精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高三下学期第五次模拟考试数学试卷

哈尔滨市第九中学2024—2025学年度高三下学期 第五次模拟考试数学学科试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复数范围内，下列为方程的根的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知定义域为的函数不是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，在底面圆周上，是的中点，与圆锥底面所成角的大小为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数的值域与的值域相同，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则平面ABP C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面DPB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为______. 13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个． 14. 在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三次函数． （1）若函数在点处的切线方程是，求函数的解析式； （2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且， （1）求角C； （2）如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于D，，，求AD长． 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面PCD，，，，点M，N分别是棱AB和PD的中点． （1）证明：平面PBC； （2）若点E是棱PB上一点，平面ABCD与平面CDE夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 18. 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （3）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 19. 已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. （1）求，和，； （2）证明：为等比数列； （3）求的数学期望（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第九中学2024—2025学年度高三下学期 第五次模拟考试数学学科试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复数范围内，下列为方程的根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程的求根公式求解. 【详解】因为，所以， 所以的根为. 故选：B. 2. 已知定义域为的函数不是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的概念，结合函数奇偶性的性质，即可求解. 【详解】若是奇函数，则； 若不是奇函数，则． 故选：B． 3. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一根据投影向量公式结合平面向量数量积运算律计算求解；方法二应用投影向量的性质计算求解. 【详解】（方法一）如图，建立平面直角坐标系， 可得，则， 向量在向量上的投影向量为. （方法二）向量在向量上的投影向量等于向量在向量上的投影向量加上向量在向量上的投影向量， 根据投影向量的概念可知向量在向量上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 5. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，在底面圆周上，是的中点，与圆锥底面所成角的大小为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位置关系，求出，再根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】因为有平面，所以为与圆锥底面所成角，即 又因为是底面圆的直径，所以， 又是的中点，所以， 由已知， 可得，所以. 又平面平面，所以. 由，解得， 所以圆锥的体积， 故选：D. 6. 长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出、、点坐标，由题意可得、两点坐标间的关系，用点的横纵坐标替换、点坐标代入计算即可得. 【详解】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 7. 已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. 8. 已知函数，若函数的值域与的值域相同，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由的单调性，求得，可得的值域为，进而由的值域也为，得，即可解出a的取值范围． 【详解】由， 则， 当时，，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 则，故的值域为， 令，则，要使得的值域也为， 则，即，解得，即a的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：求出的值域为后，由的值域也为，得到，进而解出a的取值范围． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式即可判断A；根据二倍角的余弦公式即可判断B；先利用商数关系化弦为切，再根据两角和的正切公式即可判断C；先化切为弦，再根据二倍角的正弦公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因事件可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品， 故有，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11. 在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则平面ABP C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面DPB 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：若，先利用面面平行性质得，进而推出平面，同理证平面，再由线面平行判定得平面平面，所以平面.对于B选项：若，由且得，运用线面垂直判定得到平面 .对于C选项：先以D为原点建立空间直角坐标系，确定各点坐标.接着假设与平行，根据向量平行性质列出等式，解方程即可.对于D选项：先根据已知得出点坐标，进而得到向量、、.然后设出并求解平面的法向量，通过向量平行关系列出等式，求解即可. 【详解】对于A选项，若，则， 则点在线段上，如图．因平面平面， 且平面平面，平面平面，故， 因平面平面，故平面， 同理可证平面，因平面平面，且， 故有平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B选项，若， 则（为的中点）如下图，又因为，所以． ，又因为平面，平面，故B正确； 对于选项，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 因为，，，所以， 则点的坐标为.若，则，，. 假设存在，使，则存在实数，使得，即， 可得，此方程无解，所以不存在，使，选项错误. 对于选项，若，则，，，. 设平面的法向量为，则，即， 由得，代入得， 即，，令，则，，所以. 若平面，则与平面的法向量平行，即存在实数，使得，， 可得，由代入得，解得，所以存在，使平面，选项正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个． 【答案】36 【解析】 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解． 【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻， 两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素， 那么小明可以设置的不同密码共有． 故答案为：36. 14. 在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据用余弦定理得到，再结合正弦定理化简得，从而可得，则化为，利用对勾函数单调性求解范围即可. 【详解】由余弦定理得，将代入，则， 故，又由正弦定理得，且， 整理得，因为，故或（舍去）， 得，于是， 由于，则，而函数在上单调递增， 所以，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三次函数． （1）若函数在点处的切线方程是，求函数的解析式； （2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求得，根据在点处的切线方程是，列出关于的方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）得到，利用导数求得的单调性，根据，的值，得出的最值，进而得到，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线方程是， 可得，解得，，所以． （2）由（1）知，令，即，解得， 当时，；当时，；当 时，； 所以在和上分别单调递增，在上单调递减， 而，，，， 所以在区间上，， 所以对于区间上任意两个自变量，， 都有，所以， 即实数的取值范围是． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且， （1）求角C； （2）如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于D，，，求AD长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形面积公式化简可得，利用余弦定理计算即可求得结果； （2）由已知可得，在中，由正弦定理可求得，在中，由计算即可求得结果. 【小问1详解】 已知， 由三角形面积公式可得. 由正弦定理可得：，即. 由余弦定理. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以是等腰三角形，且是一个底角， 故为的中点，则， 在中，， 由正弦定理得， 故， 所以在中，. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面PCD，，，，点M，N分别是棱AB和PD的中点． （1）证明：平面PBC； （2）若点E是棱PB上一点，平面ABCD与平面CDE夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 取AP的中点S，连接MS，NS， 因为M，S分别为AB，AP的中点，所以， 因为平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 因为N，S分别为PD，AP的中点，所以， 又，所以， 因为平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 又因为，MS，平面MNS，所以平面平面PBC， 又因为平面MNS，所以平面PBC． （2）． 【解析】 【分析】（1）应用线面平行的判定定理证明线面平行进而得出面面平行结合面面平行的性质即可证明； （2）设点，再应用空间向量法求二面角的余弦即可得出，最后应用体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面PCD，平面平面，，平面 所以平面PCD，所以， 因为，，PA，平面PAD，所以平面PAD， 因为平面PAD， 所以． 则以P为坐标原点，PD所在直线为x轴，PC所在直线为y轴， 过点P平行于AD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 故，，，，，， 设平面ABCD的一个法向量为，则， 令，则， 设，则， 所以，， 设平面CDE的一个法向量为， 则， 令，则， 设平面ABCD与平面CDE的夹角为， 则，化简得， 解得或（舍去）， 所以， 即三棱锥的体积为． 18. 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （3）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意列式化简方程即可； （2）设直线的方程为，直线与曲线联立方程，利用韦达定理列式求解即可； （3）直线的方程分别为，设，根据直线与圆相切可得是方程的两个根，结合韦达定理与椭圆的方程可得，进而求得关于的表达式，代入求解即可. 【小问1详解】 由题意，点与定点的距离， 点到直线的距离，所以， 即，化简得， 故曲线的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 则， ，解得或， 所以， 因为弦中点的纵坐标为，所以，解得（不符合舍去）或， 所以直线的斜率为； 【小问3详解】 由题意可得，直线的方程分别为，设. 由直线与圆相切可得. ，同理， 所以是方程的两个根，所以， 所以，， 因为是曲线上的一动点，所以， 则有， 联立方程，所以， 所以，同理 所以， 因为，所以， 所以. 19. 已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. （1）求，和，； （2）证明：为等比数列； （3）求的数学期望（用表示）. 【答案】（1），， （2）证明：依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概率计算即得；按第1次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率求出. （2）按第次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率用表示即可推理得证. （3）利用（2）的结论，求出随机变量的分布列，再求出数学期望. 【小问1详解】 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率， 研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为 若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， 综上，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，则， 随机变量的分布列为 1 2 3 所以. 【点睛】方法点睛，求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $