精品解析：2026年江苏省盐城市大丰区 第二次学情调研九年级数学试卷

2026年春学期第二次学情调研 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，以下四个新能源汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，在数轴上所对应的点到原点的距离最大的是（ ） A. B. C. 2 D. 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 2026年3月11日，我国自主研发的级超高强度碳纤维全球首发并实现百吨级量产，其单丝直径仅约6微米（1微米米），不足人类头发丝的十分之一．数据6微米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 若，则的值为______． 11. 因式分解______． 12. 已知圆锥的侧面积为，母线长为，则圆锥的底面半径是______． 13. 如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为_______． 14. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______． 15. 已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 16. 如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 19. 结合如图所示的数轴，比较代数式与的大小． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：过点A作直线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在l上截取（点D在点A的右侧），连接，线段与相于点O，过点O且与线段分别交于点E，F．请在（1）图中补全图形，并求证：． 21. 某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在A位置的概率为          ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 22. 如图，直线：与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数的图象交于点，连接，直线与反比例函数的图象交于点．当点与点关于直线对称时，求点的坐标及直线平移的距离． 23. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 24. 某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析，下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（值）为6和的土壤中蒜苗高度的数据如下表： 土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 12.4 c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如下表： 值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出的值，并补全条形统计图． （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株． （3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响． 25. 如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求的长． 26. 综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． （1）初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 27. 我们约定：若点A为，点B为，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线上，点B始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“X抛物线”． （1）点的“L点”是______；抛物线l：的“X抛物线”是______； （2）已知抛物线经过点，若点与点在其“X抛物线”上，且，求p的取值范围． （3）已知点在抛物线：图像上，点A的“L点”为点．若该抛物线的顶点为，该抛物线的“X抛物线”的顶点为． ①当时，求n的取值范围； ②当c取不同的值时，所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段，构成直角三角形时，求t的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期第二次学情调研 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，以下四个新能源汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，理解 “将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列四个数中，在数轴上所对应的点到原点的距离最大的是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，只需计算各数的绝对值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， ， 在数轴上所对应的点到原点的距离最大的是． 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则判断选项的正确性． 【详解】解：A选项错误，； B选项正确； C选项错误，； D选项错误，． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则． 5. 2026年3月11日，我国自主研发的级超高强度碳纤维全球首发并实现百吨级量产，其单丝直径仅约6微米（1微米米），不足人类头发丝的十分之一．数据6微米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】将微米转换为米，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1微米米， ∴6微米米米， ， 即6微米米． 6. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， ， ，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理先求出的度数，假设D点在优弧上时，，点需要在优弧外才能保证安全，因此需要满足小于时，船D才能安全通行即可得出结果． 【详解】解：为圆心，， ， 假设D点在优弧上时，， 点为触礁临界点，为危险角， 点需要在优弧外才能保证安全， 因此需要满足小于时，船D才能安全通行，选项D，满足题意， 故选：D． 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质、反比例函数的图象及性质、二次函数的图象及性质，掌握这些函数的图象及性质是解题的关键． 利用关于轴对称，判定选项A和C是错误的；利用，得出在轴的左边，随的增大而减小，判定选项B是错误的；从而得出正确的选项是D． 【详解】解： ，， ∴关于轴对称， ∵，在同一个函数图象上， ∴该函数图象关于轴对称，因此选项A和C是错误的； ∵，在同一个函数图象上，且， ∴在轴的左边，随的增大而减小，因此选项B是错误的； 正确的选项是D． 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列不等式求解 【详解】∵ 在实数范围内有意义， ∴ 被开方数 ， 解得 ． 故答案为 ． 10. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 12. 已知圆锥的侧面积为，母线长为，则圆锥的底面半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式 ，代入已知数据即可求解． 【详解】解：圆锥侧面积公式为，已知 ，母线长， ， 解得：． 13. 如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为_______． 【答案】18° 【解析】 【分析】先算出正五边形的每个内角的度数，让360减去3个内角的度数和的差除以2即可． 【详解】∵正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°， ∴∠ABC=（360°﹣3×108°）÷2=36°÷2=18°． 故答案为18°． 【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数. 14. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设：甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，正确找出数量关系，列出二元一次方程组是解答本题的关键． 15. 已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上时，越靠近对称轴函数值越小，离对称轴越远函数值越大，结合的取值范围，即可求解． 【详解】解：二次函数， ，抛物线开口向上，对称轴为 ， 在范围内， 计算各端点到对称轴的距离： ，，， 可得， 当时，取得最小值， 代入得 ， 不能取，且时 ， ， 当时，的取值范围为． 16. 如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线定义、三角函数定义及相似三角形的判定与性质，推导出线段比例关系最终求出的值． 【详解】解：设， 在中，由， ，即， 平分，， ， 过点作于，则， ， 设，则， 在中，由，即， ， 由得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解： ． 18. 先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】第一步，先对分式进行化简，通过通分、分式除法变乘法、因式分解和约分，将原式化为最简形式；第二步，根据分式有意义的条件，排除使分母或除式为零的值，从给定的数中选择合适的代入最简式计算求值． 【详解】解： ， 分式的分母不为，除式不为， ，，， ，，， ， 当时， 原式 ． 19. 结合如图所示的数轴，比较代数式与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴得，，作差法结合因式分解即可求解． 【详解】解：∵， 由数轴得， ∴，， ∴， ∴． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：过点A作直线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在l上截取（点D在点A的右侧），连接，线段与相于点O，过点O且与线段分别交于点E，F．请在（1）图中补全图形，并求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作法一：利用平行四边形的性质完成； 作法二：利用平行线的判定完成， （2）按照题目条件补全图形即可；先证明四边形是平行四边形，再证明即可完成证明． 【小问1详解】 解：两种作法如下： 如图所示，直线l是过点A且平行于的直线． 【小问2详解】 解：补全的图形如下： （注：补全图形并字母标注正确）． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图—作已知直线的平行线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是关键． 21. 某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在A位置的概率为          ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）用树状图法列出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再结合概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：甲共有4个等可能选择的车位，停放在A位置的情况只有1种， 因此甲停放在A位置的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图列举所有情况如下： 综上，共有种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的结果有种， 因此甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 22. 如图，直线：与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数的图象交于点，连接，直线与反比例函数的图象交于点．当点与点关于直线对称时，求点的坐标及直线平移的距离． 【答案】（1） （2）点；直线向上平移的距离为 【解析】 【分析】（）先把交点代入，求出的值以确定点的坐标；再将点的坐标代入反比例函数，求出的值，进而得到反比例函数的解析式； （）先利用点与点关于直线对称的性质，通过构造直角三角形并证明全等，得出对应边相等，结合点的坐标得到点；再设平移后的直线解析式，将点代入求出解析式中的参数，最后通过计算平移前后直线的截距差，得到直线向上平移的距离． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得， ∴， 将点代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴点， 设直线向上平移后的直线对应的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∴直线向上平移的距离为． 23. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 【答案】（1）①1；②0.9米 （2）绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 【解析】 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ， ②如图，过点作于点， ，. 在中，， 即，解得， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 由表格可知，在12时-14时， 夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米． 24. 某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析，下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（值）为6和的土壤中蒜苗高度的数据如下表： 土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 12.4 c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如下表： 值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出的值，并补全条形统计图． （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株． （3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响． 【答案】（1），补全条形统计图见解析 （2）这块试验田中高度不低于的蒜苗有株 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义求解，即可补全条形统计图； （2）先求出当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为，再用乘以占比即可； （3）根据条形统计图以及平均数、中位数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 将值为6的8个数据排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14 ∴中位数， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：根据实验数据可得，当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为， ∴（株） 答：这块试验田中高度不低于的蒜苗有株； 【小问3详解】 解：①从平均数角度分析：土壤的酸碱度(值)为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当值偏离6(无论升高或降低)，平均数均呈下降趋势； ②从中位数角度分析：土壤的酸碱度(值)为6时,蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优； ③从方差角度分析：土壤的酸碱度(值)为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定;土壤的酸碱度(值)为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大,生长状态最不稳定． 25. 如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）连接，由直径可得，利用等边对等角可推出，从而得出，即可得证； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （3）由相似三角形对应边成比例，得出，在中，利用勾股定理列方程，求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是半的直径， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是半径， 是的切线； 【小问2详解】 证明：， ， 又， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ， ， ， ， 在中，，， ， 解得：（负值舍去）， ． 26. 综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． （1）初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析 （2），，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，则是等边三角形，然后由三线合一得到，而，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）过点E作交的延长线于点F，交于点M，利用平行线分线段成比例定理证明是的中位线，则，然后证明，则，可得，记与相交于点N，由全等三角形得到，再结合对顶角以及平行线的性质即可证明位置关系； （3）过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点，然后分两种情况讨论，当点为靠近点的三等分点时，则，证明即可求解的值，当点为靠近点的三等分点时，同理可求． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，理由如下： 由旋转可得 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴，即， ∴ ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 过点E作交的延长线于点F，交于点M ∴ ∵P是的中点， ∴， ∴ ∴是的中位线 ∴ 根据旋转的性质可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 记与相交于点N， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即． 【小问3详解】 解：当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 27. 我们约定：若点A为，点B为，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线上，点B始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“X抛物线”． （1）点的“L点”是______；抛物线l：的“X抛物线”是______； （2）已知抛物线经过点，若点与点在其“X抛物线”上，且，求p的取值范围． （3）已知点在抛物线：图像上，点A的“L点”为点．若该抛物线的顶点为，该抛物线的“X抛物线”的顶点为． ①当时，求n的取值范围； ②当c取不同的值时，所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段，构成直角三角形时，求t的值 【答案】（1）； （2） （3）①②或 【解析】 【分析】（1）根据“L点”和“X抛物线”的定义即可求解； （2）将点代入先求出原抛物线，再根据“X抛物线”的定义求出其“X抛物线”，将点与点分别代入其“X抛物线”根据建立不等式即可求p的取值范围； （3）①根据点A的“L点”为点．求得，进而可得，，根据“X抛物线”的定义得的方程为，的顶点为，，，即进而可得，根据二次函数的性质可得当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，即可得出的取值范围； ②根据题意令，解方程，即可求与轴交点长度为，令，同法可求与轴交点长度为2，根据线段即，GK，RT构成直角三角形时，可能的组合为或，分别解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为， 纵坐标为， 故“L点”为；； 原抛物线， 设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即， “X抛物线”方程为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：将点代入， 得， ， ， 原抛物线上点A， 其“L点”B的坐标为， “X抛物线”方程为， 点与点在其“X抛物线”上， 分别代入， 得，， ， ， ； 【小问3详解】 解：①点A的“L点”为点． ，， ， 代入抛物线：， 得， ， 的顶点为， ，， 由题意得：的表达式为， 的顶点为， ，， 即， 当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为， 故的取值范围为； ②新的抛物线为，顶点为， 令， 解得，， ， 即与轴交点长度为， 新的抛物线为，顶点为， 令， 解得，， ，即与轴交点长度为2， ， 当线段即，构成直角三角形时， 可能的组合为， 解得， 或， 解得， t的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及新定义“L点”和“X抛物线”、二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式及特殊三角形的存在性问题，综合性强，难度较大，正确理解题意，准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $