精品解析：江苏省常州市第二十四中学2026年九年级 数学二模卷

九年级教学情况调研测试 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有画弧的半径均相等）若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国新一代百亿亿次（级）超级计算机“天河三号”，其原型机每秒浮点计算可达13000000000亿次，处于世界顶尖水平.自开放应用以来，已为中国科学院、中国空气动力研究与发展中心等单位完成了大规模并行应用测试.其中，数据“13000000000亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用雷达图展示小智参与数学教学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分，分别按进行综合评价，则他的综合得分为（ ） A. 5.6 B. 5.8 C. 6.8 D. 7.6 8. 如图，在中，D为的中点，点E、F分别在上，且．若，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ，与不平行 C. ， D. ，与不平行 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 等腰的周长是，腰长，则底边_____． 10. 分解因式：______． 11. 如图，在中，，则的值是______． 12. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_________． 13. 如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____． 14. 已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 15. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 16. 北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______． 17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 18. 图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示．两处是墙，是固定的两块玻璃隔板，是门框，测得，．是一扇滑动门，推动时，端点M、N分别在对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，与重合．当点N滑动到限位点P时，此时的的长度叫做通行净宽，且，则通行净宽是___（参考数据：）． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．第19题6分，第20~25题每题8分，第26~28题每题10分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解方程组和不等式组： （1）； （2） 21. 为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 5 A B 14 C 11 D 10 E 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________． （2）这组数据的中位数落在________组． （3）若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 22. 在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； （2）从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 23. 如图，，，、相交于点O． （1）求证：； （2）连接，则与的数量关系是_____． 24. 某健身器械厂需生产360台健身器械．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因此在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？ 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图像交于点，，与x轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）已知P为反比例函数图像上一点，且的面积为12，求点P的坐标． 26. 【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值． ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则． ∴． ∴． （1）方法理解：请用形式②求的近似值； （2）比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） （3）灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点D的横坐标为1． （1）点，________，点； （2）P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、． ①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W，当且时，若图像W的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值； ②当且和3时，若的面积等于的面积，求m的值． 28. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究． 新定义：如图1，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． （1）【概念理解】：如图2，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； （2）【性质证明】：如图1，在等腰五边形中，，，．求证：； （3）【特例探究】：如图3，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有3条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的各边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学情况调研测试 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算每个选项的结果，根据负数的定义选出正确答案． 【详解】解：选项A：，是正数， A不符合要求； 选项B： ，是负数， B符合要求； 选项C： ，是正数， C不符合要求； 选项D：，是正数， D不符合要求. 3. 某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体展开图可得答案． 【详解】解：根据几何体表面的展开图有2个面，一个圆是底面，一个曲面是侧面，可知该几何体是圆锥，所以D符合题意． 4. 如图，在中，，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有画弧的半径均相等）若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】观察作图过程得出是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可作答． 【详解】解：观察作图过程，得出是线段的垂直平分线， ∴为的中点， ∵， ∴． 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 6. 我国新一代百亿亿次（级）超级计算机“天河三号”，其原型机每秒浮点计算可达13000000000亿次，处于世界顶尖水平.自开放应用以来，已为中国科学院、中国空气动力研究与发展中心等单位完成了大规模并行应用测试.其中，数据“13000000000亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】亿． 7. 如图，用雷达图展示小智参与数学教学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分，分别按进行综合评价，则他的综合得分为（ ） A. 5.6 B. 5.8 C. 6.8 D. 7.6 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得， 8. 如图，在中，D为的中点，点E、F分别在上，且．若，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ，与不平行 C. ， D. ，与不平行 【答案】D 【解析】 【分析】先由得出，结合为中点求出与的数量关系；再通过计算与的比值，判断与是否平行． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， 若， 则， 但， ∴与不平行． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 等腰的周长是，腰长，则底边_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，理解等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和周长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰的周长是，腰长， ∴底边． 此时等腰的三边长为、、，满足三角形三边关系，符合题意； ∴． 故答案为：2． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 如图，在中，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据正切定义求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：==4， ∴==， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、正切，理解正切的定义，会利用勾股定理解直角三角形是解答的关键． 12. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴，解得：． 13. 如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先求出半径，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵是的弦，于点E，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 14. 已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知公式推导出密度的表达式，再代入和的值，利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：由公式 可得 ，将，代入得： ． 15. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】10（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：向下平移个单位长度后得到，此时随着的增大而减小，且不经过第一象限， 则当时，，解得． ∴的值可以是10 16. 北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的性质，如解图，根据题意，易得，，，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由题意可确定圆心位置，如图所示， 由图可知：， ∴的长度为． 18. 图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示．两处是墙，是固定的两块玻璃隔板，是门框，测得，．是一扇滑动门，推动时，端点M、N分别在对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，与重合．当点N滑动到限位点P时，此时的的长度叫做通行净宽，且，则通行净宽是___（参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出滑动门 的长度等于 的长度，过点作的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长，进而求出的长． 【详解】解：由题意可知，当点与点重合时，与重合，  ∴， 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴ 三、解答题（本大题共10小题，共84分．第19题6分，第20~25题每题8分，第26~28题每题10分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项化简后，将代入计算即可求出结果． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 解方程组和不等式组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用加减消元法进行计算；（2）运用不等式的性质，分别解出两个不等式的解集，最后求得不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ①+②得，③， 解得， 把代入①， 得， 解得． ∴原方程组的解为． 【小问2详解】 解：解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为． 21. 为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 5 A B 14 C 11 D 10 E 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________． （2）这组数据的中位数落在________组． （3）若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 【答案】（1）50，10，22 （2）C （3）116 【解析】 【分析】（1）根据频数统计表和扇形统计图可知A组台数为5台，所占百分比为，由此可得抽取的机器人数，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台）， ∴，； 【小问2详解】 解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为， ∴这组数据的中位数落在C组； 【小问3详解】 解：由题意得： （台）； 答：200台同款机器人中合格的台数为116台． 22. 在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； （2）从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）由题意知，共有48种等可能的结果，其中抽到“小华”的结果有24种，利用概率公式可得答案． （2）①画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小华”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． ②画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小丽”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：总票数为，小华的票数为24； 所以，抽到“小华”的概率为； 【小问2详解】 解：①画树状图如下： 由树状图可得一共有4种等可能的结果，其中两次都抽到“小华”的情况有1种， 所以，两次都抽到“小华”的概率为； ②小丽的票数为16，总票数为48， 所以，抽到小丽的概率为， 可以把转盘三等分，分别标上“小丽”“小华”“小明”，如图， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中两次抽到“小丽”的结果只有1种， 所以，两次抽到“小丽”的概率为． 23. 如图，，，、相交于点O． （1）求证：； （2）连接，则与的数量关系是_____． 【答案】（1）证明：在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明； （2）由得，得，进而得出，从而可得出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 24. 某健身器械厂需生产360台健身器械．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因此在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？ 【答案】原来每天生产健身器械50台 【解析】 【分析】设原来每天生产健身器械x台，根据工作量÷工作效率=工作时间，建立方程． 【详解】解：设原来每天生产健身器械x台． 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：原来每天生产健身器械50台． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图像交于点，，与x轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）已知P为反比例函数图像上一点，且的面积为12，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用点坐标代入反比例函数求出，得到反比例函数解析式；再把点纵坐标代入反比例函数求出，得到点坐标；最后将、两点坐标代入一次函数，解方程组求出、，得到一次函数解析式； （2）先求出一次函数与轴交点的横坐标，得到长度；设反比例函数上点，利用三角形面积公式列方程求解，再求出对应纵坐标，得到点坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， 将，代入解析式： ， 解得， 反比例函数表达式为； 点在反比例函数上，代入得： ， 解得， ， 一次函数过、，代入得： ， 解得，， 一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：是一次函数与轴交点，轴上， 令：， 解得：， ，， 在上，设，则到轴距离为， 由，， 则， 解得， 将代入，， 点的坐标为． 26. 【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值． ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则． ∴． ∴． （1）方法理解：请用形式②求的近似值； （2）比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） （3）灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 【答案】（1）的近似值为4.2 （2）解：我认为用形式①得出的近似值误差更小，理由如下： 用形式①得到，则误差为． ∵， ∴． 用形式②得到，则误差为． ∵， ∴． ∵， ∴用形式①得出的近似值误差更小， 即，且17距离16更近，所以更接近于，因此用形式①误差更小． （3）的近似值为8.89 【解析】 【分析】阅读材料，理解材料中计算无理数近似值的两种方法． （1）按照材料中形式②的方法进行计算； （2）考虑到题干提及“比较分析”，按照材料中形式①和形式②的方法分别进行计算，再进行比较，最后得出结论，但要归纳总结：因为17距离16更近，所以用形式①误差更小； （3）结合（2）归纳的结论，考虑到79距离81更近，所以用形式②误差更小．随后采用形式②进行计算即可． 【小问1详解】 解：设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则， ∴， 解得：． ∴． ∴的近似值为4.2． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ∵， ∴． ∵79距离81更近，所以用形式②误差更小． 选择形式②，设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则， ∴， 解得：． ∴． ∴的近似值为8.89． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点D的横坐标为1． （1）点，________，点； （2）P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、． ①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W，当且时，若图像W的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值； ②当且和3时，若的面积等于的面积，求m的值． 【答案】（1），1， （2）①的值为或；②或 【解析】 【分析】（1）令可求；由对称轴可求；令可求； （2）①判断，即对称轴在此范围内，得出最高点和最低点，列方程求解即可； ②根据的面积等于的面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，得， ∴； ∵抛物线顶点D的横坐标为1， ∴， 解得：； ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：①抛物线的解析式为，对称轴为， ∵图像W是抛物线在P、Q两点之间的部分，且P、Q的横坐标分别为m、， ∴图像W对应的自变量的取值范围是， ∵且， ∴，即对称轴在此范围内， ∴图像W的最低点为顶点， ∴当时，Q到对称轴的距离比P远； 最低点为顶点，最高点为, 即， ∴最高点与最低点的纵坐标之差为， 整理得， 解得， ∵， ∴ 当时，P到对称轴的距离比Q远； ∴最高点， ∴， 解得：或（舍去） 综上，的值为或； ②设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 过作轴交于，则： ， ∴的面积， 同理，过, 即作轴交于，则： ， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上，或． 28. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究． 新定义：如图1，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． （1）【概念理解】：如图2，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； （2）【性质证明】：如图1，在等腰五边形中，，，．求证：； （3）【特例探究】：如图3，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有3条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的各边长． 【答案】（1）证明：已知四边形是菱形，，，又，，即， 五边形满足等腰五边形全部定义条件， 五边形是等腰五边形． （2）证明：连接、， 在和中： ， ， ，， 为等腰三角形， ， ， ， 即． （3），，或，，或，，或，，． 【解析】 【分析】（1）只需证明3个条件：、、，利用菱形四边相等、的条件做线段等量代换，再证角相等； （2）已知，，，连接、构造全等三角形；先证，得到、，再由等腰底角相等，两角相加即可推出 ； （3）矩形长，宽，要剪出等腰五边形，只能在矩形一组对角处各剪去一个全等直角三角形；结合“至少3条边相等”分类讨论边长等量关系，筛选符合凸五边形、边长正数的方案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：矩形，， 设剪掉的全等直角三角形直角边长为，斜边为，满足3条边相等： 情况1:令 ， ，（舍去，无法剪出三角形）； 情况2: ， ，（舍去）； 情况3: 如图所示，三边相等， 令 ， ， ，； 斜边为； 情况4：如图所示，四边相等， ， ， 解得，斜边为； 情况5：如图所示，四边相等， ， ， 解得，斜边为； 情况6：如图所示，三边相等， ， ， 解得，斜边为； 此时直角三角形三边为，，或，，或，，或，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $