精品解析：山东省济南市某校2025-2026学年上学期九年级12月测试数学试题

2023级九上数学学科期末综合练习 一、选择题（共9小题） 1. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 5. 第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 在y关于x的函数中，对于实数，当时，函数y的最大值与最小值之差为t，且则称此函数为“倍增函数”． ①当，时，函数，都是“倍增函数”； ②当，时，二次函数不是“倍增函数”； ③当时，反比例函数为“倍增函数”，的值为，； ④已知二次函数是“倍增函数”，且的最大值为4，则的值为． 以上说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 二、填空题（共4小题） 11. 抛物线的对称轴是直线_____． 12. 在Rt△ABC中，∠C=，，则值为_____________． 13. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为________． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则________． 15. 如图，在矩形中，为边的四等分点，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则点到的距离为_________． 三、解答题（共8小题） 16. 计算：． 17. 小君测量某建筑物高度的方法如下：如图，在地面点处平放一面镜子，调整自己的位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，由光的反射定律知，反射角等于入射角（即）．经测量，小君的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高．（点，，在同一水平线上） 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 19. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 20. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 21. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位可能性相同． （1）直接写出小王选择座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 22. 材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的正弦值； （2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； （3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 24. 如图，抛物线与直线交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，将平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点O，C的对应点分别为M，N，若点N恰好落在直线上，求点P的坐标； （3）如图②，点G是抛物线对称轴与x轴交点，点Q是y轴上的一点，连接，，当时，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 25. 如图，在等腰中，，，是直角三角形，，，连接，，点是的中点，连接． （1）如图①，当，点在边上时，线段与线段的数量关系是 ； （2）如图②，当，点不在边上时，（1）中线段与线段的数量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图③，当（）为任意角度时，直接写出线段与线段的数量关系（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级九上数学学科期末综合练习 一、选择题（共9小题） 1. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可． 【详解】解：某物体如图所示，它的主视图是： 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形． 2. 若，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例的运算法则． 3. 王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率．由题意可知点落在白色区域的概率为0.4，求出白色区域的面积，进而求出黑色区域的面积． 【详解】解：∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴点落在白色区域的概率在0.4左右， ∴白色区域的面积为， ∴黑色区域的面积为． 故选：C． 4. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 5. 第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 7. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图连接， 由勾股定理得，，，， ∴ ∴点是外心． 故选：B． 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 10. 在y关于x的函数中，对于实数，当时，函数y的最大值与最小值之差为t，且则称此函数为“倍增函数”． ①当，时，函数，都是“倍增函数”； ②当，时，二次函数不是“倍增函数”； ③当时，反比例函数为“倍增函数”，的值为，； ④已知二次函数是“倍增函数”，且的最大值为4，则的值为． 以上说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数最值的求解．①②根据题意直接验证即可；③求出反比例函数的最大值和最小值，根据题意列出方程并求解即可判断；④分类讨论二次函数对称轴与和的大小关系，判断m和n到对称轴的距离的大小，确定最大值和最小值，根据题意求出m和n的值，从而得到结论． 【详解】解：①，， ． 当时，对，当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值，， 为“倍增函数”． 当时，对，当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值，， “倍增函数”，故①正确； ②同①，当时，对，其对称轴为，且，如图： 则当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， 此时函数的最大值与最小值之差为， ，为“倍增函数”，故②错误； ③， ，， ∴当时，反比例函数有最小值； ∴当时，反比例函数有最大值； ， 又为“倍增函数”， ， 化简，得， 解得；（舍去）， ，故③错误； ④二次函数的对称轴为：；， （i）当时， 则当时，，解得（舍），； 当时，； ，代入，得（舍去）； 即此时没有满足符合的m和n； （ii）当时，则，即离对称轴较远， ∴当时，， 解得（舍），； 当时，； ，代入，得， 解得，（舍去）； 故； （iii）当时，（不符合题意）； 综上，的值为，故④正确． ∴正确的有①④， 故选：C． 二、填空题（共4小题） 11. 抛物线的对称轴是直线_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称轴．根据抛物线的顶点式，可以直接写出对称轴． 【详解】抛物线是顶点形式，其中，因此对称轴是直线． 故答案为． 12. 在Rt△ABC中，∠C=，，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，设得，，再利用勾股定理求得AB的长，最后利用余弦的定义即可求解. 【详解】解：如图， 在Rt△ABC中，， 又∵， ∴， ∴设，， 则， ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长是解题的关键. 13. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及扇形面积公式的应用，解题的关键是求出直角三角形面积与两个扇形面积之和，再作差得到阴影部分面积． 先由勾股定理求的长，得扇形半径；再算的面积，结合，求两个扇形组成的扇形面积；最后用三角形面积减去该扇形面积，得到阴影部分面积． 【详解】解：在中，，， ，， 剩余（阴影）部分的面积为． 故答案为：． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，为边的四等分点，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则点到的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，二次根式的除法运算，等角对等边等知识，利用勾股定理建立方程是解题的关键．过点F作于H点，由矩形的性质及折叠性质得，进而在中，由勾股定理建立方程求得，从而求得，再由，利用面积法，即可求得． 【详解】解：过点F作于H点，如图； ∵四边形是矩形， ∴，，； ∴； 由折叠知：；， ∴， ∴； ∵为边的四等分点，且， ∴；， 在中，由勾股定理得：， 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∵， ∴， 又∵，即， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含有特殊角三角函数值的混合运算：先计算乘方、绝对值、算术平方根、零次幂、负整数指数幂、30°角的正切值的平方，再合并各数即可． 【详解】解：原式 ． 17. 小君测量某建筑物高度的方法如下：如图，在地面点处平放一面镜子，调整自己的位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，由光的反射定律知，反射角等于入射角（即）．经测量，小君的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高．（点，，在同一水平线上） 【答案】14.4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用：证明，根据相似的性质写出比例关系求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 解得：， ∴建筑物的高为14.4． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 【答案】（1）B1(-1，2) （2）B2(-2，4) （3）P2(2a -10，2b+6) 【解析】 【分析】（1）先按要求画出平移后所得△A1B1C1，再对照图形写出点B1的坐标即可； （2）连接OA1，并延长到点A2，使OA2=2OA1可得点A2，用同样的方法画出点B2、C2，再顺次连接三点即可得到△A2B2C2，对照图形写出点B2的坐标即可； （3）由△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1可知点P2的坐标是点P1坐标的2倍，由此可得到点P2的坐标； 【小问1详解】 如下图所示，△A1B1C1为所求三角形，B1的坐标为：(-1，2)； 【小问2详解】 如下图所示，△A2B2C2为所求三角形，B2的坐标为：(-2，4)； 【小问3详解】 由题意可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1 ∴当点P1的坐标为(a-5，b+3)时，对应点P2的坐标为：(2a -10，2b+6)． 19. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴有一个交点即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 20. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 21. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根据公式简单求概率，列表法或树状图法求概率等． （1）根据题意即可得到本题答案； （2）根据题意列表算出共有的可能性，并找出符合题意的可能性即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵小王需要坐第三排，且第三排共有三个座位， ∴小王选择座位的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小王小李 小李随机坐第二排和小王随机坐第三排共有9种等可能情况，其中两位老师刚好坐在同一列的结果有两种， （两位老师刚好坐在同一列）． 22. 材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的正弦值； （2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； 小问2详解】 解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； （3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数为，反比例函数为； （2） （3）或； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴面积． 【小问3详解】 解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 24. 如图，抛物线与直线交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，将平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点O，C的对应点分别为M，N，若点N恰好落在直线上，求点P的坐标； （3）如图②，点G是抛物线对称轴与x轴的交点，点Q是y轴上的一点，连接，，当时，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）当时，或或或 【解析】 【分析】（1）先根据直线得出点A、B的坐标，然后再代入二次函数解析式进行求解即可； （2）由（1）可知，根据题意可设，则有，然后代入二次函数解析式进行求解即可； （3）由题意易得，过点A在x轴的上方作，使得，线段与抛物线交于点F，以线段为直径作圆，交y轴于点Q、，连接，根据圆周角定理可得，进而根据垂径定理可进行求解． 【小问1详解】 解：∵点和点在直线上， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线的解析式为，所以当时，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴或； 【小问3详解】 解：由抛物线可知对称轴为直线，即， ∴，， ∴， 过点A在x轴的上方作，使得，线段与抛物线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴，， 以线段为直径作圆，交y轴于点Q、，连接，根据圆周角定理可得， ∴根据中点坐标公式可知该圆的圆心坐标为，即， ∴当时，则，在抛物线上， ∴点F即为圆心， ∴轴，，， ∴， ∴， ∴或， 由对称可知在y的负半轴也存在两个点，使得， ∴或； 综上所述：当时，或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合、三角函数及圆的基本性质，熟练掌握二次函数与几何的综合、三角函数及圆的基本性质是解题的关键． 25. 如图，在等腰中，，，是直角三角形，，，连接，，点是的中点，连接． （1）如图①，当，点在边上时，线段与线段的数量关系是 ； （2）如图②，当，点不在边上时，（1）中线段与线段的数量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图③，当（）为任意角度时，直接写出线段与线段的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形中位线定理得出，则可得出结论； （3）延长至点，使得，连接，，证明，由相似三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，由（2）可知，则可得出结论． 【小问1详解】 解：∵当，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 结论：成立． 证明：延长至点，使得，连接，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 延长至点，使得，连接，， ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $