精品解析：陕西西安市周至县第六中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

周至六中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题（卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 2. 已知，，则（   ） A. B. C. D. 3. 某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 68种 D. 84种 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 5. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 8. 若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（　　） A. B. C. 奇数项的二项式系数和为 D. 奇数项的二项式系数和为 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 11. 某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（ ） A. 每位家长选择跳绳的概率为 B. 的可能取值有4个 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，那么正整数的值是________． 13. 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率是______． 14. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数．记事件“两个点数不相同”，事件“两个点数都没有出现5点”，则______． 四、解答题（共5道题，满分77分） 15. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式的第六项． 16. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 17. 2026年新春，我市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示． （1）求a的值，并估计该工坊生产剪纸的质量指标值的中位数（用分数作答）； （2）新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于30为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取4幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为，且各件产品是否为“优品”相互独立．求的分布列并计算数学期望与方差． 18. 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率； （2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 19. 《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. （1）求小明可以背诵首古诗的概率； （2）求小明背诵古诗数的期望与方差； （3）选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周至六中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题（卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 2. 已知，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以. 3. 某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 68种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【详解】 当两位女教师不单独一组时，先三位男教师全排，再两位女教师选择一组参加， 分配方案有种； 当两位女教师单独一组时，两位女教师先选一组，3位男教师分另外2组， 不同的分配方案有； 综上，不同的分配方案有36种． 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 5. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 6. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得. 故选：C. 7. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 8. 若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案. 【详解】，，，，， 第6项的系数最大，，则. 故选：. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（　　） A. B. C. 奇数项的二项式系数和为 D. 奇数项的二项式系数和为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据及二项式系数得到，判断AB；CD选项，并根据得到奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，结合二项式系数和为得到答案. 【详解】由题意，由二项式系数的性质可知，A正确，B错误； CD选项，二项式系数和为，又， 故奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 故奇数项的二项式系数和为，C错误，D正确. 故选：AD. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两点分布定义直接计算可得A正确，利用方差性质计算可得B正确，由二项分布公式计算可得C错误，结合正态分布对称性计算可得D正确. 【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，，可得， 则，故A正确； 对于B，若随机变量的方差，则，故B正确； 对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C错误； 对于D，若随机变量服正态分布，，则， 所以，故D正确， 故选：ABD. 11. 某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（ ） A. 每位家长选择跳绳的概率为 B. 的可能取值有4个 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概型计算判断A，应用次独立事件概率乘积公式计算判断B，C，D. 【详解】每位家长选择跳绳的概率，A选项正确； 的可能取值为0，1，2，3，4， ， 故B，C错误，AD正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，那么正整数的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用组合数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以或，解得或， 经检验或符合题意， 所以满足等式的值为. 故答案为：或 13. 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合组合数公式，分别求得基本事件的总数为种，再求得至少选中2个最值得参观洞窟的个数为种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】从8个洞窟中选出4个洞窟，共有种不同的选法， 其中至少选中2个最值得参观的洞窟，有种选法， 由古典概型的概率计算公式，可得至少选中2个最值得参观洞窟的概率. 故答案为：. 14. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数．记事件“两个点数不相同”，事件“两个点数都没有出现5点”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别求事件包含的事件个数，再根据条件概率的定义和古典概型概率公式求解. 【详解】抛掷两枚骰子，共有种情况，其中点数相同的有6种情况， 所以两个点数不相同的有种情况，在事件中，两个点数都没有出现5点， 则包含种情况，所以. 四、解答题（共5道题，满分77分） 15. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式的第六项． 【答案】（1） （2）-280 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件结合二项式系数的性质得所有二项式系数和为列方程求即可； （2）根据二项式展开式的通项得，令，可求，由此可求结论； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得． 【小问2详解】 二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项的系数为． 【小问3详解】 根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为． 16. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可． 【小问1详解】 因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种. 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种. 【小问3详解】 因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 17. 2026年新春，我市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示． （1）求a的值，并估计该工坊生产剪纸的质量指标值的中位数（用分数作答）； （2）新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于30为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取4幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为，且各件产品是否为“优品”相互独立．求的分布列并计算数学期望与方差． 【答案】（1），中位数为； （2） ， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求出a的值，设中位数为m，列式计算即可； （2）先求出优品的概率，再根据二项分布的特点求出概率列出分布列，最后利用公式求出数学期望与方差. 【小问1详解】 由得． 由图知，中位数在区间内，设中位数为m， 则，解得． 【小问2详解】 通过频率分布直方图计算得：P（优品），即， 由题意可知：服从二项分布，即． 由二项分布概率公式得： ； ； ； ； ． 所以X的分布列为： ； ． 18. 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率； （2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果； （2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 名同学中，会法语的人数为人， 从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法； 所以选派的人中恰有人会法语的概率． 【小问2详解】 由题意可知，所有可能的取值为， ，， ，， 所以的分布列为 数学期望为． 19. 《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. （1）求小明可以背诵首古诗的概率； （2）求小明背诵古诗数的期望与方差； （3）选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 【答案】（1） （2）， （3）选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适 【解析】 【分析】（1）根据组合计数原理结合古典概型的概率公式求解即可； （2）分析可知的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合随机变量的期望和方差公式求解即可； （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知，利用二项分布的期望和方差公式求出、的值，比较与、与的大小关系，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意得小明背诵首古诗的概率. 【小问2详解】 已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， . 【小问3详解】 设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $