黑龙江哈尔滨市第九中学2025-2026学年高三下学期第五次模拟考试数学试卷

哈九中2025—2026学年度高三下学期 第五次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1．设复数，则z的共轭复数（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．“曲线C：（）为双曲线”是“”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则（ ） A．6 B． C．3 D． 5．设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ） A．18 B．26 C．34 D．42 6．在中，，，，则角B的大小为（ ） A． B．或 C． D．或 7．如图，平行四边形中，，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，圆柱的轴截面是正方形，点E是底面圆周上异于A，B的一点，若，当三棱锥体积最大时，则点C到平面的距离（ ） A．2 B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列满足：，则（ ） A． B．的前n项和为 C．设，则数列的前10项和为52 D．设，则数列既有最大项，又有最小项 10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F，一束平行于y轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射到抛物线上点Q，再经点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A． B．若直线倾斜角为θ，则 C． D．与之间的距离为3 11．如图，在矩形中，，，M，N分别为，的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ） A．三棱锥体积有最大值 B．三棱锥外接球半径为定值 C．存在某个位置使 D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12．已知正实数a，b满足，则的最大值是__________． 13．已知变量x、y满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为．现有一对观测数据为，若该数据的残差为，则______． x 21 23 25 27 y 15 18 19 20 14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643~1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与x轴的交点的横坐标为；在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与x轴的交点的横坐标为；一直继续下去，得到，，，，…，（），它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，则用牛顿法得到的r近似值约为__________．（结果保留两位小数） 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为y． （1）当时，求矩形的面积； （2）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，y最大？并求出y的最大值． 16．在斜三棱柱中，，，为菱形，，，D为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面， （3）线段上是否存在一点M，使二面角为，若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由． 17．已知函数，． （1）若对于任意，都有，求实数a的取值范围； （2）若函数有两个零点，，且，证明：． 18．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：（）的离心率为，面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左右焦点分别为与，点在椭圆C上，且；射线与分别与椭圆交于点与． ①若与的面积相等，求的面积； ②当点P在第一象限，求与面积之差的最大值． 19．某公司招聘会上，共有n名来自甲、乙、丙三所高校的毕业生在随机排序后，逐一参加面试．每人面试时长1分钟，其中来自甲校的毕业生有m人（，，） （1）若， （ⅰ）求最后一位面试的毕业生来自甲校的概率； （ⅱ）已知其余毕业生中有2人来自乙校，1人来自丙校．如果甲校全体毕业生完成面试后，乙校和丙校都有毕业生还没参加面试，就称甲校率先完成面试．求甲校率先完成面试的概率； （2）记从面试开始到最后一名甲校毕业生完成面试，经过了X分钟，证明：X的数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $