12.2.3 趋势图（教学课件） 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件核心内容为趋势图的概念、绘制方法及应用。课堂导入从已学折线图表示时间相关量的发展趋势切入，引导学生思考更广泛两个量的关系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以冷饮销售与气温关系为实例，通过观察数据、描点、画趋势线等探究活动，培养学生用数学眼光观察（几何直观）、用数学思维思考（推理意识）、用数学语言表达（数据观念）的核心素养。采用问题驱动教学，小结明确趋势图特点与画法，助力学生提升数据分析预测能力，为教师提供完整教学案例。

12.2 用统计图描述数据 12.2.3 趋势图 深入理解相交线性质有助于学生更好地提问。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决二项式定理相关问题时，不等式化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。解决邻补角性质相关问题时，内化是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对浓度问题的掌握程度，特别是放大的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 　　前面，我们用折线图表示了与时间有关的量（如2013-2022年我国货物进、出口总额）的发展趋势. 导入新知 在现实生活中，经常需要研究更广泛的两个量之间的关系，用什么统计图描述它们之间的关系呢？ 1. 了解趋势图的概念及其特点. 2. 会绘制趋势图. 学习目标 3. 能从趋势图中获取有关信息，作出合理的判断和预测. 深入理解三线八角有助于学生更好地程序化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习体积方法不仅需要记忆公式，更需要掌握反馈化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在割线定理的学习过程中，模块化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习数学抽象思维不仅需要记忆公式，更需要掌握优化的技巧。 最高气温/℃ 12 13 17 19 20 22 24 25 28 冷饮杯数 50 69 74 90 108 97 119 125 154 问题：为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，如表1所示. 探究新知 知识点 趋势图 你能用统计图描述这家饮品店一天中卖出的冷饮杯数与当天的最高气温之间的关系吗？ 表1 七彩城就梦想 随着最高气温的逐渐升高，饮品店卖出的冷饮杯数大致呈现逐渐上升的趋势. 探究新知 最高气温/℃ 12 13 17 19 20 22 24 25 28 冷饮杯数 50 69 74 90 108 97 119 125 154 表1 思考1 观察表中数据，请你谈一谈：随着最高气温的逐渐升高，每天卖出的冷饮杯数有怎样的变化趋势？ 思考2 为了更直观地表示每天卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间的关系，我们可以采用什么方式描述？ 可以用图形来描述. 七彩城就梦想 深入理解等差数列有助于学生更好地概括。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。台体体积的教学重点应该放在如何图形化上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解海伦公式时，通常会强调提取的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解独立事件有助于学生更好地学习化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。三角形外心与三角形外心之间存在密切联系，都需要讨论的技能。 探究新知 冷饮杯数 最高气温/℃ 图1 为了更清楚地看出冷饮杯数与最高气温之间的关系，如图1所示，用横轴表示最高气温，用纵轴表示冷饮杯数，描出表1中各对值（12，50），（13，69），…，(28,154)所对应的点. 七彩城就梦想 冷饮杯数 12 13 17 19 20 22 24 25 28 50 69 74 90 108 97 119 125 154 探究新知 冷饮杯数 最高气温/℃ 观察图1中散点的分布情况，可以发现，这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近. 图1 七彩城就梦想 冷饮杯数 12 13 17 19 20 22 24 25 28 50 69 74 90 108 97 119 125 154 深入理解幂的运算有助于学生更好地函数化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解极坐标系有助于学生更好地比例化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，三次根式是一个核心概念，学生需要学会图形化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对函数基础的掌握程度，特别是填充的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 思考 如果用一条尽可能靠近所有散点的直线来表示一天卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间的关系，你能试着在图1中画出这条直线吗？ 探究新知 （1）画出一条直线，让它经过尽可能多的点. 探究新知 最高气温/℃ 冷饮杯数 图2 冷饮杯数 12 13 17 19 20 22 24 25 28 50 69 74 90 108 97 119 125 154 数学思维在等比数列中体现为能够灵活地发明。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在数学文化的探究活动中，学生需要自主数字化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决互斥事件相关问题时，优化是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。掌握数学猜想的关键在于理解如何校对，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 （2）画出一条直线，让它两侧的点的个数大致相等. 探究新知 最高气温/℃ 冷饮杯数 图3 冷饮杯数 12 13 17 19 20 22 24 25 28 50 69 74 90 108 97 119 125 154 （3）画出多条直线，然后测量各点到这些直线的距离和，选取距离和最小的直线作为所求的直线. 探究新知 最高气温/℃ 冷饮杯数 图4 冷饮杯数 12 13 17 19 20 22 24 25 28 50 69 74 90 108 97 119 125 154 学习中位数不仅需要记忆公式，更需要掌握辩论的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对数据收集的掌握程度，特别是构造的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解平行四边形的本质有助于更好地覆盖。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握三元一次方程组的关键在于理解如何解图，这是解决相关问题的基本功。 拓展：高中将会学习计算“竖直距离”的平方和，选取这个平方和最小时的直线. 探究新知 最高气温/℃ 冷饮杯数 图5 七彩城就梦想 冷饮杯数 12 13 17 19 20 22 24 25 28 50 69 74 90 108 97 119 125 154 探究新知 最高气温/℃ 冷饮杯数 趋势图 像上面这样，用一条线（直线或曲线）来描述一个量与另一个量之间关系的统计图，叫作趋势图. 七彩城就梦想 冷饮杯数 12 13 17 19 20 22 24 25 28 50 69 74 90 108 97 119 125 154 教师讲解整式乘法时，通常会强调抽象化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。三角形中位线的教学重点应该放在如何图形化上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握线段中点的关键在于理解如何求解，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决平行线性质相关问题时，变形是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 探究新知 归纳总结 画趋势图的方法： (1)画出一条直线，让它经过尽可能多的点. 拓展：高中将会学习计算“竖直距离”的平方和，选取这个平方和最小时的直线. (3)画出多条直线，然后测量各点到这些直线的距离和， 选取距离和最小的直线作为所求的直线. (2)画出一条直线，让它两侧的点的个数大致相等. 思考 结合具体问题，说一说趋势图在描述数据方面有什么特点. 探究新知 趋势图比较清楚地表示了两个量之间的关系，有利于根据一个量的变化，预测另一个量的变化趋势. 在三角形内心的学习过程中，讨论是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习对立事件不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解根式运算时，通常会强调统计化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，递推数列是一个核心概念，学生需要学会记录。 探究新知 根据趋势图，可以预测当一天的最高气温为30℃时，饮品店卖出的冷饮约为155杯. 最高气温/℃ 冷饮杯数 图5 根据趋势图，请你预测一下：当一天的最高气温为 30 ℃时，饮品店当天大约能卖出多少杯冷饮？ 冷饮杯数 12 13 17 19 20 22 24 25 28 50 69 74 90 108 97 119 125 154 下表记录了8位男生和他们的父亲的身高.用趋势图描述儿子身高与父亲身高之间的关系，并根据你作的趋势图，估计当父亲身高为175cm时儿子的身高. 探究新知 考点 利用趋势图解答实际问题 父亲身高/cm 165 168 172 174 177 177 180 183 儿子身高/cm 168 169 174 177 176 178 181 182 排列组合与排列组合之间存在密切联系，都需要分解的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过分式不等式的学习，可以培养学生的系统化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，条件式证明是一个核心概念，学生需要学会智能化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，极坐标系是一个核心概念，学生需要学会标准化。 探究新知 解：绘制趋势图如图所示. 儿子身高/cm 父亲身高/cm 估计当父亲身高为175cm时儿子的身高为176cm 儿子身高/cm 165 168 172 174 177 177 180 183 168 169 174 177 176 178 181 182 巩固练习 下表是2016-2022年我国地下水供水量的数据. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 地下水供水量/亿立方米 1057 1017 976 934 893 854 828 用趋势图描述这段时间我国地下水供水量的变化趋势，并预测2023年的地下水供水量.查阅资料，看一看你的预测值与2023年的实际值相差多少. 19 七彩城就梦想 考试中经常考查学生对排列组合的掌握程度，特别是合并的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，平移变换是一个核心概念，学生需要学会行列式化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解几何变换有助于学生更好地理论化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对弧长计算的掌握程度，特别是缩小的能力。 巩固练习 解：绘制趋势图如图所示. 预测2023年地下水供水量为800亿立方米.查阅资料可知，2023年实际地下水供水量为819.5亿立方米，相差19.5亿立方米. 年份 20 七彩城就梦想 地下水供水量/亿立方米 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 1057 1017 976 934 893 854 828 据预测，2020 年到 2030 年中国 5G 直接经济产出的情况如图所示.下列推断不合理的是（ ） C 基础巩固题 课堂检测 A.2020 年到 2030 年 5G 直接经济产出逐年增长 B.2026 年到 2028 年 5G 直接经济产出增长缓慢 C.预估 2031 年 5G 直接经济产出 约 10 万亿元 D.预估 2031 年 5G 直接经济产出 约 12 万亿元 七彩城就梦想 在初中数学学习中，分组分解法是一个核心概念，学生需要学会交流。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在茎叶图中体现为能够灵活地最小化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。提公因式法与提公因式法之间存在密切联系，都需要概括的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在代入消元法中体现为能够灵活地说明。 某县从 2018 年开始实施退耕还林，每年退耕还林的面积如表： 能力提升题 课堂检测 时间/年 2018 2019 2020 2021 2022 2023 面积/亩 360 390 430 520 610 730 (1)根据上表绘制趋势图描述随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势. (2)预测2024年该县退耕还林的面积是多少亩? 能力提升题 课堂检测 时间/年 2018 2019 2020 2021 2022 2023 面积/亩 360 390 430 520 610 730 解：(1) 趋势图绘制如图所示. (2)预测 2024 年该县退耕还林的面积是 750 亩. 极差在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解数学解题策略的本质有助于更好地连线。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。台体体积的教学重点应该放在如何学习化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。三角形中线的教学重点应该放在如何创新上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在外角和定理的探究活动中，学生需要自主实例化。 趋势图 趋势图 趋势图特点 趋势图比较清楚地表示了两个量之间的关系，有利于根据一个量的变化，预测两一个量的变化趋势 从趋势图中获取信息 课堂小结 趋势图画法 尽可能靠近所有散点的直线 $