8.6.2直线与平面垂直（第4课时：空间中的距离） 同步练习题-2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习围绕“空间中的距离”，通过例题引路、基础达标与能力提升三级分层，构建从单一距离计算到综合应用的巩固路径，适配新授课教学，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|点/线/面距离基础计算与证明|含动点问题（例2），渗透转化思想| |A组基础达标|各类距离计算及简单应用|结合正方体等基础模型（单选1-6），强化概念理解| |B组能力提升|复杂情境与综合问题|融入实际情境（商场装饰）与多面体（截半立方体），提升应用意识|

8.6.2　直线与平面垂直（第4课时：空间中的距离） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【例2】如图，在长方体中，，，为线段上的动点， (1)求三棱锥的体积； (2)若，求点到平面的距离． 【例31】已知正方体中，E为的中点，F为的中点. (1)求证：∥平面； (2)若正方体的棱长为1，求到平面的距离. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 2．在三棱锥P－ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D，E为边PA，PB的中点，且△CDE为正三角形.若CA＝CB＝2DE，则点P到平面CDE的距离为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 3．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（    ） A． B．1 C．2 D． 5．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．一条直线与两个平行平面相交成，它夹在这两个平面间的线段长为cm，则这两个平面之间的距离为（    ）cm. A．12 B．24 C．6 D．16 二、多选题 7．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 8．正方体中，以下几何量与线段的长度相等的是（   ） A．平行直线与间的距离 B．直线与平面之间的距离 C．该正方体内切球的直径 D．三棱锥为底面的高 三、填空题 9．某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 10．如图，在直角中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面,与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是__________. 四、解答题 11．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 12．如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 【B组能力提升】 1．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．已知平面平面，点，，点，，若，且、在内射影长分别为5和16，则与间距离为______． 4．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 5．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2　直线与平面垂直（第4课时：空间中的距离） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【例2】如图，在长方体中，，，为线段上的动点， (1)求三棱锥的体积； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三棱锥以为底面，高为，直接代入体积公式计算； （2）由得，计算和面积；利用等体积法，以 体积为媒介，求出点到平面的距离. 【详解】（1）， 易知的长即为三棱锥的高， 所以 ． （2）记点到平面的距离为， 由 ，， 由勾股定理，， 又平面，为直角三角形，则， 由（1）知. 【例3】已知正方体中，E为的中点，F为的中点. (1)求证：∥平面； (2)若正方体的棱长为1，求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】(1)取的中点，连接，证明∥∥即可； (2)∥平面，则到平面的距离为E到平面的距离，由等体积法即可求解. 【详解】（1）如图，    取的中点，连接， 是的中点， ∥， 四边形是平行四边形， ∥， 又，且FM∥AD∥， 四边形是平行四边形， ∥， ∥， 又平面平面， ∥平面. （2）∥平面， 到平面的距离就是到平面的距离，设此距离为， ， ， 即①， 正方体的棱长为1， ，， 代入①得， 到平面的距离为. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可. 【详解】设点到平面的距离为， 正方体中，， 由等体积法可知，即， 解得. 2．在三棱锥P－ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D，E为边PA，PB的中点，且△CDE为正三角形.若CA＝CB＝2DE，则点P到平面CDE的距离为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】设△CDE的面积为S，则△ABC的面积为4S，三棱锥P－ABC的体积为，设点P到平面CDE的距离为h，三棱锥的体积为，进而可得体积比，求得h. 【详解】因为点D，E为边PA，PB的中点， 所以2DE＝AB，因此AB＝CA＝CB，故△ABC也为正三角形， 且其边长为△CDE的边长的两倍，面积是△CDE的面积的四倍， 设△CDE的面积为S，则△ABC的面积为4S. 三棱锥的体积为，设点到平面的距离为h， 三棱锥的体积为.所以三棱锥C－PDE的体积也为， 又因为点D，E为边PA，PB的中点，所以△PDE∽△PAB， 相似比为，面积比为，故三棱锥C－PDE与三棱锥C－PAB的体积之比为， 所以，所以，解得h＝6， 所以点P到平面CDE的距离为. 故选：C. 3．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，证明平面及平面，求出点到平面的距离即可. 【详解】连接交于点E，    由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 故选：C 4．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据线面角的定义得到∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，进而求出正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长，再根据A1C1∥平面ABCD即可求出答案. 【详解】由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为.又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝. 故选：D. 5．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 6．一条直线与两个平行平面相交成，它夹在这两个平面间的线段长为cm，则这两个平面之间的距离为（    ）cm. A．12 B．24 C．6 D．16 【答案】A 【分析】由题意得 【详解】由题意得两个平面之间的距离为. 故选：A. 二、多选题 7．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 【答案】ABC 【分析】分别由平面、平面和平面、平面平面即可分析求解判断ABC；设点到平面的距离等于d，由即可求解判断D. 【详解】由正方体结构性质可知平面，所以点到平面的距离等于1，A正确； 由正方体结构性质可知，在平面外，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离等于点C到平面的距离， 又由正方体结构性质可知平面，所以直线到平面的距离为，B正确； 由正方体结构性质可知平面平面，平面且平面， 所以平面到平面的距离等于，C正确； 设点到平面的距离等于d，由题意可得， 所以，又， 所以由得，D错误. 故选：ABC 8．正方体中，以下几何量与线段的长度相等的是（   ） A．平行直线与间的距离 B．直线与平面之间的距离 C．该正方体内切球的直径 D．三棱锥为底面的高 【答案】BCD 【分析】求得的长为平行直线与间的距离判断A；进而结合题意逐项求解判断可得每个选项的正确性. 【详解】因为平面，平面， 所以的长为平行直线与间的距离，又，故A错误； 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体，可得平面， 所以的长为直线与平面之间的距离，又，故B正确； 正方体的内切球的直径为正方体的棱长，故C正确； 因为平面，所以为三棱锥为底面的高，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9.某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 10．如图，在直角中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面,与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则，当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 四、解答题 11．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）根据平行线的性质，利用等积法进行求解即可. 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 12．如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据已知得和，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）先把到平面的距离转化为点到平面的距离,再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接,如图: 因为,四边形为菱形, 所以, 又为棱的中点, 所以, 因为, 所以, 因为平面,平面, 所以, 又平面,平面, 所以平面. （2）因为平面,平面, 所以平面, 则到平面的距离即为点到平面的距离, 设点到平面的距离为, 因为,,平面,,四边形为菱形, 所以, 解得, 即到平面的距离为. 【B组能力提升】 1．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离． 【详解】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为，所以， 由正方体可得， 所以， 解得，即点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为． 2．在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知将棱锥补全为长方体，分析得到该长方体的外接球即为棱锥的外接球，结合长方体与其外接球的特征及等面积法求点面距离. 【详解】把三棱锥补成下图中的长方体，则球心在长方形上， 所以，而，则， 在中，其中表示点到的距离， 所以点到平面的距离就是点到的距离. 3．已知平面平面，点，，点，，若，且、在内射影长分别为5和16，则与间距离为______． 【答案】12 【分析】首先设 ，，结合平行平面距离的定义由条件列方程求解. 【详解】如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意可知，， ， 设 ，， 则 ，解得：， 平面与平面间的距离 故答案为：12. 4．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 【答案】 / 【分析】利用异面直线的定义求出夹角；将截半立方体还原成正方体，利用平行平面的距离，结合等体积法求得答案. 【详解】依题意，，则是异面直线AD和FP所成的角或其补角， 在中，，因此； 将截半立方体还原成正方体，由截半立方体的结构特征知，平面平面， 则直线EB到平面PGQ的距离等于平面与平面的距离， 而三棱锥都是正三棱锥，它们的高所在直线与正方体的一条体对角线重合， 设三棱锥的高等于，而侧棱长为，由， 得，即，解得， 而，所以所求距离. 故答案为：； 5．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $