精品解析：福建省同安第一中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试题

同安一中2025-2026学年第二学期期中质量检测 高二数学试题 满分：150分考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. 60 B. 40 C. 35 D. 20 2. 已知随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 3. 已知为等差数列，，则等于（ ） A. 21 B. 17 C. 23 D. 20 4. 的展开式中含项的二项式系数为（ ） A. －10 B. 10 C. －5 D. 5 5. 已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（ ） A. 72 B. 84 C. 88 D. 100 7. 甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元. A. 3600 B. 3800 C. 4000 D. 4200 8. 第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（ ） A. 0.2856 B. 0.1428 C. 0.1587 D. 0.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在某次试验中获得数据如下： 2 3 4 10 25 19 15 12 4 与线性相关，且回归方程为，则下列正确的是（ ） A. 与具有负的线性相关关系 B. C. 点落在回归直线下方 D. 估计时的值为 10. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. C. D. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的前项和 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝2，，则_______ ． 14. 将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为________. 1 2 3 4 5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. DeepSeek是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为DeepSeek将在未来取代一部分人的工作．现对300家企业开展调查，统计DeepSeek的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示． DeepSeek的应用程度 招聘人数减少的企业数 招聘人数增加的企业数 合计 广泛应用 90 70 m 未广泛应用 80 140 合计 150 150 300 （1）求； （2）记广泛应用DeepSeek的企业招聘人数减少的概率为，求的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17. 某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） （1）求每个盲盒含限量版商品的概率； （2）设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； （3）若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 19. 已知函数，. （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2025-2026学年第二学期期中质量检测 高二数学试题 满分：150分考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. 60 B. 40 C. 35 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数与组合数公式直接计算即可得解. 【详解】. 故选：B. 2. 已知随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 3. 已知为等差数列，，则等于（ ） A. 21 B. 17 C. 23 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求得和公差，然后计算出． 【详解】设的公差为，因为， 所以，解得， 所以， 故选：D． 4. 的展开式中含项的二项式系数为（ ） A. －10 B. 10 C. －5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次项定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为， 令，解得，∴含项的二项式系数为． 故选：D 5. 已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知：随机抽出3道题有2题答对，1题打错，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题答错， 所以. 故选：D. 6. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（ ） A. 72 B. 84 C. 88 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，若甲去点，则剩余4人，可只去两个点，也可分为3组去3个点.分别求出安排种法，相加即可得出甲去点的安排方法.同理，即可得出甲去点的安排方法，即可得出答案. 【详解】若甲去点，则剩余4人，可只去两个点，也可分为3组去3个点. 当剩余4人只去两个点时，人员分配为或， 此时的分配方法有； 当剩余4人分为3组去3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有， 综上可得，甲去点，不同的安排方法数是. 同理，甲去点，不同的安排方法数也是， 所以，不同的安排方法数是. 故选：D. 7. 甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元. A. 3600 B. 3800 C. 4000 D. 4200 【答案】C 【解析】 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 8. 第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（ ） A. 0.2856 B. 0.1428 C. 0.1587 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件，结合正态分布的概率计算，利用全概率及贝叶斯公式进行求解． 【详解】由于飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，得， 则， ，. 设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件， 则，， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在某次试验中获得数据如下： 2 3 4 10 25 19 15 12 4 与线性相关，且回归方程为，则下列正确的是（ ） A. 与具有负的线性相关关系 B. C. 点落在回归直线下方 D. 估计时的值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，再根据经验回归方程的知识求解即可. 【详解】,，故A对； ，经验回归方程经过样本中心点， ，故B错； 把代入经验回归方程得，点落在回归直线上方，故C错； 当时，，故D对. 故选：AD. 10. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由，得， 故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的前项和 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可． 【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数， 所以，所以为等比数列，， 所以，故A错误； ， 故的前项和为， 故B正确； 去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列， 项数之和为，则的最大整数为11，此时, 杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1， 取的就是第12行中的第3项，，故C正确； 是中去掉22个1，再加上第12行中的第2项和第3项， 所以，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 所以． 13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝2，，则_______ ． 【答案】22 【解析】 【详解】设等比数列的公比为. 已知，，即，解得. 公比. 可得. 14. 将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为________. 1 2 3 4 5 【答案】 【解析】 【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一步，从1号或3号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽1号卡片， 第二步，从3号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片， 第三步，从2号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽2号卡片， 第四步，从4号或5号卡片抽取一张，有2种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种； （2）第一步，抽5号卡片， 第二步，从1、3、4号卡片抽取一张，有3种情况，比如先抽1号卡片， 第三步，从3、4号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片， 第四步，从2、4号卡片抽取一张，有2种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种. 而从5张卡片随意抽取，不同的抽法种数为， 因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. DeepSeek是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为DeepSeek将在未来取代一部分人的工作．现对300家企业开展调查，统计DeepSeek的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示． DeepSeek的应用程度 招聘人数减少的企业数 招聘人数增加的企业数 合计 广泛应用 90 70 m 未广泛应用 80 140 合计 150 150 300 （1）求； （2）记广泛应用DeepSeek的企业招聘人数减少的概率为，求的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1），； （2）； （3）认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据计算出，； （2）用频率估计概率，估计； （3）零假设，计算出卡方，与6.635比较后得到结论. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 根据统计数据，广泛应用DeepSeek的企业有160家，其中招聘人数减少的有90家， 因此用频率估计概率，估计． 【小问3详解】 零假设：企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关． 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关． 16. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）连接，交于点，连接. 因为四边形为矩形，所以为的中点. 又点为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，由三角形中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，. 因为四边形为矩形，所以，则，，两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 设直线与平面所成角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值. 17. 某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） （1）求每个盲盒含限量版商品的概率； （2）设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； （3）若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 4 5 （3）.【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出的可能值，结合（1）中概率，利用二项分布求出概率分布列. （3）由（1）的信息，利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品， 则，， 所以每个盲盒含限量版商品的概率. 【小问2详解】 由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，， ，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 【小问3详解】抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为. 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆的方程. （2）（i）求出线段的方程，由三角形的面积求出点的坐标，进而求出直线l的斜率；（ii）根据给定条件，结合三角形面积公式得，设出直线的方程，求出点的坐标，进而求出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距，由离心率为，得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）由点，得线段AE的方程为，设， 由的面积是1，得，而， 解得，，即点，又点. 所以直线l的斜率. （ii）依题意，直线l的斜率存在且为正，设直线l的，点， 由的面积与的面积之比为， 得，而，则， 又点均在第一象限，因此， 由，解得，即， 则，，而， 因此，整理得，解得， 所以直线l的斜率为. 19. 已知函数，. （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为，无最大值. （2）见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数即可得到函数的单调性及最值. （2）对函数求导，作出函数简图，通过方程根的个数结合极值点两边正负号即可确定参数的范围. （3）化简函数并求导，分析有三个极值点时满足的条件，结合函数单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得极小值（也是最小值），此时. 无最大值. 所以函数的最小值为，无最大值. 【小问2详解】 由题意知，即讨论在上变号零点个数 对求导可得，. 极值点的个数等价于在上的解的个数，即在上的解的个数. 令（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时. 且当时，；时，. 当时，在上无解，此时在上无极值点； 当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点； 当时，在上有1个解， 但在和上均大于零，故此时在上无极值点； 当时，在上无解，此时在上无极值点； 综上，当或时，无极值点；当时，有2个极值点. 【小问3详解】 ，其定义域为， 则，（）. 令，解得或. 设（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时， 且当时，；当时，. 因此的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根， 所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以， 即在上有两个不同的正根（且不等于1）. 不妨设，则， 所以，即，，也即，， 所以 令（），则 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以在上单调递增. 因为， 因此当时，， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $