16.3.1平方差公式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，从多项式乘法一般展开入手，通过特殊化“一项相同、一项相反”的二项式相乘，推导得出公式，构建从一般到特殊的知识支架，帮助学生理解公式来源与结构。 其亮点在于采用数形结合（图形面积验证公式）、问题链驱动（追问公式结构及a/b代表意义）和变式训练（8大变形公式），发展学生几何直观、推理意识与抽象能力。结合中考题与自我挑战题，提升应用能力，教师可高效教学，学生深化公式理解与灵活运用。

平方差公式 16.3.1 第十六章 整式的乘法 1 复习引入·找规律 问题1 多项式乘法的特殊化——以(a+b)(p+q)为例： (a+b)(p+q) (a+b)(a+q)=a2+(aq+ab)+bq 一项相同 一项相反 (a+b)(p−b)=ap+(−ab+bp)+b2 一项相同 一项相反 (a+b)(a−b) 两项相同 (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 (a+b)(−a−b)=−a2−2ab−b2 两项相反 四项 两项 化 简 =a2−b2 =a2+2ab−2ab−b2 探究新知 平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 问题2：你能用文字语言来描述平方差公式吗？ 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差． (a+b) (a−b) a2−b2 追问1：公式左边的结构有什么特点？ 1.左边：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数.（“一同一反”） 2.右边：相同项的平方-相反项的平方（“同方减反方”） 追问2：公式右边的结构有什么特点？ 平方差公式使用口诀：一同一反，同方减反方 探究新知 追问3：我们用代数的方法验证了公式，你能用图形的面积来直观说明平方差公式吗？ a b a b 用含 a，b 的式子表示变形前后阴影部分的面积 变形前阴影部分面积为： a2 - b2 变形后阴影部分面积为： (a + b)(a − b) a2 - b2 = (a + b)(a - b) a (a-b) b a b a b a a-b b a a-b b a a b b a-b 其他几何方法用图形的面积来说明平方差公式 探究新知 探究新知·拓展 (3x+2)(3x-2) (-x+2y)(-x-2y) (3x-1)(1+3x) (1+xy)(-1+xy) 判断三步：找相同→找相反→一同一反才能用 a b a2-b2 3x 2 -x 2y (3x)2-22 xy 1 (xy)2-12 3x 1 ( 3x)2-12 (a+b)(a-b) (-x)2-(2y)2 火眼金睛 准确识别出公式中的a和b，算出a²-b² 例1：数的应用 平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 追问4：公式中的a、b可以代表什么？ 一般 特殊 正数、负数 （1）102×98 （1）（100+2）×（100-2） 转化 （100+2）×（100-2） (a+b) (a−b)=a2−b2 典例精析 例2：单项式的应用 平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 追问5：公式中的a、b可以代表什么？ 一般 特殊 单项式 (1) (3x+2)( 3x−2 ) (2)（−x+2y)(−x−2y). (3)(-3a-2)(3a-2) (4)(-3a-2)(3a+2) 典例精析 (1) (3x－5)(3x＋5) (2) (－2a－b)(b－2a) (3) (－7m＋8n)(－8n－7m) 例3：整体思想 平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 追问6：公式中的a、b可以代表什么？ 一般 特殊 单项式 正数 负数 多项式 （1)若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b= 典例精析 (2)(a+b+c)(a-c+b)可以用平方差计算吗？ 练习 计算： (1) 原式＝(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ＝(22－1)(22+1)(24+1)(28+1) ＝(24－1)(24+1)(28+1) ＝(28－1)(28+1) ＝(216－1) 解： 自我挑战 送给大家礼物 【平方差公式】的8大变形公式 ①位置变化 ②符号变化 ③系数变化 ④指数变化 ⑤增项变化 ⑦连用公式 ⑥换式变化 ⑧逆用公式 (a+b)(－b+a)＝a2－b2 (－a+b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2 (2a+b)(2a－b)＝4a2－b2 (a2－b2)(a2+b2)＝a4－b4 (a+b+c)(a+b－c)＝(a+b)2－c2 [a+(b+c)][a－(b+c)]＝a2－(b+c)2 (a+b)(a－b)(a2+b2)＝(a2－b2)(a2+b2)＝a4－b4 (a+b)2－(a－b)2＝[(a+b)+(a－b)][(a+b)－(a－b)] ※平方差公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式。 抓本质，以不变应万变！ 归纳总结 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 多项式×多项式 (a+b)(m+n) 内 容 思 想 方 法 一般 乘法 公 式 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 （同²−反²） 特殊 数形结合 m=a n=−b m=a , n=b？ (a+b)(a+b)=？ (a−b)(a−b)=？ 完全平方公式 还有其他特殊形式吗？ 简 便 运 算 在数学中，提出问题往往比解决问题更为重要！ 感受中考 1.(2025·黑龙江)下列运算正确的是( ) A. a4·a3=a6 B. 2a+3b=6ab C.(−2a2b3)3 =−8a6b9 D.(−a+b)(a+b)=a2−b2 C 感受中考 2.(2022·内蒙古赤峰)已知(x+2)(x−2)−2x=1，则2x2−4x+3 的值为( ) A. 13 B.8 C.−3 D.5 A 感受中考 3.(2025·甘肃)计算:(a+2)(a−2)+a(3−a). 解 原式=a2−4+3a−a2 =3a−4. 4.在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（　 ） A B C D D 5.已知 x≠1，计算： (1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4…… (1) 观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________ ( n 为正整数)； (2) 根据你的猜想计算： ① (1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______； ② 2＋22＋23＋…＋2n＝__________ (n 为正整数)； ③ (x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________； 1－xn+1 －63 2n＋1－2 x100－1 (3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ① (a－b)(a＋b)＝_______； ② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝________； a2－b2　 a3－b3　 和差相乘，分解因式见精妙； 形数互化，转化思维启新篇。 世事纷繁，分析整合寻根本； 人生成长，求同存异方致远。 人教版 八年级上册 谢 谢 聆 听 $