8.6.2 直线与平面垂直（第2课时：直线与平面所成的角）同步练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 该同步练习通过“例题示范—基础巩固—能力提升”三层设计，以正方体、四棱锥等典型几何体为载体，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|直线与平面所成角的定义及基本计算|以正方体、四棱锥等示范解题方法，奠定基础| |A组基础达标|不同几何体中角的求解与证明|选择、填空、解答题全面覆盖，巩固概念应用| |B组能力提升|综合应用与拓展问题|结合辛普森公式、动态问题，提升推理与模型构建能力|

8.6.2　直线与平面垂直（第2课时：直线与平面所成的角） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【例2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【例3】如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．已知线段的长为，且线段在平面上的射影长为，则直线与所成角的大小为（   ） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 8．已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（    ） A．高为4 B．母线与底面所成角为 C．侧面积为 D．体积为 三、填空题 9．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 10．如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 四、解答题 11．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 12．如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【B组能力提升】 1．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 2．已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 3．18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为________． 4．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 5．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2　直线与平面垂直（第2课时：直线与平面所成的角） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由底面结合线面角定义即可求解； （2）由底面得到是与底面所成的角即可计算求解. 【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 【例2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理找线线平行，再结合线面平行的判定定理证明即可． （2）先确定线面角的平面角，再通过解直角三角形，利用三角函数定义求解即可． 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为正方形，则点为的中点， 由已知点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）由已知平面，四边形为正方形，且， 又由（1）可知，所以平面，点为垂足， 所以为直角三角形，即为直线与平面所成角的平面角． 因为，，， 所以， 所以． 综上，直线与平面所成角的正弦值为． 【例3】如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)点 为 的中点； (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心. 是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为， 所以与圆锥底面所成角为. 由题设，且，则是等腰直角三角形， 可得，即与圆锥底面所成角为 2．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 3．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质即可求解． 【详解】连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 4．已知线段的长为，且线段在平面上的射影长为，则直线与所成角的大小为（   ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【分析】根据线面角的定义，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】设直线与所成角为， 因为线段，且线段在平面上的射影长为， 故，所以. 故选：A 5．在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用几何法作出线面角，再在直角三角形中根据直角边与斜边的长度关系求解即可. 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即直线C1D与平面所成角. 在正三棱柱中，有平面，即平面， 故即直线C1D与平面所成角. 平面，平面， . 又因为由题可知， 故，则. 故选：D. 6．已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为底面的中心，连接，由正四棱台性质可得平面，由此可得直线与平面所成的角为，由条件解三角形求结论. 【详解】设为底面的中心，连接， 因为为底面的中心，由正四棱台的性质可得平面， 又平面，所以，在平面内的投影为， 所以直线与平面所成的角为， 因为，所以，故， 因为正四棱台的高， 所以， 因，所以， 故直线与平面所成的角为， 故选：C 二、多选题 7．在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面角的定义判断各项的正误. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错； 由，且平面，平面，则，故，B对； 由平面，平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成角为，且，故，C对； 由平面，则与平面所成角为，D对. 故选：BCD 8．已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（    ） A．高为4 B．母线与底面所成角为 C．侧面积为 D．体积为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形、侧面积及体积公式逐项求解判断. 【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别，腰长， 对于A，圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高，A正确； 对于B，母线与底面所成角等于圆台轴截面等腰梯形的底角，，B错误； 对于C，圆台的侧面积，C正确； 对于D，圆台的体积，D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 【答案】 【详解】设该三棱台为正三棱台，且，， 设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则． 在平面中，过作，垂足为，则平面， 且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为． 因为，， 所以， 故． 10．如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 【答案】 / / 【分析】由线面垂直的判定定理证明平面．再由线面角的定义得是与平面所成的角，解三角形即可求解. 【详解】由已知得，和是全等的等边三角形且F是的中点，所以，．又，故平面． 连接，则是在平面内的射影，所以是与平面所成的角． 设空间四边形的边长为a，则在等边三角形中； 在中，． 故． ，故． 故答案为：，. 四、解答题 11．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，由三角形中位线定理推得，由线线平行即可证明线面平行； (2)由平面即得为直线与平面所成的角，借助于直角三角形即可求得. 【详解】（1） 如图，连接，交于点，连接， 因四边形是正方形，故，又为的中点， 故，因平面，平面，故平面. （2）因平面，则为直线与平面所成的角， 也即直线与平面所成的角，在中，因，故. 即直线与平面所成的角为. 12．如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，则为与平面所成的角，求出各边长，利用得到答案. 【详解】（1）点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； （2）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 【B组能力提升】 1．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，求出正棱台的高，再由正棱台的体积公式，即可求解. 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，， 如图，设和的中心分别为，连接，，， 则平面，，， 作平面交平面于点， 则即为直线与平面所成的角， 由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形， 所以，又，所以， 则棱台的体积为. 2．已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合线面角的定义求出在平面内的射影长，再利用直角梯形的性质求解. 【详解】令于，于， 则，， 依题意，， 因此， 在直角梯形中，. 故选：D.    3．18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为________． 【答案】336 【分析】根据题意求出点到平面的距离，进而求得中截面和底面的面积，利用给定“万能求积公式”计算即可. 【详解】由，直线与平面所成角的正切值为，则正弦值为，所以到平面的距离为， 由平面，则，四边形为矩形，， 作出中截面，则，， 因为，四边形为矩形，所以四边形为矩形， 所以，，， 所以该五面体的体积为. 故答案为：336. 4．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【分析】作辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 5．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得，结合利用线面垂直的判定定理可得证； （2）（ⅰ）根据线面角的定义可得是直线与平面所成的角，可得，由此求得，即可得菱形的面积，再利用棱锥的体积公式计算即可；（ⅱ）利用线面垂直的性质定理可得，，则，，根据定义可得即为异面直线与所成角（或补角），再利用余弦定理计算即可. 【详解】（1）四边形是菱形，， 又平面，平面，， 又，平面， 平面. （2）（ⅰ）平面，是直线与平面所成的角，于是， ，，又， 所以， 菱形的面积为， 故四棱锥的体积. （ⅱ）平面，平面，，， 所以，， 因为，所以即为异面直线与所成角（或补角）， 又，所以在中，由余弦定理， 即，解得， 所以为锐角，即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $