8.6.2第3课时空间距离与线面垂直的综合问题 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第3课时　空间距离与线面垂直的综合问题 1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=2,那么直线BC到平面ADD1A1的距离为 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知平面α∥平面β,则到α的距离与到β的距离之比为2∶1的点的集合是 (　 ) A.1个平面 B.2个平面 C.3个平面 D.4个平面 3.如图所示,如果MC垂直于菱形ABCD所在平面, 那么MA与BD的位置关系是 (　 ) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是边长为2的等边三角形,点E是B1C1的中点,则E到平面ABB1A1的距离为 (　 ) A. B.1 C. D. 5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,AB=BC,则下列结论中正确的是 (　 ) A.BD1∥B1C B.A1D1∥平面AB1C C.BD1⊥AC D.BD1⊥平面AB1C 6.(多选题)[2025·河南郑州一中高一期中] 设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列说法不正确的是 (　 ) A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l⊥n D.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m 7.点A,B在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为　　　　.  8.已知四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是 　　　　.  9.(13分)如图,在三棱锥P-ABC中,点H为△ABC的垂心,且PH⊥平面ABC. (1)若AP⊥PC,证明:AP⊥PB; (2)若PB=AB,证明:CP=CA. 10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则平面A1BC1与平面AD1C之间的距离为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.(多选题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,点D,E,F分别为棱AA1,A1C1,BB1的中点,MB⊥AC,则下列说法正确的是 (　 ) A.若∠A1B1C1=90°,则∠MAB=∠MBC B.MB⊥平面DEF C.DE⊥MB D.EF∥BD 12.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是　　　　.  13.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC满足AB=2,∠ACB=90°,PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为　　　　.  14.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1和侧面ABB1A1均为正方形,AB=BC=1,∠ABC=90°,D是棱A1C1的中点,O为A1B与AB1的交点. (1)求证:BC1∥平面AB1D; (2)求点A1到平面AB1D的距离. 15.[2025·上海复旦大学附中高一期末] 如图,圆锥中P为顶点,底面直径AB=4,侧面积为8π,C为PA的中点.设平面α经过直线BC,则点P到平面α距离的最大值为　　　　.  16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=1,PA=AD=2. (1)求证:CD⊥平面PAC. (2)在棱PC上是否存在点H,使得AH⊥平面PCD?若存在,确定点H的位置;若不存在,请说明理由. 第3课时　空间距离与线面垂直的综合问题 1.C　[解析] 在长方体中,BC∥平面ADD1A1,故点B到平面ADD1A1的距离即为直线BC到平面ADD1A1的距离,因为AB⊥平面ADD1A1,且AB=4,所以直线BC到平面ADD1A1的距离为4.故选C. 2.B　[解析] 若点在平面α与平面β之间,则点的集合为1个平面;若点不在平面α与平面β之间,则点的集合也为1个平面.故满足题意的点的集合为2个平面.故选B. 3.C　[解析] 因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.因为MC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥MC.因为AC∩MC=C,AC,MC⊂平面AMC,所以BD⊥平面AMC,又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不相交.故选C. 4.A　[解析] 如图,取A1B1的中点F,连接C1F,易得C1F⊥平面ABB1A1.设FB1的中点为H,连接EH,则EH∥C1F,∴EH⊥平面ABB1A1,∴E到平面ABB1A1的距离为EH=C1F=.故选A. 5.C　[解析] 连接BD.由题意知四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥DD1.又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1.∵BD1⊂平面BDD1,∴AC⊥BD1.故选C. 6.ACD　[解析] 对于A,m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,若m∥n,则不能推出l⊥α,A中说法错误;对于B,由l∥m,m∥n,得n∥l,而l⊥α,因此n⊥α,B中说法正确;对于C,由l∥m,m⊥α,得l⊥α,而n⊥α,因此n∥l,C中说法错误;对于D,由m⊂α,n⊥α,得m⊥n,而l⊥n,则l,m可能平行、可能相交、也可能异面,D中说法错误.故选ACD. 7.4　[解析] 如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,且A,M,B共线,∴四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4. 8.4　[解析] 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥AB,所以△PAD,△PAB均为直角三角形.因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥BC,结合PA⊥BC,PA∩AB=A,可得BC⊥平面PAB,又因为PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形,同理,△PCD也为直角三角形,故该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4. 9.证明:(1)如图①,连接AH并延长,交BC于M,连接PM, ∵点H为△ABC的垂心,∴AM⊥BC. ∵PH⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴BC⊥PH, 又PH∩AM=H,PH,AM⊂平面PAM,∴BC⊥平面PAM.∵AP⊂平面PAM,∴AP⊥BC. 又AP⊥PC,PC∩BC=C,∴AP⊥平面PBC. ∵PB⊂平面PBC,∴AP⊥PB. (2)如图②,取AP的中点N,连接BN,CN, 由(1)可得AP⊥BC. ∵PB=AB,N为AP的中点,∴AP⊥BN, 又BN∩BC=B,BN,BC⊂平面BCN,∴AP⊥平面BCN, 又CN⊂平面BCN,∴AP⊥CN. 在△ACP中,∵N为AP的中点,CN⊥AP,∴CA=CP. 10.B　[解析] 连接B1D,B1D1,正方体中,DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,则DD1⊥A1C1,正方形A1B1C1D1中,有B1D1⊥A1C1,又因为DD1,B1D1⊂平面DD1B1,DD1∩B1D1=D1,所以A1C1⊥平面DD1B1,又B1D⊂平面DD1B1,所以A1C1⊥B1D,同理有A1B⊥B1D,又A1C1,A1B⊂平面A1BC1,A1C1∩A1B=A1,所以B1D⊥平面A1BC1.同理有B1D⊥平面AD1C.因为正方体的棱长为2,则A1B1=B1C1=BB1=2,A1C1=A1B=2,设点B1到平面A1BC1的距离为h,由=,得××(2)3=××2×2×h,解得h=2,即点B1到平面A1BC1的距离为2,同理点D到平面AD1C的距离为2,又B1D==6,则平面A1BC1与平面AD1C之间的距离为6-2-2=2.故选B. 11.AC　[解析] 对于A,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=∠A1B1C1=90°,又MB⊥AC,则∠MAB+∠ABM=90°,又∠ABM+∠MBC=90°,故∠MAB=∠MBC,故A正确;对于B,因为D,F分别为AA1,BB1的中点,所以DF∥AB,又由题可知∠ABM<90°,即AB与MB不垂直,因此DF与MB不垂直,又DF⊂平面DEF,所以MB与平面DEF不垂直,故B错误;对于C,因为CC1⊥平面ABC,MB⊂平面ABC,所以CC1⊥MB,又MB⊥AC,AC∩CC1=C,AC,CC1⊂平面AA1C1C,所以MB⊥平面AA1C1C,因为DE⊂平面AA1C1C,所以DE⊥MB,故C正确;对于D,如图,连接A1F,因为D,F分别为AA1,BB1的中点,AA1∥BB1且AA1=BB1,所以A1D∥BF且A1D=BF,所以四边形A1DBF是平行四边形,所以A1F∥BD,又A1F∩EF=F,所以A1F与EF不平行,故EF与BD不平行,故D错误.故选AC. 12.EF⊥平面β　[解析] 因为EG⊥平面α,FH⊥平面α,所以EG∥FH,则E,F,H,G四点共面.又PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG∩EF=E,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH. 13.2　[解析] 如图,连接OC,∵三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,PA为球O的直径且PA=4,∴球心O是PA的中点,球的半径R=OC=PA=2.取AB的中点D,连接CD,OD,OB,则OD⊥AB,且OD===.∵△ABC满足AB=2,∠ACB=90°,∴CD==1,∴OC2=CD2+OD2,∴OD⊥CD,又CD∩AB=D,CD,AB⊂平面ABC,∴OD⊥平面ABC,∴点P到底面ABC的距离d=2OD=2. 14.解:(1)证明:因为O为A1B与AB1的交点,四边形ABB1A1 为正方形,所以O为A1B的中点. 如图,连接OD,因为O,D分别为A1B,A1C1的中点,所以OD∥BC1,又OD⊂平面AB1D,BC1⊄平面AB1D, 所以BC1∥平面AB1D. (2)由题意得A1B1=B1C1=1, ∠A1B1C1=∠ABC=90°,所以△A1B1C1是等腰直角三角形,则A1C1=A1B1=,A1D=A1C1=, 又AA1=1,所以AD===,又B1D=,AB1=,所以AD2+B1D2=A, 即AD⊥B1D,所以=B1D·AD=. 由=B1D·A1D=,得=AA1·=, 设A1到平面ADB1的距离为d, 又=,所以d·=,可得d=,即点A1到平面AB1D的距离为. 15.2　[解析] 设PA=l,则圆锥的侧面积为×4π×l=8π,则l=4,故cos∠APB==,则sin∠APB=,故BC==6.设点P到BC的距离为h,则PC·PBsin∠BPC=BC·h,故h===2,故点P到平面α距离的最大值即为点P到BC的距离h=2. 16.解:(1)证明:由题意可得DC=AC=,所以AC2+DC2=AD2,即AC⊥DC. 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥DC, 又因为PA∩AC=A,所以DC⊥平面PAC. (2)当PH=PC时,AH⊥平面PCD.理由如下: 过点A作AH⊥PC,垂足为H,如图,由(1)可得CD⊥AH,又PC∩CD=C,所以AH⊥平面PCD. 在Rt△PAC中,PA=2,AC=,则PC=. 由cos∠APH==,可得PH=,则PH=PC,即在棱PC上存在点H,且PH=PC,使得AH⊥平面PCD. 学科网（北京）股份有限公司 $