简得：. 64．（2026高一·江苏苏州·期中）已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助数量积公式计算可得，再利用向量垂直性质计算即可得； （2）借助模长与数量积的关系计算可得、，再利用平面向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1），解得， 由，则，解得； （2）由，则，， ，则，， 故. 题型13 求向量的夹角 65．（2026高一·辽宁朝阳·期中）已知向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以. 66．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知单位向量满足，则______. 【答案】/ 【分析】由求解即可. 【详解】， 又，为单位向量， 故，解得， 又， 所以. 67．（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 以及，又因为， 所以， 得， 从而， 同理， 而， 故. 68．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【答案】 【详解】设与的夹角为， 由于在上的投影向量为，则，又，， 则，即，而，则. 69．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量与满足：，且，则与的夹角为__________. 【答案】 【详解】根据向量的计算，由， 而因为，所以， 由，得，， 则，故与夹角为. 70．（2026高一·山东枣庄·期中）已知向量，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以. 71．（2026高一·天津红桥·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用向量共线的坐标表示，列出方程，求得，结合模的计算公式，即可求解； （2）由，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，因为，可得，解得， 所以，所以. （2）解：由向量，可得， 因为，可得， 解得，所以，则且， 所以. 72．（2026高一·陕西榆林·期中）已知向量，若. (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合数量积的坐标运算求解； （2）由题意可得，利用向量的坐标运算求向量夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得. （2）因为，则， 由（1）可得，则， 所以. 题型14 已知向量的夹角求参数 73．（2026高一·江苏南京·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，解得. 74．（2026高一·山东聊城·期中）已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用模长公式及夹角范围得出数量积范围计算求解. 【详解】因为，所以，所以， 即得，，解得， 又因为为锐角，且， 所以且，即得且， 所以的取值范围是. 75．（2026高一·江西抚州·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则取值范围是______； 【答案】 【分析】与的夹角为锐角的充要条件是，与的数量积大于0且不共线，由此列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，，即，解得， 即且. 所以取值范围是. 76．（2026高一·湖北武汉·期中）已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】根据向量夹角公式，可得m的范围，求出当时，m的值，分析即可得答案. 【详解】由与夹角为钝角，得， 解得， 当时，可得，解得，不在范围内， 所以实数的取值范围为 77．（2026高一·吉林长春·阶段检测）已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题知且向量与方向不相同，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与方向不相同， ，解得， 向量与共线，解得， 所以时，向量与共线且方向相同， 所以的取值范围为 78．（2026高一·广东揭阳·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则得到，从而利用向量数量积的坐标表示即可得解； （2）由题意到得，且与不平行，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）由，则， 即， 即，得. （2）若为钝角，即且不共线， 即，得，且， 得且，综上解得且. 79．（2026高一·江苏宿迁·阶段检测）已知 (1)求在上的投影向量的坐标. (2)若 与 的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，直接求出在上的投影向量的坐标. （2）利用向量夹角公式，结合向量共线列式计算即得. 【详解】（1）依题意，，故在上的投影向量为 （2）依题意，，， 由与 的夹角为钝角，得，且与不共线， 则且，解得，且， 所以实数的取值范围是 80．（2026高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 81．（2026高一·天津武清·阶段检测）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且. 【分析】（1）先由数量积公式求出，故； （2）利用数量积运算法则计算出的值； （3）且与不同向共线，从而得到不等式，求出且.. 【详解】（1） ， 故； （2） ； （3）由题意得且与不同向共线， ，解得 令，即，解得，则， 综上，且. 82．（2026高一·广东广州·期中）已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积中向量夹角余弦公式，已经向量的模长计算方法，求出向量夹角余弦值. （2）根据向量夹角为钝角时，向量数量积小于零，但不反向共线的性质，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）根据题意，当时，是夹角为的单位向量， 所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 即向量与夹角的余弦值为． （2）根据题意，因为与的夹角为钝角， 所以且不共线， 所以，且， 即，且， 所以且， 故的取值范围为． 题型15 求投影向量 83．（山东省枣庄市第三中学2025-2026学年高三学期10月学情诊断测试数学试题）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 84．（2026高一·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 85．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 86．（2026高三·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 87．（2026·四川凉山·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 88．（2026·重庆·模拟预测）已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求向量和， 然后根据投影向量公式计算. 【详解】已知点，，，则 ， ，投影向量为， ，， 所以. 故选：C 89．（2026高三·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先求出，再由向量在方向上的投影的数量为计算可得. 【详解】由向量，可得， 因为向量在方向上的投影的数量为， 由题意可得，解得. 故选：B 90．（2026·安徽淮南·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】， ∴. 故选：A. 91．（2026高三·江西上饶·阶段检测）记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由题意可得， 故向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ， 故选：C 92．（2026高三·河南南阳·期中）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为：， 故有，解得. 故选：C. 93．（2026高三·甘肃兰州·阶段检测）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为______． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算可得，结合投影向量的概念计算即可求解. 【详解】因， 则， 得， 在方向上的投影向量为 ． 故答案为： $