河北承德市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

绝密★启用前 高一数学 2205G101B 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、班级和考号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知角a的终边经过点(1,2)，则sina= B、26 5 c唱 n25 2.用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则该直观图的面积是 A号 B号 C.2 D.√3 3.已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A若m/a,mn,则na B.若m/a,nCa,则mn C.若mn,nCa,则ma D.若m∥a,mCB,a∩B=n,则m∥n 4.在△ABC中，A市=号A,B=号BC,=号Ci,G为DE中点，则成- A}A丽-号Ad B号A店-}AG c菇-号ac D.号a店-AG 5.将函数y=c0sx图象上各点的横坐标先缩短至原来的分，纵坐标不变，再向左平移胥个单位， 得到曲线y=g(x).若直线x=t是曲线y=g(x)的一条对称轴，则|t|的最小值为 A音 c 高一数学B第1页（共4页） 6.一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在A处时测得公路右侧一楼阁屋顶仰角为30°，向 前行驶60米到达B处时又测得楼阁屋顶仰角为60°，继续向前行驶60米到达C处时再次测 得楼阁屋顶仰角为45°.则该楼阁的高度OP= 30° .60 45° 6周 A.165米 B.16√15米 C.125米 D.12√15米 1 7.已知平面向量a,b,c满足a=b=1,a·b=一2，则以下结论中错误的是 A.la+bl=1 Ba在b上的投影向量的模是 2 C.(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 D若方c-a+b)=号，则1c的取值范围是1,3] 1 8.已知棱长为a的正方体内恰好装人两个相外切的球O1,O2,球心O1,O2在正方体的体对角线 上，其中球O2的半径为2，球O1的半径为1，则该正方体的棱长a= A.3+√5 B.3+2√3 C.3+33 D.2+23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥 而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 C 10已知0Ca<n。-引-2语，则casg A8￥G B26 C √10 5 5 D. 10 高一数学B第2页（共4页） 11.定义平面向量a=(x,y)的一种新运算[a]=|x|+|y.现有平面向量m=(x1,y1),n= (x2y2),则下列说法正确的是 A.当a=(-3,2)时，[a]=5 B.[m+n]≤[m]+[n] C.[m]×[n]≥m·n D.[m]-[n]≥m·n 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量a,b满足a=(1,2),b=(一2，m),若a⊥b,则m= 18.若函数f(x)=tan(ax+）(o>0)在区间（一t,t)上单调，且t(o,牙 ,则ω的取值范围为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S满足bc=一 S 2sinA ,则 2 b 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)设a,b是两个不共线的单位向量，c=2a一tb,d=a十2b,t∈R. (1)若ca,求t的值； (2)若1a+b=1,则当u为何值时，a一b|的值最小？ 16.(本小题满分15分)如图，在三棱锥O-ABD中，E,F,H分别为侧棱OA,OB,OD上异于端 点的点，器8-8器 (1)求证：平面EFH/∥平面ABD; (2)在线段BD上取靠近点B的三等分点C,连接AC,则在线段FH上是否存在点G,使 ACEG,若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由. D 高一数学B第3页（共4页） 17.(本小题满分15分)已知m=(cosa,sina),n=(cos,sin),a,B∈(0，），m·n=号，1+ 1 tan atan B=tan(B-a) (1)求sin(a-)的值； (2)求cos(a+β)的值. 18.(本小题满分17分)如图所示，正四棱台ABCD-A1B,C,D1的上、下底面面积之比是子，E, F分别为AB1,B1C1的中点，点G满足B1G=λB1B,A∈[0,1]. (1)当入为何值时，EG/平面AC1B; (2)在(1)的条件下，求三棱锥G-EFB1与四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积之比； (3)连接BD,在线段BD上取点M,且满足D,M/件面EPG,求能使2sin(2d-3-1≤0 成立的t的最小值 B D: 19.(本小题满分17分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且bcos A- 年ng-0 (1)求A; (2若cos(B+)-瓷，且△ABC的面积为8+2原，求6的值， (3)若△ABC为锐角三角形，O为△ABC所在平面内一点，且满足(OA+OB)·AB= (OA+O元)·AC=0,设Ad=xA言+yAC(xy∈R),求工+义的取值范围. 高一数学B第4页（共4页） 高一数学参考答案及解析 2205G101B 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D B D A AD CD ABC 1.D 解析】因为角a的饶边经过点1,2，所以sm0-放选D 2,C【解折】因为原正方形的面积为4，根据斜二测画法的特征，可知直观图的面积是竖×4一反.故选C 3.D【解析】已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面， 若m/a,mm,则na或nCa,A选项错误；若ma,nCa,则mn或m,n异面，B选项错误；若mn, nCa,则ma或mCa,C选项错误；若ma,mCB,a∩B=n,则由线面平行的性质定理可知m/n,D选 项正确.故选D. 4.B【解析】取AF中点H,连接DH,易得DH/GFEC,且有DH=BE=子BC, 则心=2（ò+C2)=之成+C)=2克-号A-A心）=号A-A心.故选B, D 5.B【解析】由题知曲线y-c0sx经图象变换得到曲线gx)=co2x十》，因为直线x=:是曲线y= g(x)的一条对称轴，所以2z+弩=kx便∈乙，即1=-音+受（∈Z0,显然当及=1时，取得最小值 2 吾故选B 6.D【解折】设OB=A米，因为∠P80=60,an60-5=,则0P=5A,又∠PA0=30, ∠P00=45,所以0A=0Pn-54=3h,0C=0P tan30° 5 tan 45=/3h 在△OBC中，0C2=OB2+BC2-20B·BC·cos∠OBC,即3h2=h2+602-2X60 Xh Xcos∠0BC①； 在△OAB中，OA2=OB2+AB2-2OB·AB·cos∠OBA,即9h2=h2+602-2X60 Xh Xcos∠OBA②. 因为cos∠OBC十cos∠OBA=0,所以①②两式左右两边分别相加可得12h2=2h'+2X602,解得h= 125,所以OP=3h=12√15，即该楼阁的高度为12√/15米.故选D. 7.C【解析】对于A,因为|a十b=|a2+2a·b+|b1?=1,所以1a十b|=1,A正确；对于B,a在b上的 投影向量的银即为la1omsa,8》=lal日治-受所以B正确：对于C,a+b-a+2ab+ 6)a+b)=a+a+2ab)b+6+2a·ba+b,所以C错误影对于D,由合c-(a+b)-号，可得 lc-2(a+b)1=1,结合题意画图，设OA=a,O=b,0元=c,0i=2(a+b),则c-2(a+b)=0心- Oj=D心，所以c是以0为起点，终点C在以D为圆心，以1为半径的圆上，又因为Od1=2(a十b)= 高一数学B参考答案第1页（共7页） 2W瓜+b+2a·5=2,1+1+2×(-）=2,所以1c的取值范围是[1,3]，故D正确.故选C. 8.A【解析】结合题意作直观图如图： 设正方体为ABCD-A1B,CD1, 作出截面AA1CC,连接球心O1与上底面的切点，球心O2与下底面的切点，如图所示， A 年 91 因为球01,02的半径分别为1,2，所以0G=1,02H=2, 而在正方体中，结合题意易如哈-8品-合品=厅，所以A0,-月，0，=2厅。 所以AC=3+33,而A1C=3a,所以a=3+3.故选A 9.AD【解析】当截面ABCD如下图为轴截面时，截面图形为选项A中的图形； .-0 D 当截面ABCD如下图不为轴载面时，截面图形为选项D中的图形，下侧的形状为抛物线。 D 故选AD. 高一数学B参考答案第2页（共7页） 10.cD【得折】由。一》-侣可得如s子-aea如子-装，即如。-o8-子， 所以in>0,e8sa<0,又因为0<a<,所以受<<，所以<号<登 （sn。-6so-号，即sna-2naco98+cosa-2号，所以2aina60sa=2器， 所以s如a+2 2in c0+coia=房即(na+asor=完所以s如e十osa=士号 ①当sina十c0se=号时，得sna=号cosa=一号满足驱意，进而可得cos号-号， ②当如8十88=一吉时，得血a一号ma=一号满足题意，进而可得cs号一巴故选D 11.ABC【解析】选项A:因为a=(-3,2),根据新定义，[a]=|-3|+|2l=5,故A正确； B:[m]=lz1+ly:l,[n]=lx21+ly21,[m+n]=lz1+z2+ly:+y2l, 由绝对值不等式得lx1十x2≤x,+xzl,ly1十y2≤ly1|+ly2l, 即[m十n]≤[m]+[n],故B正确， C:[m]X[n]=(lz11+ll)(lz21+1y2)=lz1z21+lziy21+lzzy+lyiy21, m·n=x1x2+y1y2, 因为|x1x2+ly1y2≥x1x2十y1y2≥x1x2十y1y2, 所以[m]X[n]≥m·n,故C正确； 选项D:当m=(1,1),n=(1,1)时，[m]=2,[n]=2,[m]-[n]=0, m·n=1X1+1X1=2,此时[m]-[n]<m·m.故D错误.故选ABC. 12.【答案】1 【解析】因为a=(1,2),b=(-2,m),a⊥b,所以1×(-2)+2m=0,解得m=1. 1a.【雀累)6，引 【解析】由题知，对任意∈(0，，函数fx)=tan(x+子）(w>0)在(-t,t)上单调，需函数f(x)在 (-子，)上单调， 因为一晋<x<，所以-+<ax+<+由题可得 +≤， -+ 解得0K<号 ， 所以。的取值范国为，引， 故答案为，引 14【答案)（层，》 【解折】由三角形面积公式S=csnA并结合c= 2如含 可知号sinA=1-cosA,即sinA=21-cosA), 将其代人sin2A十cos2A=1,得4(1-cosA)2+cos2A=1, 即505A-8c0sA十3=0，解得cosA=号或cosA=-1K含去)，所以snA=青 由正弦定理可得-碧是-血+0]-物-血AsC结A血C-品是+ sin C sin C sin C sin C 高一数学B参考答案第3页（共7页） con ASia 在锐角△ABC中，显然有A+C>受，所以0<受-A<C<受 因为正切函数y=anx在(o,艺)上单调递增， 所以anC>tan(受-A) sin(受-A） cos(爱-A 所以0Kc<分 所以3、4 号-c+<号×g+是-号<< 3<b<5 放名的取值范围为号，》， 15.【解】(1)因为d为非零向量，c/,则存在实数入，使得c=d,…2分 即2a-tb=入(a十2b)=λa十2b,…4分 所以2气入，解得=-4，：6 -t=2, 1 （2)由a+b=1,得a…b=-乞，…9分 所以|a-b|2=(a-ub)2=a2-2u(a·b)+u2b2=1+u十u2 …12分 所以当4=一之时，0一b|取得最小值。……………………….13分 16,【】1证男：在△0AD中，因为8器8器所以EHAD, 因为EH丈平面ABD,ADC平面ABD,所以EH∥平面ABD; 同理可证得EF/平面ABD,… …4分 又因为EH∩EF=E,EH,EFC平面EFH,…5分 所以平面EFH平面ABD.… …6分 (2)存在.点G是线段FH上靠近点F的三等分点. 证明如下： 连接OC,显然OC与FH相交，设交点为G.… …8分 由(1)知平面EFH平面ABD, 又平面EFH∩平面OAC=EG,平面ABD∩平面OAC=AC,所以ACEG. 所以在线段FH上存在点G,使得AC/EC,…10分 器-器可得HD,器-器-鷂 ODOB-BD· …12分 高一数学B参考答案第4页（共7页） 器-器-品-0<1. 如图，在平面OBD内，有D一BC FH FG =t,即FH=tBD,FG=tBC,…14分 又因为BC=号BD, 所以有G=BC=1·宁BD=专FH,所以点G是线段FH上靠近点F的三等分点，…15分 17.【解】(1)由题知m·n=0sg+sin asin=cosa一g)=4 ,…2分 5 由ana-g的-na3结合已知1如+netn--。 可得tana一tanB=-l,… .4066660008 …4分 所以tana<tanB, 又a,B∈(o,),所以有0<a<B<受 …6分 所以a-c(←受，0)，则sina-g)=--oa-m=一-（传=-是 …8分 (2)由(1)知tana-tanB=sng-ng=-1, cos a cosβ 所以有sin acos B--cos asin B=-cos acos B, …10分 即s如a-9)=-60=-号，所以cosa6as月= 3 …12分 又因为cos(a-p)=c+-如asn月=号，所以sin asin= 5' …14分 312 所以cos(a+)=co--sin asin B=亏-5=亏 …15分 18,【解】(1)因为E为A1B,的中点，所以当点G为BB1的中点，即X=2时，有EGA1B, 又因为EC丈平面A,C,B,A1BC平面A,C,B,所以EG∥平面A,C,B, 所以A=时，BC/平面A,C1B. …4分 (2)由(1)知G为B1B的中点，设四棱台上底面A1B,C1D1的面积为S,则下底面ABCD的面积为4S, 易得△EFB,的商积为管 …6分 设正四棱台ABCD-A,B1C,D1的高为h, 则三校能GEFB,的高为会 …7分 1 V三浪G-EFB 所以Va德hADA,G0 112 49分 3h(S+S·45+4S) 高一数学B参考答案第5页（共7页） (3)如图，连接B,D1,交EF于点H,连接HG,由题知HGC平而D,DBB,D,MC平面D,DBB1,所以 只要D,M∥HG即可. D 取正四棱台ABCD-A,B1C,D1的对角面D1DBB,,如图， 思合器-生 ……10分 0 D M 因为当点M与点B重合时，由DM/HG可得B1BBD一' B G B.H_1 此时以= ……11分 当点G与点B重合时，由DM∥HG可得BM=HD1,满足题意， 此时入=1.…12分 所以a∈任] g13分 而在此条件下，要使2smn(d-）-<0能成立，只需A∈[民]时≥2sin2@-）能成立.… …l4分 设fa)=2sin2d-3》,则问题转化为≥f), …15分 因为<<1，所以-≤2d-≤经，所以-E≤2sin2d-）<2, 所以f(以)m=-2, …16分 所以≥一2，故t的最小值为一2. …17分 19.【解】(1)由bosA-5a 3asin B=0, 根据正弦定理得5如BeosA--停sin Asin=0, 01分 在△ABC中，血B≠0，则cosA=停A,即mA=厅， 2分 又0<A<元，故A=交，…3分 2因为B∈(6，》，则B+(任，》 因为cmB+》-号所以n(B+》-小-orB+-一赢-语。 …4分 所以咖8=n归+培一到7得×号-号×号-号…5分 高一数学B参考答案第6页（共7页） om8=a+-引-号×号+×号= …6分 所以nC=A+B)=m号+)-号×号+安xg-3计0 …7分 10 又面积S=absin C-2 inBinC=94R:-8+2w5,其中R为△ABC外接圆的半径， 50 解得及一号， …8分 所以b=2 Rsin B=4.…9分 (3)因为(OA+O)·AB=(OA+O元)·AC=0, 所以0为△ABC的外心.…10分 又AO=xAB+yAC(x,y∈R), 则AO·AB=(xAB+yAC)·AB=xAB2+yAC·AB(x,y∈R), 得写=x2+0c60sA,即c=2r2+次， 从而(1-2x)c=y功①街…11分 同理Ai·AC=(zA+yAC)·AC=xAB·AC+yAC(x,y∈R), 可得(1-2y)b=x②.…12分 由①@可得片=产2yy =1-2延，即有y=(1-2x)01-2y）)③.13分 因为△ABC为概角三角形，所以任>2>。，得0C<分：同时抽22，≥0，得0)< 。…14分 将@化简得1+3xy=2x十，从而有x十)-1+≥2，得0<V可<行，所以0<y≤行… 2 …15分 1+3xy) 号+-诗-=g-号+o-+》 xy xy …16分 令1=y则eo,引， 1 设F(t)=9t+ =9t十9 ,则结合对勾函数性质可知F()=9r+是在(0，）上单调递减， 所以号+=y+ 2≥2，当且仅 xy-9' - x=y, 即x=y=弓时取等号， x>0,y>0, 所以三+义的取值范围为[2，十∞). …17分 3 高一数学B参考答案第7页（共7页）