第02讲 导数与函数的单调性（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数与单调性关系为核心，构建“基础应用-重难创新-真题实战”三阶训练体系，系统整合分类讨论、数形结合等思想，实现从知识理解到解题能力的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|9题型（含3类含参讨论）|求导运算、分类讨论、转化思想|从不含参到含参，从单调区间到参数求解，构建导数应用基础逻辑链| |重难创新|8题（新情境/考法）|构造函数、图像转化、综合判断|结合新定义与跨知识迁移，深化逻辑推理与直观想象| |真题实战|5题（近3年高考题）|高频考点突破、规范解题流程|对接命题趋势，强化数学抽象与应用意识|

第02讲 导数与函数的单调性 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 求不含参函数的单调区间 2 题型02 函数图象与导函数图象的关系 7 题型03 已知函数在区间上单调求参数 11 题型04 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数 14 题型05 利用单调性比较大小 17 题型06 利用单调性解不等式 21 题型07 含参单调性讨论（一次型） 24 题型08 含参单调性讨论（二次型可因式分解） 29 题型09 含参单调性讨论（二次型不可因式分解） 34 重难·创新演练 40 真题·实战演练 46 模拟·基础演练 考查重点：涵盖不含参函数单调区间、函数与导函数图像互化、已知单调/存在单调求参、利用单调性比较大小和解不等式，以及一次型、可因式分解、不可因式分解三类含参讨论，全面考查求导运算、分类讨论、数形结合与转化思想，是导数应用的核心基础题型。 题型01 求不含参函数的单调区间 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； 3．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； 4．已知函数 (1)若，求函数的单调区间； 5．已知函数. (1)讨论在上的单调性； 题型02 函数图象与导函数图象的关系 6．函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   7．已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 9．已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 10．设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型03 已知函数在区间上单调求参数 11．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数是上的增函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数． (1)若为增函数，求实数a的取值范围； 题型04 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数 16．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 17．函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是______. 18．若函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是______． 19．已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； 20．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 题型05 利用单调性比较大小 21．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 22．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．已知定义在R上的函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 25．已知，试比较的大小关系（    ） A． B． C． D． 题型06 利用单调性解不等式 26．已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 30．已知函数，若对任意，，则实数的取值范围为______. 题型07 含参单调性讨论（一次型） 31．已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； 32．已知函数，． (1)讨论的单调性； 33．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； 34．已知函数． (1)讨论的单调性； 35．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 题型08 含参单调性讨论（二次型可因式分解） 36．已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; 37．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 38．已知函数． (1)讨论函数的单调性； 39．已知． (1)讨论的单调性； 题型09 含参单调性讨论（二次型不可因式分解） 40．已知函数. (1)讨论的单调性； 41．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 42．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； 43．已知函数. (1)讨论的单调性； 44．已知函数． (1)讨论的单调性； 重难·创新演练 设题创新:有些题目依托各种新定义包装单调性问题，创新考查构造函数、图像转化、存在性与恒成立结合、奇偶性+单调性综合判断，突出知识迁移、逻辑推理与数形结合能力。 1．【新情境】（2026·河南·模拟预测）我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”．下列有关的结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．【新考法】（2026·河北·二模）若函数在区间上单调递减，则实数为（   ） A． B． C． D． 3．【新情境】（2026·浙江金华·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（   ） A．（不超过x的最大整数） B． C． D． 4．【新角度】（2026·江苏南京·一模）已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．【新考法】（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 6．【新角度】（2026·河北·一模）已知正数x，y，z满足 ，则（   ） A． B． C． D． 7．【新角度】（2025·26高二下·黑龙江·期中）（多选）已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 8．【新角度】（2025·26高三上·河南信阳·期末）（多选）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 真题·实战演练 高频考点：导数单调性、含参讨论、单调区间求解、已知单调求参数、存在与不单调问题、构造函数解不等式、利用单调性比较大小；近三年以选择填空与解答第一问为主，侧重基础与中档综合，突出含参、构造、恒成立三大热点。 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 5．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 导数与函数的单调性 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 求不含参函数的单调区间 2 题型02 函数图象与导函数图象的关系 7 题型03 已知函数在区间上单调求参数 11 题型04 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数 14 题型05 利用单调性比较大小 17 题型06 利用单调性解不等式 21 题型07 含参单调性讨论（一次型） 24 题型08 含参单调性讨论（二次型可因式分解） 29 题型09 含参单调性讨论（二次型不可因式分解） 34 重难·创新演练 40 真题·实战演练 46 模拟·基础演练 考查重点：涵盖不含参函数单调区间、函数与导函数图像互化、已知单调/存在单调求参、利用单调性比较大小和解不等式，以及一次型、可因式分解、不可因式分解三类含参讨论，全面考查求导运算、分类讨论、数形结合与转化思想，是导数应用的核心基础题型。 题型01 求不含参函数的单调区间 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 2．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 则． 令，即，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 单调递减区间为，单调递增区间为． （2）． 设， 则在恒成立等价于在恒成立． ， 又，，，当且仅当时等号成立， 当时，． ①当，即时，， 在上单调递增，又， ，满足在上恒成立． ②当，即时， 令，则． ，，， 则，在上单调递增. 又，当时，， 存在，使得，即， 当时，，单调递减，则， 不满足在上恒成立． 综上，a的取值范围为． 3．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域为， ，令， 则，故即在上单调递增， 又时，时， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）证明：当时，， 令，则 ， 令，， 在单调递增，又， ，使得，且是在上的唯一零点， 在上为负，在上为正， 故在处取到极小值，也就是最小值. ，即，， ， 当时，. 4．已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，函数，且， 可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 当时，， 综上可得，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，无单调递减区间. （2）解：函数，定义域为， 若对于任意时，恒成立，即， 可得在上恒成立， 令，可得， 当时，由，可得， 当时，可得， 当时，由，可得， 综上，当时，，所以在上单调递减， 当时，由，此时，所以 因为在上恒成立，即，所以， 经验证： 当时，，可得， 当时，由，可得，单调递减； 当时，由，可得，单调递增， 所以在处取得最小值，且， 此时对于任意，，满足题意； 当时，当时，， 则存在充分接近的，使得，即， 即，此时不满足恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. 5．已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， ， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. （2）由题意可得 不妨设，则 先证明当时，有，设， 则，所以在单调递减， ＝0，即当，有， 于是有 所以，故有，又，且不能同时取到等号， 故，从而. 题型02 函数图象与导函数图象的关系 6．函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】当时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当时，曲线的切线斜率小于0且越来越大. 故选：D 7．已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则单调递减，图像可知，， 若，则单调递增，由图像可知， 故不等式的解集为． 故选：C 8．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以； 应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以； 因为有两根且互为相反数，所以. 综上：. 故选：B． 9．已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【详解】如图，不妨令上面的曲线为，与的轴交点横坐标分别为，， 下面的曲线为，与的轴交点横坐标为， 由的图象可知，当时函数值小于，当时函数值大于，且的图象从左至右呈上升趋势； 由的图象可知，当时函数值小于，当或时函数值大于，且的图象从左至右呈先下降，后上升趋势； 又这两个函数图象为函数及其导函数的图象， 所以对应的是，对应的是； 所以当时，单调递减，且， 当时，单调递增，且当时，当时； 对于A、B：由，所以， 显然，当时，所以，则在上单调递减， 当时，所以，则在上单调递增，故A、B错误； 对于C、D：，则， 显然，且当时，即， 所以，所以在区间上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 10．设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据图象由函数的单调性知：当时，；当时，； 又因为时，；当时，，当时，， 所以可知的解集为． 故选：D. 题型03 已知函数在区间上单调求参数 11．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 12．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 13．已知函数是上的增函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则，即，则， 设，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即的最小值是. 故选：B. 14．已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，求导得， 由函数在区间上单调，得，或， ①，，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 于是，因此； ②，，由①得， 所以的取值范围为. 故选：B 15．已知函数． (1)若为增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：函数有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题设 ， 若为增函数，则，， 即对任意恒成立，即恒成立． 令，， 令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即的取值范围是； （2）令，可得，令 ， 所以， 设 且，则， 当时，当时， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 所以，在上单调递增， 取，且，则， 取，且，则， 所以在区间存在唯一零点， 所以有且仅有一个零点. 题型04 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数 16．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 17．函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是______. 【答案】 【详解】函数求导， 因为在区间上不单调，所以在区间内有零点. 又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根. ，因为，， 所以. 故答案为： 18．若函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是______． 【答案】3 【详解】解：因为函数， 所以， 令，得， 因为，且， 所以， 当时，，则单调递增， 当时，当时，； 当时，， 所以不单调递增， 所以正整数的最小值是3， 故答案为：3 19．已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. （2）由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. （3）由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 20．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 题型05 利用单调性比较大小 21．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 22．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意设函数， 则，，， 又因为（）， 令，得， 所以当时，，单调递减， 又因为，且都在递减区间， 所以，即. 23．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以为偶函数， 当时，则，所以. 令，则， 令，解得；令0，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，可得，即在上恒成立，故在上单调递增. 令，则，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 又，所以，即， 所以，所以，即. 故选：D. 24．已知定义在R上的函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为， 所以为偶函数． ， 因为当时，，，此时， 所以在上单调递增． 因为，，， 因为，，， 所以，所以， 即． 故选：A． 25．已知，试比较的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 当时，，单调递减， 所以有， 因为， 所以， 设， 设， 当时，，函数单调递减， 因为， 所以， 因为函数是正实数集上的增函数， 故， 即，所以， 故选：C 【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题的关键. 题型06 利用单调性解不等式 26．已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 27．已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 28．已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知在上单调递增， 的导函数，当且仅当时，等号成立， 所以在上单调递增， 因此在上单调递增， 又，所以的图象关于点中心对称， 若，则，即，解得， 故选：C 29．设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】因为 所以 由于 ，则 恒成立，因此： 当 时，，故 ， 在 上单调递减， 当 时，，故 ， 在 上单调递增， 函数在 处取得最小值，图象关于直线 对称，且开口向上， 由函数性质可知：若，则， 令 ，，代入得：， 即：，所以， 化简得，所以. 所以 的取值范围为. 30．已知函数，若对任意，，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】设，， 由知函数是奇函数， ∵ ∴可化为 ∴ 又 所以在上单调递增， ∴在上恒成立， ∴在上恒成立， 令，，则 所以在上递减，在上递增，所以 所以. 故答案为： 题型07 含参单调性讨论（一次型） 31．已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2) 【分析】 【详解】（1），的定义域为，， 当时，，在单调递增； 当时，令，则；令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）原不等式等价于， ①当时，当时，，， 所以，不合题意； ②当时，原不等式等价于， 等价于 令 则，令，， 注意到：，， 当时，，在单调递减， 所以， 所以在单调递增，所以，不合题意； 当时，，， 所以在单调递减，所以，符合题意； 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以在单调递减，所以，符合题意； 当时，令，则， 所以，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增， 所以，不合题意． 综上所述， 32．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递减， 当时，令，，是增函数， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递减，不合题意， 当时，恒成立， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为. 33．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，求函数的极值点的个数； (3)若存在，且，，证明：. 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：定义域为， ， 当时，恒成立， 当时，时，， 时，， 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 上单调递增； （2）因为， 所以， 由，得，所以在上单调递增， 又，所以时，时，， 又恒成立， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故存在唯一的极小值点，即极值点的个数为； （3）由题得， 即， 由(2)知，在上单调递增， 不妨设，则，即， 所以， 即， 下面证明， 即证明， 令，即证，即证， 令， 则， 所以在上单调递减， 即，即， 所以，即， 所以． 34．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）的定义域为． ①时，，此时在上单调递减； ②时，令得，令得， 此时在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知时，，整理得． 令，则，当且仅当即时取等号， 故在上单调递增，又，所以的取值范围为． 35．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. (3)若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，， 则，，所以切线方程为，化简得. （2）由可得，则，即函数定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，即，解得，因为定义域为， 所以，由，可得, 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述： 当时， 在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）可知当时函数无极值点，当时函数在处有极大值， 可得，代入得，化简得， 令，则， 因为，所以，在上单调递增， 因为，所以解得， 所以实数的取值范围是. 题型08 含参单调性讨论（二次型可因式分解） 36．已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时：在上单调递增。当时：在上单调递减；在上单调递增； (3) 【分析】 【详解】（1）由解得， 则，求导得：， 则，由点斜式得切线方程：， 整理得：； （2）求导得：， 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当，即时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当时：，故在上单调递增。 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； （3）已知，由(2)结论：在上单调递减；在上单调递增； 故最小值为，要使恒成立，只需， 则， 解得,即正数a的取值范围是. 37．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 38．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】 【详解】（1）由，， 则， ①当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 由（1）知，函数在上单调递减， 而，，则时，， 对任意，存在，使， 即等价于恒成立，即， 所以对任意恒成立． 设，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即实数的取值范围为． 39．已知． (1)讨论的单调性； (2)当时，在最大值为10，最小值为0，求此时a，b的值． 【答案】(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减 (2) 【分析】 【详解】（1）， 当时，令，所以函数在上单调递增， 令，所以函数在上单调递减； 当时，令，或，所以函数在和上单调递增， 令，所以函数在上单调递减； 当时，令，所以函数在上单调递增； 令，或，所以函数在和上单调递减， 综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； （2）由（1）可知：当时，函数在上单调递增， 所以当时，函数单调递增， 所以有，解得. 题型09 含参单调性讨论（二次型不可因式分解） 40．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）， 当，即时，恒成立，此时在单调递增， 当，即时，，得或， ，解得或， ，解得， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数在单调递增， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， （2）由条件可知，得， 当时，，得或 当或时，，当时，， 当的单调性如下表， 3 单调递减 单调递增 若方程在区间上有两个不同的实数根， 则与在区间有2个交点，所以. 41．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）， ①当时，恒成立，故在上递增； ②当时，在上递增，在上递减； ③当时，在上递减． （2）因为在定义域内单调递减，所以． 不妨设，那么有， 于是不等式等价于，， 设，则，即在上递减， 故对恒成立，也即对恒成立， 令，则，故， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 42．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 43．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），， 对于方程， 当，即时，， 函数在上单调递减； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ，且， 当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，当时，，即当时，. ，， 即，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 累加可得，， 即， 所以. 44．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， ①当时，，， 所以函数在上单调递减． ②当时，，， 所以函数在，上单调递减， 在上单调递增． （2）由（1）可知当时，函数存在两个极值点，， 且满足，， 所以 ， 令，所以， ，所以在单调递增， ，所以的最大值为． 重难·创新演练 设题创新:有些题目依托各种新定义包装单调性问题，创新考查构造函数、图像转化、存在性与恒成立结合、奇偶性+单调性综合判断，突出知识迁移、逻辑推理与数形结合能力。 1．【新情境】（2026·河南·模拟预测）我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”．下列有关的结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得满足，据此逐一分析选项： 对A，B选项：由，两边取自然对数得：， 所以，因此A、B均错误； 对C，D选项：构造函数，求导得， 当时，，故函数在上单调递增，函数有唯一零点为. ，， 所以，由零点存在定理，故，故C正确，D错误. 2．【新考法】（2026·河北·二模）若函数在区间上单调递减，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 所以当时，， 即； 当时，， 即， 所以； 当时，， 当时，，正好是正弦函数的单调递减区间， 所以符合题意； 综上，. 3．【新情境】（2026·浙江金华·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（   ） A．（不超过x的最大整数） B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，若，则对于任意的，都有， 由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间， 故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项B，若，​ 因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为， 所以函数为减函数，函数的值域为， 因此在上单调递增，且函数的值域为， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项C，若， 则恒成立，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 由得， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项D，若 则， 当时，，，故 当时，，，故， 所以对于任意的，，故函数在上单调递增， 假设存在两条平行直线， ​和，则对任意需要​， 但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾， 故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件， 因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数. 4．【新角度】（2026·江苏南京·一模）已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ∵存在，对于任意都有， ∴在左侧附近，函数小于0. ， ， ①当时，， ∴存在，对于任意都有，，函数单调递增， ∴当时，，满足题意. ②当时，， ， ∴当时，，函数单调递减， ∴不存在，对于任意都有， ③当时，， ∴存在，对于任意都有，函数单调递减， ∴当时，，不满足题意. 综上所述，实数的取值范围是. 5．【新考法】（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】A 【详解】， 的定义域为， ， 是偶函数， 当时，， 当时，， ， ， ， ， ， ， 在上是单调递增函数. 6．【新角度】（2026·河北·一模）已知正数x，y，z满足 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 则，令函数， 当时，求导得，函数在上单调递减， 因此，而，则， 所以. 故选：B 7．【新角度】（2025·26高二下·黑龙江·期中）（多选）已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】CD 【详解】令函数，求导得，由， 得，即函数在定义域上单调递增，由，得， 不等式，即，解得， 所以所求的值可能为1，2. 8．【新角度】（2025·26高三上·河南信阳·期末）（多选）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令函数，求导得，函数在上递增， 当时，，由，得， 不等式，则， 对于A，，则，A正确； 对于B，，，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由函数在上不单调，得由不能推出，D错误. 故选：AC 真题·实战演练 高频考点：导数单调性、含参讨论、单调区间求解、已知单调求参数、存在与不单调问题、构造函数解不等式、利用单调性比较大小；近三年以选择填空与解答第一问为主，侧重基础与中档综合，突出含参、构造、恒成立三大热点。 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 2．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 5．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： 当时，， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $