精品解析：陕西省西安市周至县第六中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

陕西省西安市周至县第六中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题 （试卷共150分，时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 48种 C. 108种 D. 192种 2. “绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是（ ） A. 至少300人 B. 至少为200人 C. 至多为300人 D. 至多为200人 3. 已知随机变量，则（ ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. A. 0.9772 B. 0.8415 C. 0.7786 D. 03415 4 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 5. 从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ） A. 样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B. 样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C. 样本中选择物理学科的人数较多 D. 样本中男生人数少于女生人数 7. 有一批小麦种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为p.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是0.81，则p的值为（ ） A. 0.72 B. 0.82 C. 0.86 D. 0.9 8. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量与是负相关关系 C. 增加1个单位，一定增加3个单位 D. 该回归直线必过点 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则（ ） A. B. C D. 10. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据可建立经验回归方程，下列说法正确的是（ ）. A 相关系数越接近1，变量x，y相关性越强 . B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C. 残差 D. 决定系数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 11. 下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　） A. 将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B. 从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C. 某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D. 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是0）共有______个． 13. 二项式的展开式中有理项共有_________项. 14. 近年来，随着社会对教育越来越重视，家庭的平均教育支出呈现出逐年增长的趋势，下表反映了2018-2022年某市家庭平均教育支出占家庭总支出的比例（百分比）与年份编号之间的关系： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 21 26 40 49 54 则与的样本相关系数______（保留3位小数）． 附：，． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数． 16. 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求排列的方法总数： （1）选其中4人排成一排； （2）全体排成一排，男生必须站在一起； （3）全体排成一排，女生互不相邻. 17. 袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. （1）求取出的3个球中有2个白球的概率； （2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 18. 某公司一次招聘中，应聘者都要经过A、B、C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是. （1）求甲被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列. 19. 某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. （1）求的值和样本容量； （2）估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陕西省西安市周至县第六中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题 （试卷共150分，时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 48种 C. 108种 D. 192种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因甲不去北京，应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法； 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：D． 2. “绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是（ ） A. 至少为300人 B. 至少为200人 C. 至多为300人 D. 至多为200人 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义判断． 【详解】由题意，，因此竞赛成绩不小于80分的人数至少有人， 故选：B． 3. 已知随机变量，则（ ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. A. 0.9772 B. 0.8415 C. 0.7786 D. 03415 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解概率即可. 【详解】由题意，所以. 故选：B 4. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解. 【详解】因为因为随机变量服从二项分布， ． 故选：D 5. 从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的定义和古典概型计算. 【详解】第一次取到的是偶数有：，共有种方法，在第一次是偶数的条件下， 第二次取到的是3的倍数共有11种方法， ； 故选：A. 6. 四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ） A. 样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B. 样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C. 样本中选择物理学科的人数较多 D. 样本中男生人数少于女生人数 【答案】C 【解析】 【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得. 【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确； 根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误； 样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误. 故选：C. 7. 有一批小麦种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为p.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是0.81，则p的值为（ ） A. 0.72 B. 0.82 C. 0.86 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率的乘法公式计算可得结果. 【详解】设“种子发芽”为事件，“种子能成长为幼苗”为事件，易知； 易知，且； 所以，解得. 故选：D 8. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量与是负相关关系 C. 增加1个单位，一定增加3个单位 D. 该回归直线必过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据计算可得，再由样本中心点在回归直线上可得A错误，D正确，由回归方程的解析式可知变量与是正相关关系，且增量变化不为定值，可得BC错误. 【详解】对于A，易知， 又样本中心点在回归方程上，即, 所以，解得，即A错误； 对于B，由可知随着的增大而增大，因此变量与是正相关关系，即B错误； 对于C，由回归方程可知增加1个单位，估计值增加3个单位左右，因此C错误； 对于D，回归方程必过样本中心点，即必过点，可得D正确. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法令可求得，即可得A正确，再根据二项展开式通项判断出的各项的符号，计算可得B正确，令再减去可知C错误，联立选项BC中的等式计算可得D错误. 【详解】对于A，令，可得，即A正确； 对于B，由二项展开式的通项可知： 当为奇数时，，当为偶数时，； 所以， 令，可得，即B正确； 对于C，令可得， 又，所以，即C错误； 对于D，由选项BC中的分析可知， 两式相加可得，即D错误. 故选：AB. 10. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据可建立经验回归方程，下列说法正确的是（ ）. A. 相关系数越接近1，变量x，y相关性越强 . B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C 残差 D. 决定系数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 【答案】AD 【解析】 【分析】根据统计案例的相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A：相关系数越接近1，相关性越强，故A正确； 对于B：回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数，故B错误； 对于C：残差故C错误； 对于D：决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故D正确. 故选：AD. 11. 下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　） A. 将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B. 从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C. 某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D. 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据超几何分布、二项分布的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，将一枚硬币连抛3次，每次正面向上的概率均为，所以正面向上的次数服从二项分布； 对于B中，从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为服从超几何分布； 对于C中，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，可得命中目标的次数服从二项分布； 对于D中，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，首次摸出黑球时的总次数的取值为， 而超几何分布定义为，即从N个物件（包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回），故不服从超几何分布. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是0）共有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先排千位，有8种选择， 再排百位，有8种选择， 最后排十位，有7种选择， 故共有， 故答案为： 13. 二项式的展开式中有理项共有_________项. 【答案】4 【解析】 【分析】先表示出二项式展开式的通项，并整理化简，再把的所有取值分别代入幂指数即可求出有理项的个数. 【详解】解析：根据二项式定理的通项 Tk+1=. 当取有理项时，为整数， 此时k=0，2，4，6.故共有4项. 故答案为：4 14. 近年来，随着社会对教育越来越重视，家庭的平均教育支出呈现出逐年增长的趋势，下表反映了2018-2022年某市家庭平均教育支出占家庭总支出的比例（百分比）与年份编号之间的关系： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 21 26 40 49 54 则与的样本相关系数______（保留3位小数）． 附：，． 【答案】0.976 【解析】 【分析】根据题中数据分别求，代入相应公式运算即可. 【详解】由题意可知：， 可得， 所以． 故答案为：0.976. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用二项展开式通项求出通项公式，令时的指数为，求出的值；（2）将的值代入通项，令的指数为，求出展开式中含的项的系数． 试题解析：（1）通项公式为 ∵第6项为常数项，∴时，有，即. （2）令，得，∴所求的系数为. 考点：二项式定理的应用． 16. 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求排列的方法总数： （1）选其中4人排成一排； （2）全体排成一排，男生必须站在一起； （3）全体排成一排，女生互不相邻. 【答案】（1）840 （2）720 （3）144 【解析】 【分析】（1）从7人中选4人排成一排，利用排列数公式可求得结果； （2）利用捆绑法即得； （3）利用插空法即求． 【小问1详解】 从7人中选4人排列，有（种） 【小问2详解】 将男生看作一个整体与4名女生一起全排列，有种方法；再将男生全排列，有种方法，共有（种）； 【小问3详解】 先排女生，有种方法，再在女生之间3个空位中安排男生，有种方法，共有（种） 17. 袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. （1）求取出的3个球中有2个白球的概率； （2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【小问1详解】 所求概率为 【小问2详解】 X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 18. 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A、B、C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是. （1）求甲被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）求出通过两个项目测试的概率及通过三个项目测试的概率，相加即为结果；（2）首先得到，从而求出相对应的分布列. 【小问1详解】 通过两个项目测试的概率为， 通过三个项目测试的概率为， 则甲被录用的概率为， 【小问2详解】 由于甲、乙、丙三人每个人被录取的概率都是， 所以， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 19. 某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. （1）求的值和样本容量； （2）估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 【答案】（1），样本容量为 （2） （3）列联表见解析，无 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得的值，将第一组的容量除以第一组的频率可得出样本容量； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数； （3）根据题意完善列联系表，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得，解得， 样本容量为. 【小问2详解】 所有参赛学生的平均成绩为. 小问3详解】 由题意可知，获奖人数为人， 由题意可得如下列联表 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 所以，， 所以，依据小概率值的独立性检验，男生与女生的获奖无差异. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$