二次根式的综合 勾股定理的相关应用 专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦二次根式与勾股定理核心应用，通过分类题型构建“概念-运算-综合应用”逻辑链条，提炼非负性参数确定、折叠方程思想、最短路径转化等实用方法，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的综合|5类10题|双重非负性参数确定、混合运算技巧、化简求值整体代入、公式应用与阅读理解迁移|从非负性基础概念到运算应用，再到公式与新定义综合，形成递进逻辑| |勾股定理的相关应用|4类12题|折叠问题方程思想、作图与网格推理、最短路径展开/对称转化、动态问题最值模型|从基本计算到折叠/作图综合，再到动态最值，体现从基础到复杂应用的拓展|

二次根式的综合 勾股定理的相关应用 专项训练 二次根式的综合 类型一 二次根式的双重非负性 1.已知x，y为实数，且 1,则x+y= . 2.已知实数 a 满足 则 a-300²的值是 . 3.已知 则y-x的平方根是 . 类型二二次根式的混合运算 4.计算: 类型三 二次根式的化简求值 5.化简求值：已知 求 的值. 6.先化简，再求值： 其中 y=4. 类型四 应用公式求代数式的值 7.若 则 8.当 时， 的值为 . 类型五 二次根式中的阅读理解 9.阅读材料： 规定(a，b)表示一对数对，给出如下定义： b>0).将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”.例如：数对(4，1)的一对“对称数对”是( 与 (1)数对(4,3)的一对“对称数对”是 与 (2)若数对(2，y)的一对“对称数对”相同，则y 的值是多少? (3)若数对(a，b)的一对“对称数对”中的一个是 求a,b的值. 10.【问题情境】 我们知道若两个数的和为2，则这两个数的平均数为1.按照这样的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答下列问题：若a+b=2，则a 与b的平均数是1，我们称a 与b是关于1的平衡数.例如，3与-1是关于1的平衡数. 【思考尝试】 (1)4与 是关于1的平衡数； 与 是关于1的平衡数. 【实践探究】 (2)m 与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n-1也是关于1的平衡数，求 m与n的值. 【拓展延伸】 (3)若 试判断 与 是否是关于1的平衡数，并说明理由. 勾股定理的相关应用 类型一 应用勾股定理求角度及线段长 11.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AB=BC=2,CD=3,DA=1.求∠DAB 的度数. 12.如图,在△ABC中,∠A=135°,AB=2,AC=3 ,求 BC 的长. 类型二 勾股定理与折叠问题 13.如图,在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,把△ABC沿直线 DE 折叠,使点 A 与点 B 重合.若 AD=5,BC=6,则 CE 的长为 . 14.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边 AC=18 cm,BC=24 cm，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB上,且与AE 重合,则BD= cm. 15.如图,在△ABC中,∠C=90°, AC=BC=4点 D,E 分别在边AC 和边AB 上,沿着直线 DE 翻折△ADE,点 A 落在边BC 上,记为点 F.若则 BE 的长为 . 类型三 与勾股定理有关的作图问题 16.如图，A是以点O为圆心，OM 长为半径画弧与数轴的交点，B是以点O为圆心，ON 长为半径画弧与数轴的交点，数轴上点A,B 表示的数分别为a,b,化简 的值为( ) A. B. C. D. 17.∠1,∠2在网格上的位置如图所示,则∠1+∠2= °. 类型四 与勾股定理有关的最值问题 18.一个三级台阶如图所示，它每一级的长、宽、高分别为 4m ， 和 m，A和B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 上有一只蚂蚁想到点 B 去吃可口的食物，则它所走的最短路线的长度为 ( ) A.3.5m B.4.5m C.5m D.5.5m 19.如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点 A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是 20.如图，在单位长度均为1 cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图.其中，侧面展开图OABC 的边OA，OC在坐标轴上,点 B 的坐标为(24,-10).将一根长度为14.6 cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度约是 cm(结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计). 21.如图,在△OAB中,OA=3,OB=4,AB=5,∠OAB 的平分线AC交OB 于点C,P,Q分别为AC,OA 上的动点,则OP+PQ 的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 22.如图 1,C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B,D 作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知AB=2,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x 的代数式表示AC+CE 的值为 ; (2)AC+CE 的最小值为 ; (3)根据(2)中的规律和结论，请模仿图1在网格中(图2)构图，求代数式 的最小值. 1.2027 根据题意可知,x-2 026≥0,2026-x≥0,解得x=2026,则y=1,∴x+y=2026+1=2027. 2.401 有意义,∴a-401≥0,∴a≥401. ∵实数a满足| 3 ∴x≤98,∴x-100<0, ∴原式=100-x+98-x=200,解得x=-1. ∴m-1≥0,1-m≥0,∴m=1, 则 ∴y-x=5-(-1)=5+1=6, ∴y-x的平方根是± 4.解:(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式= 5.解: 当 时，原式 6.解: ∴原式： 当 时，原式 当 时，原式 = ab(a+b)(a-b) 9.解:(1)由题意,得 ∴数对(4，3)的一对“对称数对”是 与 故答案为 (2)由题意，得 ∴数对(2，y)的一对“对称数对”是 与 ∵数对(2，y)的一对“对称数对”相同， (3)∵数对(a，b)的一对“对称数对”中的一个是( 或 10.解:(1)由题意,得 ∴4与-2是关于1的平衡数， 与 是关于 1的平衡数. 故答案为· (2)∵m与n是关于1的平衡数,m+3与2n—1也是关于 1的平衡数， 解得 (3)不是.理由如下： 即 与 不是关于1的平衡数. 11.解:如图,连接AC. ∵∠B=90°,AB=BC=2, ∠BAC=∠ACB=45°. ∵CD=3,DA=1, ∴AD²+AC²=CD²,∴△ADC 是直角三角形, ∴∠DAC=90°, ∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=135°. 12.解:如图,过点 B 作 BD⊥CA,交 CA 的延长线于点 D,则∠D=90°. ∵∠BAC=135°,∴∠BAD=45°, ∴△ABD为等腰直角三角形,∴BD=AD, 13. ∵把△ABC沿直线DE折叠, ∴BD=AD=5,AE=BE,∴AB=AD+BD=10. ∵∠C=90°,BC=6, 设CE=x,则AE=BE=8-x. 在 Rt△BCE 中,( 即 解得 ∴CE的长为 1 由折叠的性质可知,∠DEA=∠C=90°,ED=DC,EA=AC=18 cm, ∴BE=AB-AE=30-18=12(cm). 设 BD=x cm,则DC=ED=(24-x) cm. 在 Rt△BDE 中,由勾股定理,得 即 ,解得x=15,∴BD=15 cm. 15. 如图,过点F作FG⊥AB 于点G. ∴∠BFG=∠B=45°,∴BG=FG. 由勾股定理，得 ∴BG=FG=3,∴AG=AB-BG=5. 设AE=x.由折叠的性质,知EF=AE=x,GE=5-x. 在 Rt△FGE 中,由勾股定理,得 即 解得 16. B 根据勾股定理，得 = 17.45 如图,平移OD 到BA,连接BC,则∠2=∠ABF. ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°,∠ACB=90°. 在△AEF 和△BEC中, ∵∠AFE=∠BCE=90°,∠AEF=∠BEC, ∴∠1=∠CBE, ∴∠1+∠2=∠CBE+∠ABF=45°. 18. C如图，将台阶展开为长方形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边， 则 在Rt△ABC中, ∴蚂蚁所走的最短路线的长度为 5 m. 19.3 由题意有以下路线： 路线一，如图1, 路线二，如图2,. 路线三，如图3, ∴最短路程是3√∑. 20.2 如图，DE 表示圆柱底面圆的直径，EF 为圆柱的高，DF 表示铅笔能放置的最大长度，FG 为露出笔简部分的最小长度. ∵点 B 的坐标为(24,一10), ∵铅笔总长度为14.6 cm,即 DG=14.6 cm, 即 1.6<FG<2.6. ∵结果保留整数， ∴露出笔简部分的最小长度约是 2 cm， 21.2.4 ∵OA=3,OB=4,AB=5, 是直角三角形. ∵AC是∠OAB 的平分线,Q 为OA上的动点,如图,作点 Q 关于AC 的对称点Q',则点 Q'在AB上, ∴PQ=PQ'. 过点O作OH⊥AB 于点 H, ∴OP+PQ=OP+PQ'≥OH, ∴当O,P,Q'三点共线且点Q'与点 H 重合时,OP+PQ的值最小，最小值为OH 的长. ∵△OAB 是直角三角形, 解得OH=2.4. 22.解:(1)∵AB⊥BD,ED⊥BD, ∴△ABC 和△CDE 是直角三角形. ∵AB=2,DE=1,BD=8,CD=x,∴BC=8-x. 在 Rt△ABC 中, 在 Rt△CDE 中, 故答案为 (2)过点 A 作AF⊥DE,垂足为 F,连接AE,如图1所示. ∵AF⊥DE,AB⊥BD,ED⊥BD, ∴四边形 ABDF 是长方形, ∴DF=AB=2,AF=BD=8,∴EF=3. ∵AC+CE≥AE, ∴要使 AC+EC 的值最小,则需满足 A,C,E 三点共线，此时最小值为AE 的长， ∴AC+CE 的最小值为 故答案为 (3)取 P 为线段 BD 上一动点,分别过点 B,D 作AB⊥BD,ED⊥BD,连接 AP,EP.已知 AB=1,DE=2,BD=3,如图2所示. 设 BP =x，则根据勾股定理可得， 根据(2)可知，AP+PE 的最小值即为点 A 与点 E 之间的距离， ∴AP+PE 的最小值为即 的最小值为3 $