第一章 整式的乘除 期末压轴题专项 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦整式乘除综合应用，以数形结合、规律探究为核心方法，构建"概念-推导-应用"逻辑链，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式运算综合|选择1-9、填空13-17|配方法、公式逆用|幂运算→乘法公式→因式分解递进| |规律探究|选择2、11、填空14|归纳法、贾宪三角应用|特殊到一般，系数规律与二项式展开关联| |数形结合|选择4、6、解答20-21|图形割补法、面积法|几何直观推导完全平方公式，实现数与形转化| |新定义与综合|选择10、12、解答22-23|新定义迁移、最值模型|实际问题抽象为数学模型，培养应用意识与创新思维|

七年级数学（北师大版）下册期末压轴题专项 第一章 整式的乘除 一、选择题 1. 已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 2. 表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 3. 有下列四个结论，其中正确的是（    ） ①若，则只能是； ②若的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，，则的结果有三个； ④一艘轮船从地到地需天，而从地到地只需天，轮船在静水中的速度不变，则一竹排从地漂到地需要天． A．②③④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 4. “铺地锦”是我国古代的一种乘法运算方法，能将多位数乘法转化为一位数乘法与简单的加法运算。淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 5. 若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 6. 现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 7. 已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8. 已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 9. 设 ，，．若，则的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 10. 如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 11. 贾宪三角（如图）最早于11世纪被发现，其中与我们当下学习联系最为紧密的，是二项式乘方展开式的系数规律。在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角的排列规律，下列结论正确的是（    ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 12. 定义，以下说法正确的有（   ）个． ①若不含x的二次项，则． ②若为正整数，、、为自然数，，则满足条件的整式共计有9种． ③若（i为自然数），，，则． ④若，，则． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13. 计算：________． 14. 对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________． 15. 若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 16. 如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 17. 如果是完全平方式，那么m的值是_______． 18. 若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 三、解答题 19. （1）计算： （2） 计算： 20. 【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾言：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3） 类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 21. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （4） 如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 22. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 23. 通过小学阶段的学习，我们已经知道：在周长固定的长方形中，正方形的面积最大。这一结论可以通过图形的割补方法来直观说明。 (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与详解 1．C 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 2．B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， 以此类推，，故①说法错误； ∵，，，， ∴， ∴， 故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误； ∵，， ∴， 即， ∵是大于的整数， ∴， ∵，， ∴满足条件的的最小值为，③说法正确． 3．C 【详解】∵ 结论①∶ 若，则可能为、或，例如时，时，∴ 不只能是，结论错误． ∵ 结论②∶ ∵， ∵不含项，， ∴，常数项为，故②正确， ∵ 结论③∵，得中必有两正一负， 若，原式， 若，原式， 若，原式， 故有两个结果，故③错误， ∵ 结论④∶ 设距离，船速，水速，有和， 解得：，竹排从到顺流时间天，∴ 结论正确． ∴ 正确结论为②④. 4．D 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意. 5．D 【详解】解：∵， ∴ 则． 6．B 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， . 7．A 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 两边除以 ，得， ∴， 又∵， ∴， ∴. 8．C 【详解】解：①将代入得：，解得：，故①错误． ②将展开为：， 若为完全平方式，则：，解得：，故②正确； ③∵， ∴，即 ∴ ，故③正确． 综上，②③正确，正确个数为2． 9．C 【详解】，，， ，， ， ， ， ， 10．D 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 11．D 【详解】解：∵的展开式的第三项的系数为1， 的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， 的展开式的第三项的系数为， ∴正确； ∵ ， ∴正确； 由贾宪三角的排列规律可知从第二行开始，第行的第二项的系数是， ∵展开式中含的项是第二项，展开式在第2027行， ∴展开式中含的项的系数是， ∴正确； ∵的展开式为， ∴其中各项系数之和为， ∴正确． 12．A 【详解】解：由题意可得：， ∴ ， ∵不含x的二次项， ∴，即，即①错误； 由题意可得：， ∵为正整数，、、为自然数， ∴当时，，则有，共6种情况； 当时，，则有，共3种情况； 当时，，则有共1种情况； ∴则满足条件的整式共计有10种．即②错误； ∵若（i为自然数）， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故③错误； 设，则，， ∵， ∴，解得：， ， ， 或， 或， ∵， ∴， ∴， 那么当时，； 当时，；故④错误； 综上，正确的个数为0个． 13．2 【详解】解：原式 ， 14．26 【详解】解：根据题意，设两位数为和，满足， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 设， 要求的最小值，即需求的最小值， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当时，，，取时，的最小值为12； 当时，，，为定值； 当时，，，取时，的最小值为12； ∴的最小值为12， ∴的最小值为. 15． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故． 16． 【详解】解：由题意得， ， 故：． 17．或 【详解】解：∵ 是一个完全平方式，且常数项， ∴ 该式可表示为 ， ∴ ， 即 或 ， 当 时， 解得 ； 当 时， 解得 ． 综上所述或． 故答案为：或． 18． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式. 19．解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20． 正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， . 由可知， ， 又，， . 类比可得：， 由可得：， ，， . 由可得：， 21．解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， （3）由题意可得， ， ， ， ， 22．解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； （2）， ，或， 或， 探究问题：（3）， ，， ； （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 23．（1）解：①当时，如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长为；如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形A、B和阴影部分组成一个边长为3的正方形， ∴， ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；； 9． （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴； 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是5的正方形，即 ∴边长是 和的长方形的最大面积是25， ∴ 的最大值为25． 学科网（北京）股份有限公司 $