第五章 图形的轴对称 期末压轴训练 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以图形的轴对称为核心，通过折叠操作、最短路径等多样题型，构建从概念到综合应用的知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠与对称|选择1-10、填空11-16|多次折叠角度/周长计算，格点三角形对称|轴对称性质→折叠对应关系→角度/线段等量转化| |综合应用|解答17-22|最短路径、动态折叠规律探究|对称性质→垂直平分线/最短路径模型→多步折叠规律推导|

七年级数学（北师大版）下册期末压轴题专项 第五章 图形的轴对称 一、选择题 1. 在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 （第1题图） （第2题图） 2. 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，连接、，先将正方形沿折叠，使点翻折至点，再沿折叠，使点翻折至点．若，且满足，则的度数为（   ）度． A．58 B．59 C．60 D．61 3. 已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 4. 如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5. 如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 6. 如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7. 按如图所示的方法折纸，下列说法不正确的是（     ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 8. 如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）   A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 9. 如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 10. 如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为___________ ． 12. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 13. 有一无弹性细线，拉直时测得细线 长为 ，现进行如下操作：1． 在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点B；3．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ． 继续进行折叠，使点B与点 重合，并把B点和与其重叠的 点处的细线剪开，使细线分成长为 的三段，当 ，则细线未剪开时 的长为_____________． 14. 如图，点在正方形纸片的边上，连接，，将纸片分别沿直线、翻折，点，B的对应点，均在外部，若，设，则的值是________． 15. 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）． 16. 折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，长方形纸片中，，点M在线段上，点N在线段上，将长方形纸片沿着线段折叠后，点分别落在点的位置上，交线段于点Q，再沿着线段折叠后，点C，D分别落在点的位置上，若，则的度数是_________°． 三、解答题 17. 综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 18. 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数．    19. 【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①________（用含t的式子表示）； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小； 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 20. 【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 21. 【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小； 【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动． ①在（1）的条件下，求图1中的度数； ②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？ 【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值． 22. 【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 (1) 如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： (2) 如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． (3) 如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． (4) 如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 2．D 解：设， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得. 3．D 解：，， ． 将纸片沿折叠，使点与点重合， ． 将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合， ，， ， 的周长为． 4．B 解：∵，， ∴， 由作图可知：为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 5．C 解：∵，，， ∴， 解得，故A正确； ∴， ∵分别垂直平分，垂足分别为E、G， ∴，， ∴， ∴，故B正确； ∴，故D正确， 从已知条件无法求出的周长，故C错误． 6．B 解：假设， 根据翻折的性质可得，， ∵平分， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得，， ∵四边形为长方形， ∴， 解得. 7．C 解：A、由折叠的性质可得， ∴， ∴与互余，故A选项正确，不符合题意． B、，故B选项正确，不符合题意． C、∵， ∴不平分，故C选项错误，符合题意． D、∵， ∴与互补，故D选项正确，不符合题意． 8．B 解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：     则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 9．B 解：过作于点，如图： ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 作点，关于直线对称， ∵平分， ∴点G在上， ∴连接， 则， ∴，   ∵，∴， 故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，得当与重合时，取得最小值， 故的最小值为6． 10．C 解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， . 11．8 解：由作图可知是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， ， 的周长为， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 12．11 解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为. 13．2或/6或2 解：，细线剪开后分成三段， ， 当时，， ， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ． 14． 解：根据折叠的性质可得，， ∵，， 故， 即， 整理得 ∵， 故； 即， 解得：． 15． 或 解：如图： 由翻折的性质可得， ， ，， ； 如图： ， ， 由翻折可知，， ， ； 如图： ， ， 由翻折可知，， ， ； 综上所述，的度数为或． 16． 解：设， ∵折叠， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴. 17． （1）解：∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，折痕即为所求； （3）解：如图，当点在的右边时， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （4）解：如图，当点在的右边时， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴； 综上，的度数为． 18．（1）解： 与是一组“奇妙角”，理由如下： ， ，由折叠可知：，    与是一组“奇妙角”； （2）解：①设， 由对折可得：， ， ，     与是一组“奇妙角”， 或， 或， 或，即或， ②设， 由对折可得： 与是一组“奇妙角”，且 ， 当与无重叠时，如图：   ， ， ， ， ， 当与有重叠时，如图：     ， ， ， ， 综上所述，或． 19．解：（1）如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵如图④所示：， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）， （2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置， ∴此时灯再次转动了， ， ②如图为大致图形： 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下： 设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； ②当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图， ∴同理可得， ∴， ∴， 解得：，，（不合题意，舍去）， 综上所述：当为10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 20．解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 21．解：（1）如图1， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图1， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ②设，如图2， 有 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图3， 有， ∴， 如图4， 有， ∴， 由题意，， 即， 解得 ∴． (3)如图6， 有， 如图7， 有 ∴， 同理可得 ， 按此规律，， 如图8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 22．（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 答案为：8． 学科网（北京）股份有限公司 $