期中检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本卷以期中核心知识为载体，通过生活情境题与几何探究题，分层考查数学抽象、几何直观与推理能力，适配初中数学期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式意义、多边形外角和、平行四边形性质等|基础题占比60%，如第2题直接考查多边形外角和，夯实基础| |填空题|6/18|二次根式计算、矩形重叠面积、动点最值等|第15题正方形中动点问题，融合全等与转化思想，提升空间观念| |解答题|9/72|计算、证明、最短路径、几何变换探究等|第20题自来水厂选址结合最短路径，第25题正方形变换探究，培养模型意识与创新思维|

期中检测卷 时间：120分钟 分值:120分 得分： 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.使式子 有意义的条件是 ( ) A. x≥4 B. x=4 C. x≤4 D. x≠4 2.五边形的外角和为 ( ) A.108° B.180° C.360° D.540° 3.已知在ABCD中,∠A=∠D+50°,则∠B 的度数为( ) A.65° B.75° C.130° D.115° 4.下列计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 5.在△ABC中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b,c,下列条件中,能判定△ABC 为直角三角形的是 ( ) A. B. C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.∠A+∠B=180° 6.已知四边形ABCD，对角线的交点为O，下列给出的条件中，能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 ( ) A. AB=BC,CD=DA B. AB∥CD,AD=BC C. OA=OC,OB=OD D.∠BAC=∠ABC,∠BCD=∠ADC 7.如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m ，这时梯子的底端也向右滑1m ，则梯子AB 的长度为 ( ) A.3m B.4m C.5m D.6m 8.如图,在四边形ABCD中,对角线分别为AC,BD,且AC⊥BD于点O,若AD=2,BC=4,则 的值为 ( ) A.20 B.18 C.16 D.14 9.如图,在正方形 ABCD 中,E 是BC 上一点,F 是CD 延长线上一点,连接AE,AF,EF,P 是EF 的中点,连接CP,DP.若AE=AF,∠CPD=α,则∠CEF 的度数为 ( ) A.α-45° B.135°-α C.2α-180° D. 10.如图,在矩形 ABCD 中, 的平分线交BC 于点E,DH⊥AE 于点H,连接BH 并延长交CD 于点F,连接 DE 交BF 于点O，则下列结论错误的是 ( ) A. ED 平分∠AEC B. C. HE=DF D. AB=HF 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.计算 的结果是 12.若3 与最简二次根式 可以合并，则a= . 13.两张全等的矩形纸片ABCD,AECF 按如图所示的方式交叉叠放,若 AB = AF =3,AE=BC=9，则图中重叠(阴影)部分的面积为 . 14.点 P 在y轴上,且点 P 到点Q(-4,3)的距离是它到点 R(2,3)距离的 2倍，则点 P 的坐标是 . 15.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为正方形ABCD 内与点 D 不重合的动点，以DE 为边向下作正方形 DEFG,连接 CF,CG,则 DE + CG + CF 的最小值为 16.如图,在平行四边形 ABCD 中,∠D=75°,AB=4,AC=BC,E 为线段AD 上一动点,过点 E 作EF⊥AC 于点 F,连接BE,G 为BE 的中点,连接GF,则GF 的最小值为 . 三、解答题(本大题共9个小题，共72分) 17.(6分)计算: 18.(6分)先化简,再求值: 其中 19.(6 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AB=2,BC=CD=4,AD=6,连接AC.求四边形 ABCD 的面积. 20.(7分)如图，A，B两个小镇在河岸CD 同侧，到河岸的距离分别为AC=10 km,BD=30 km,且CD=30 km.现在要在河边修建一个自来水厂，向A，B两个小镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸CD 上确定自来水厂的位置P，使铺设水管的费用最低，并求出最低费用. 21.(8分)如图,在四边形 ABCD 中,E 是AB 的中点,DB,CE 交于点F,DF=FB,连接AF,AF∥CD. (1)求证:AD=CF; (2)若∠EFB=90°,BF=3,EF=1,求 BC 的长. 22.(8分)如图,△ABC 是直角三角形,且∠ABC=90°,D,O分别是AC,BC的中点,连接DO并延长至点E,使OE=DO,连接BD,BE,CE. (1)求证:四边形 DBEC 是菱形; (2)如果△ABC 的周长为30,且AB+BC=17,求四边形DBEC 的面积S. 23. (9 分)如图,在四边形 ABCD 中, ,点 P 从点 A 出发,以1 cm/s的速度向点 D 运动;点 Q 从点 C 同时出发,以2cm/s的速度向点 B 运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点 P，Q运动的时间为t s. (1)CD 的长度为 cm,t 的取值范围为 . (2)当t取何值时，四边形 ABQP 为矩形? (3)当t取何值时,PQ=CD? 24.(10 分)【问题情境】 (1)某兴趣小组探究含 60°角的菱形的性质.如图1，菱形 ABCD的边长为 4,∠BAD = 60°,则∠BAC = °,AC= . 【操作发现】 (2)如图2，在图1的基础上，小亮在菱形 ABCD 的对角线AC上任取一点M(点M 不与点C重合)，连接BM，以 BM 为边向左侧作菱形 BMEF,且∠BME=60°,连接AF. ①求证:△BMC≌△BFA. ②随着点 M 位置的改变，∠CAF 的度数是否发生变化?若不变，求出∠CAF 的度数；若变化，请说明理由. 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下,连接MF,若AM=8,则MF= 25.(12分)【问题初探】 (1)如图1,在正方形 ABCD 中,AC 是对角线,E 是边 BC 上任意一点,EF⊥AC,垂足为 F,连接AE,BF,取AE 的中点G,连接GB,GF.求证:△GBF 是等腰直角三角形. 【变式探究】 (2)如图2，E是边BC 延长线上的任意一点，其他条件不变，若AE=10,求 BF 的长. 【迁移拓展】 (3)如图3,在矩形ABCD 中,AC 是对角线,E 是边 BC 延长线上的任意一点,EF⊥BC,作∠ECF=∠ACB=60°,交 EF 于点F,连接AF,取AF 的中点G,连接GB,GE,猜想△GBE 的形状，并证明. 1. A 由题意可知,x-4≥0, ∴x≥4. 2. C 多边形的外角和等于 360°. 3. A 在▱ABCD中,∠B=∠D,AB∥CD, ∴∠A+∠D=180°. ∵∠A=∠D+50°,∴∠D+∠D+50°=180°, ∴∠D=65°,∴∠B=∠D=65°. 4. C A. 与 的被开方数不相同，不可以合并，故原计算不正确，此选项不符合题意； B. 与 的被开方数不相同，所以5 与3 不可以合并，故原计算不正确，此选项不符合题意； 故原计算正确，此选项符合题意； 故原计算不正确，此选项不符合题意. 5. B A.∵a²+b²=3+4=7,c²=5,a,b,c为正数, ∴不能判定△ABC为直角三角形，此选项不符合题意； ∴∠B=90°, ∴△ABC 为直角三角形，此选项符合题意； C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A :∠B :∠C=3 :4:5, ∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°, ∴△ABC 不是直角三角形，此选项不符合题意； D.∵∠A+∠B=180°, ∴不存在这样的三角形，此选项不符合题意. 6. C A.由AB=BC,CD=DA,不能判定四边形 ABCD 为平行四边形，此选项不符合题意； B.由AB∥CD,AD=BC,不能判定四边形 ABCD 为平行四边形，此选项不符合题意； C.由OA=OC，OB=OD，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形 ABCD 为平行四边形，此选项符合题意； D.由∠BAC=∠ABC,∠BCD=∠ADC,不能判定四边形 ABCD 为平行四边形，此选项不符合题意. 7. C 由题意,得 AO⊥BO,AO=4m,BD=AC=1m,AB=CD, ∴OC=AO-AC=3m. 设OB=x m,则OD=OB+BD=(x+1)m, 即 解得x=3,∴OB=3m, 8. A ∵AC⊥BD, 9. A 如图,连接AP. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠ADC=∠ADF=90°,AB=AD=CD. 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中, ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴∠BAE=∠DAF. ∵∠BAE+∠EAD=90°, ∴∠DAF+∠EAD=90°,即∠EAF=90°. ∵P 是EF 的中点, ∵∠ECF=90°,P 是EF 的中点, 在△APD 和△CPD 中, ∴△APD≌△CPD(SSS), ∴∠DAP=∠DCP,∠ADP=∠CDP. ∵∠ADC=90°,∴∠CDP=45°, ∴∠DAP=∠DCP=180°-∠CPD-∠CDP=135°-α. ∵∠EAF=90°,AE=AF,P 是EF 的中点, ∴∠PAE=45°, ∴∠DAE=∠PAE+∠DAP=180°-α, ∴∠AEB=∠DAE=180°-α, ∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-(180°-α)-45°=α-45°. 10. D ∵在矩形 ABCD 中,AE 平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE=45°,∠ABE=90°, ∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴∠ADE=∠AED. ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC, ∴∠CED=∠ADE, ∴∠AED=∠CED,∴ED 平分∠AEC,故选项 A正确，不符合题意. 在△ABE 和△AHD 中, ∴△ABE≌△AHD(AAS),∴BE=HD, ∴AB=BE=AH=HD, ∵∠AEB=45°,∴∠AED=67.5°. ∵∠OHE=∠AHB, ∴∠OHE=∠AED,∴OE=OH. ∵∠OHD=90°-67.5°=22.5°,∠ODH=90°-67.5°=22.5°, ∴∠OHD=∠ODH, ∴OH=OD,∴OE=OD, 故选项 B正确，不符合题意. ∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°, ∴∠EBH=∠OHD. 又∵BE=DH,∠AEB=∠HDF=45°, ∴△BEH≌△HDF(ASA), ∴BH=HF,HE=DF,故选项C正确,不符合题意. ∵AB=AH,∠BAE=45°,∴BH≠AB, ∴AB≠HF,故选项 D错误,符合题意. 12.7 依题意,得a-1=6,解得a=7. 13.15 如图,设BC 交AE 于点G,AD 交CF 于点 H. ∵四边形 ABCD、四边形 AECF 是矩形, ∴AH∥GC,AG∥CH, ∴四边形 AGCH 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 和四边形 AECF 是全等的矩形， ∴AB=CE. 在△ABG 和△CEG 中 ∴△ABG≌△CEG(AAS),∴AG=CG, ∴平行四边形 AGCH 是菱形. ∵BG+CG=9,∴BG+AG=9. 设AG=CG=x,则 BG=9-x. 在 Rt△ABG 中,∵∠B=90°, 解得x=5, ∴菱形 AGCH 的面积为AB·CG=3×5=15. 14.(0,3) ∵点 P 在y轴上, ∴设 P(0,y). ∵点 P 到点 Q(-4,3)的距离是它到点 R(2,3)距离的2倍, ∴y=3,∴P(0,3). 15.2 如图,连接AE,AC. ∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 均为正方形, ∴AD=CD=2,DG=DE=EF,∠ADC=∠EDG=90°, ∴∠ADE=∠CDG. 在△ADE 和△CDG 中, ∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG, ∴DE+CF+CG=EF+CF+AE≥AC. ∴DE+CG+CF 的最小值为2 16. 如图,延长 EF 到点 H,使 FH = EF,连接AH,BH. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC,∠ABC=∠D=75°, ∴∠BAD=180°-∠ABC=105°. ∵AC=BC,∴∠BAC=∠ABC=75°, ∴∠ACB=180°-75°-75°=30°. ∵AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB=30°. ∵EF⊥AC 于点F, ∴∠AFE=90°,∴∠AEF=90°-30°=60°. ∵EF⊥AC,FH=EF, ∴AF 垂直平分EH,∴AE=AH, ∴△AEH 是等边三角形,∴∠HAE=60°, ∴∠BAH=∠BAD-∠HAE=105°-60°=45°. ∵G为BE 的中点, 当BH⊥AH 时，BH 最小，此时△ABH 为等腰直角三角形， 即 BH 的最小值为2 ∴GF 的最小值为 17.解:(1)原式 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 (2)原式 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 18.解:原式 2分 4分 当 时，原式 6分 19.解:∵∠B=90°,AB=2,BC=4, ⋯ 1分 分 ∴△ACD 是直角三角形. 3分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 20.解：如图，作点 A 关于直线CD 的对称点A'，连接A'B，A'B与CD 交于点 P，则点 P 即为所求的自来水厂的位置. 过点A'作A'E∥CD,交 BD 的延长线于点E,⋯⋯ 3分则△A'BE 为直角三角形,DE=AC=10 km. 由题意,得 BE=BD+DE=30+10=40(km),A'E=CD=30 km.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 在 Rt△A'BE 中,由勾股定理,得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 ∴50×3=150(万元). 故铺设水管的最低费用为 150万元. 7分 21.解:(1)证明:∵E 是AB 的中点,∴AE=BE. ∵DF=BF, ∴EF 是△ABD 的中位线, 2分 ∴EF∥AD,∴CF∥AD. ∵AF∥CD,∴四边形AFCD 是平行四边形, ∴AD=CF. 4分 (2)由(1),知EF 是△ABD 的中位线,四边形 AFCD 是平行四边形， ∴CF=AD=2EF=2. 5分 ∵∠EFB=90°, ∴∠BFC=90°. 6分 在 Rt△CFB 中,BF=3,CF=2,由勾股定理，得 8分 22.解:(1)证明:∵O是BC 的中点,∴OB=OC. ∵OE=DO,∴四边形 DBEC 是平行四边形. 2分 ∵△ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,D是AC的中点, ∴BD 是 Rt△ABC 斜边AC 上的中线, ∴BD=DC, ∴四边形 DBEC 是菱形. 4分 (2)∵△ABC 的周长为30,即 AB+BC+AC=30,且AB+BC=17,∴AC=13. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 ∴AB·BC=60. 6分 ∵D,O分别是AC,BC的中点, ∴DO 是△ABC 的中位线,∴AB=2DO. ∵DO=OE,ED=DO+OE,∴AB=DE, 8分 23.解:(1)10 0≤t≤9 3分 提示:如图1,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E,则∠DEB=∠DEC=90°. ∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°. ∵∠B=90°,∴∠A=∠B=∠DEB=90°, ∴四边形 ABED 为矩形, ∴DE=AB=8cm,BE=AD=12 cm. ∵BC=18cm,∴CE=18-12=6(cm). 在 Rt△CDE中,由勾股定理,得 ∵点 P 从点 A 出发,以 1 cm/s 的速度向点 D 运动,AD=12 cm, ∴点 P 运动到点 D 的时间为12÷1=12(s). 同理，得点 Q 运动到点 B 的时间为 ∴0≤t≤9. (2)如图2,当四边形 ABQP 为矩形时,AP=BQ. ∵AP=t cm,BQ=BC-CQ=(18-2t) cm, ∴t=18-2t, 解得t=6. 5分 (3)如图3,过点 P 作PF⊥BC 于点 F,过点 D 作DE⊥BC 于点 E. 当 PQ=CD 时.∵PF=DE, ∴Rt△PQF≌Rt△DCE(HL),∴FQ=CE=6 cm. ∵∠PFE=∠DEF=∠ADE=90°, ∴四边形 DPFE 为矩形,∴PD=EF=(12-t) cm, ∴CQ=QF+EF+CE,即6+12-t+6=2t, 解得t=8. 7分 如图4.∵AD∥BC,∴PD∥CQ. 当 PD=CQ时,四边形 DPQC 为平行四边形, ∴12-t=2t,解得t=4,即当t=4时,PQ=CD. 综上所述,当t=8或t=4时,PQ=CD. 9分 24.解:(1)30 12 3分 (2)①证明:∵四边形 ABCD、四边形 BMEF 都是菱形,∴AB=BC,AD∥BC,BM=BF,BF∥ME, ∴∠BAD+∠ABC=180°,∠FBM+∠BME=180°. ∵∠BAD=∠BME=60°, ∴∠ABC=∠FBM=120°, ∴∠ABC-∠ABM=∠FBM-∠ABM, ∴∠MBC=∠FBA, 4分 ∴△BMC≌△BFA. 5分 ②∠CAF 的度数不变. ∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, ∴∠BAC=∠BCA=30°. ∵△BMC≌△BFA,∴∠FAB=∠BCA=30°, ∴∠CAF=∠FAB+∠BAC=30°+30°=60°,故∠CAF 的度数不变,∠CAF=60°. ⋯⋯⋯⋯ 7分 (3)4 10分 提示:如图,连接 BE,交 MF 于点G,过点 M 作 MH⊥BC 于点 H,则∠MHB=90°. ∵四边形 ABCD、四边形 BMEF 都是菱形,∠BAD=60°,∠BME=60°, ∴AD∥BC,BF∥ME,∠BGM=90°,FG=MG,∠ACB= ∵AM=8,AC=12,∴CM=4. ∵∠ACB=30°,∴MH=2,∴CH=2∵AB=BC=4,∴CH=BH=2 ∴直线 MH 是线段 BC 的垂直平分线， ∴∠MBC=∠ACB=30°,∴∠GBH=90°, ∴四边形 GBHM 是矩形, ∴GM=BH=2,∴MF=2GM=4 25.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ABE=90°,∠ACB=45°. ∵EF⊥AC,∴∠AFE=∠EFC=90°. ∵G是AE 的中点, ∵∠ACB=45°,∠EFC=90°,∴∠FEB=135°. ∵BG=EG,FG=EG, ∴∠GBE=∠BEG,∠GEF=∠EFG, ∴∠GBE+∠BEF+∠EFG=270°, ∴∠BGF=360°-270°=90°, ∴△GBF 是等腰直角三角形. 3分 (2)如图 1.∵四边形 ABCD 是正方形,EF⊥AC, ∴∠ABC=∠AFE=90°,∠8=45°. ∵G是AE 的中点,AE=10, 4分 ∴∠4=∠5,∠7=∠6, ∴∠4+∠7=∠5+∠6=∠8=45°. ∵∠1+∠2=∠8=45°, 5分 ∴∠1+∠2+∠7+∠4=90°,∴∠BGF=90°, ⋯⋯7分 (3)猜想:△GBE 是等边三角形. 8分 证明:如图2,延长BA,EG交于点M,延长FE,AC 交于点 N. ∵四边形 ABCD 是矩形,G是AF 的中点,EF⊥BC, ∴BM∥EF,AG=FG,∠ABC=90°,∴∠M=∠3. ∵∠1=∠2,∴△AGM≌△FGE(AAS), ∴MG=EG, 9分 ∴在 Rt△MBE 中, ∵∠4=∠6=60°,∠5=∠6=60°,EF⊥BC, ∴∠4=∠5,∠FEC=∠NEC=90°. ∵CE=CE,∴△EFC≌△ENC(ASA), ∴EF=NE. ∵AG=FG,∴GE 是△AFN 的中位线, 10分 ∴GE∥AN,∴∠GEB=∠6=60°. ∵BG=EG,∴△GBE 是等边三角形. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $