专题05 轴对称的性质（期末复习专项训练+5大题型）七年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 以轴对称性质为核心，通过6大题型构建从基础性质到综合应用的递进训练体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求解|5题|结合生活情境考查对称点、对称轴性质|以轴对称基本性质为起点，建立概念认知| |折叠问题|5题|多步骤折叠与角度计算，含探究性设问|性质应用延伸，强化空间观念与动态思维| |等腰三角形|5题|三线合一、分类讨论等腰三角形存在性|轴对称图形具象化，连接性质与特殊图形| |垂直平分线|5题|垂直平分线性质与作图应用，结合中点|从图形性质到判定，深化对称线段关系| |角平分线|5题|角平分线性质与面积、距离综合|完善轴对称图形要素，构建角与线段关联| |最短路径|5题|利用轴对称转化路径，结合网格作图|性质高阶应用，培养模型意识与创新思维|

专题05 轴对称的性质 题型1 根据轴对称的性质求解（常考点） 题型4轴对称图形之垂直平分线（重点） 题型2 折叠问题（重点） 题型5 轴对称图形之角平分线（重点） 题型3 轴对称图形之等腰三角形（重点） 题型6 最短路径问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据轴对称的性质求解（共5小题） 1．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点D，E分别在边上，点A与点B关于直线成轴对称，若，的周长是25，下列结论中错误的是（   ） A．的周长为15 B． C． D．是轴对称图形 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，轴对称图形的识别，由三角形周长计算公式可得，由轴对称图形的性质可得，则可证明的周长，根据现有条件无法证明是轴对称图形，据此可得答案． 【详解】解：∵的周长是25， ∴， ∵， ∴； 由轴对称图形的性质可得， ∴的周长， 根据现有条件无法证明是轴对称图形， ∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 5．（25-26八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，点分别是轴，轴正半轴上的动点，直线平分第一象限，点关于直线的对称点为，连接，线段与的交点为，给出如下结论： ①点必在直线上； ②； ③点是直线上一动点，必有； ④线段的长度一定小于线段的长度． 以上结论正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点． 证明，然后即可证明，即可判断②；证明，则，即可判断①；由两点之间线段最短即可判断③；当时，由轴对称的性质得到，即可判断④． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴ ∴ ∵直线平分第一象限， ∴点必在直线上，故①正确； 点是直线上一动点，必有，故③错误； 当时，由对称可得， 则点与点B重合，点与点重合，则，故④错误， ∴正确的有①②， 故选：A． 题型二 折叠问题（共5小题） 6．（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 7．（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得，． 8．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图1，将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，将另一角沿折叠，点落在射线上的处．求的度数． (3)如图3，将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部．若，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的定义． （1）根据折叠的性质得到，根据平角的定义计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义得到，即可求出的度数； （3）设，则，根据折叠的性质得到，根据平角的定义得到，即． 【详解】（1）解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，， ∴， ∴； （2）解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，将另一角沿折叠，点落在射线上的处， ∴，， ∵， ∴ ； （3）解：，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部， ∴， ∵， ∴， 即． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）综合与实践． 【课本回顾】如图①是七年级上册课本第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕上一点，此时与重合，所以，再将纸片铺平，可知射线是的平分线． 【问题情境】将一张长方形纸片折叠，为折痕，点落在点处，平分． 【综合应用】 (1)如图②，若与重合，求的度数； (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，请直接写出的度数（用含的代数式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了翻折变换及其应用问题，与角平分线有关的计算．灵活运用翻折变换的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及平角的定义解答即可； （2）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可； （3）根据折叠的性质可得，用的代数式分别表示出和，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·吉林·期末）活动探究：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图，若，则 ． (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，点落在点，点落在点，连接． 如图，当点在上时，，则 ． 请你判断与的数量关系，并计算说明理由． 如图，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数是 ． 【答案】(1)； (2)；，理由见解析；． 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （）由折叠得出，即可得出结论； （）由折叠得出，，再由点落在上，得出，即可得出结论； 同的方法求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，， 故答案为：； （2）解：，理由， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， 当时，， 故答案为：； 由折叠知，，， ∵，， ∴，， ∴，即的度数为， 故答案为：． 题型三 轴对称图形之等腰三角形（共5小题） 11．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 先根据平角的性质，求出，再根据等边对等角求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的内角和为， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 13．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 15．（23-24八年级上·吉林延边·期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 【答案】；； 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， ①根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； ②由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； ③由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 故答案为：． ②，，、分别为和的中线， ，， ， ； ③∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 题型四 轴对称图形之垂直平分线（共5小题） 16．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 18．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 19．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题： (1)你认为与有什么关系？请说明理由． (2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？ 【答案】(1)垂直平分线段，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质； （1）由，由作图可得：，从而可得答案； （2）根据是线段的垂直平分线可得答案. 【详解】（1）解：垂直平分线段，理由如下： ∵，由作图可得：， ∴是线段的垂直平分线； ∴垂直平分线段； （2）解：，理由如下： 由（1）得：是线段的垂直平分线；点P是直线上的任意一点， ∴. 20．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为等腰三角形，见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． 【详解】（1）证：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中 ， ； （2）证明：， ， D为的中点， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， ， ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形． 题型五 轴对称图形之角平分线（共5小题） 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 22．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为：8． 23．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． (1)请判定与是否相等？为什么？ (2)与互补吗？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)与互补，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键。 （1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，则可证明． （2）由全等三角形的性质可得，由平角的定义可得，则，即与互补． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：与互补，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，即与互补． 24．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 题型六 最短路径问题（共5小题） 26．（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键． 作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小． 【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧， ∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M， 由对称性可知， 此时，最小， 故选：D． 27．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 28．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 29．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，点P即为所求． 30．（17-18七年级上·山东泰安·期末）如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求； （2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求． （3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求． $扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05轴对称的性质 题型归纳·内容导航 题型1根据轴对称的性质求解（常考点） 题型4轴对称图形之垂直平分线（重点) 题型2折叠问题（重点） 题型5轴对称图形之角平分线（重点） 题型3轴对称图形之等腰三角形（重点） 题型6最短路径问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一根据轴对称的性质求解（共5小题） 1.(25-26八年级上河北衡水·期末)木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代.如 图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线I对称，点O在直线1上，点A和点D为对称点， 点B和点C为对称点，若∠AOD=150°，∠B0C=30°，则∠A0B的度数为() A.30° B.40° C.50° D.60° 2.(23-24七年级下山西晋中.期末)如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线0F是 其对称轴.下列结论不正确的是（) 0 B 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.BC=B'C' B.∠D=∠D C.0F平分LAOA D.BB'垂直平分OF 3.(24-25七年级上全国·期末)如图，ABC与aA'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点(P不与 AA'共线)，下列结论中错误的是() M A.△AA'P是等腰三角形 B.MN垂直平分AA' C.ABC与△A'B'C'的面积相等 D.直线AB,AB的交点不一定在MN上 4.(24-25七年级下陕西宝鸡期末)如图，在ABC中，AC>BC,点D,E分别在边AB,AC上，点A 与点B关于直线DE成轴对称，若AB=10,ABC的周长是25，下列结论中错误的是() D A.△BCE的周长为15 B.∠AED=∠BED C.AD=BD D.ABC是轴对称图形 5.(25-26八年级上北京丰台期末)在平面直角坐标系x0y中，点A,B分别是x轴，y轴正半轴上的动点， 直线I平分第一象限，点AB关于直线1的对称点为A,B,连接AB,AB,线段AB与AB的交点为M,给 出如下结论： B M O A B ①点M必在直线1上； ②△B'AM≌△BA'M; ③点P是直线I上一动点，必有PA+PB>MA+MB; 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ④线段AA的长度一定小于线段BB'的长度， 以上结论正确的是() A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④ 题型二折叠问题（共5小题） 6.(25-26七年级上·上海普陀·期末)美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏.如图，将长方形卡 纸ABCD(AB<AD沿折痕BD折叠，点C落在了点C处，BC'交AD于点N. D (1)如果∠CBD=20°，那么∠ABC'=-°； (②)点E为线段AN上一点，将三角形ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点A处，如果LCBD=a,请 用的代数式表示∠CBE; (3)将三角形ABN沿BN折叠，点A落在点A处，当∠DBA2=9°时，求出LCBD的度数， 7.(25-26七年级上广东梅州期末)阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线， 折叠 OC为折狼 B OA与OB重合 A(B) 图1 D b A B B B 图2 图3 图4 (1)如图1，若LA0B=56°，则LB0C=_° (②)折叠长方形纸片，BC,BD均为折痕，折叠后，点A落在点A,点E落在点E. ①如图2，当点E在BA'上时，求∠CBD的度数： ②如图3，若∠A'BE'=42°，求∠CBD的度数： ③如图4，若∠A'CB=30°，LA'BE'=n°，则DBE的度数为_°（用含n的式子表示）· 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26七年级上·云南昆明·期末)如图1，将一张长方形纸片沿EF折叠，使角的顶点B,C落在B',C'处. D D B G B G B E E E B 图1 图2 图3 (1)如图1，若LB'EF=70°，求∠AEB的度数 (②)如图2，将另一角LAEB沿EG折叠，点A落在射线EB'上的A处.求LFEG的度数， (3)如图3，将∠FEB'对折，点F落在射线EB'上的F处，得到折痕EH·再沿EG折叠，使点A落在A处， 点A在B'EH的内部.若∠A'EB'=a,∠FEG=B,试探究a与B之间的数量关系，并说明理由. 9.(25-26七年级上·河南驻马店·期末)综合与实践. 【课本回顾】如图①是七年级上册课本第175页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，M是折痕上一点， 此时∠PQM与∠ROM重合，所以∠PQM=∠RQM,再将纸片铺平，可知射线QM是∠POR的平分线. ① ② ③ ④ 【问题情境】将一张长方形纸片ABCD折叠，EF为折痕，点A落在点G处，EH平分∠FEB. 【综合应用】 (I)如图②，若EG与EH重合，求∠FEH的度数； (2)如图③，若∠FEG=34°，求∠GEH的度数； (3)如图④，若∠FEG=a(60°<a<90),请直接写出∠GEH的度数（用含a的代数式） 10.(25-26七年级上·吉林·期末)活动探究：利用折纸可以作出角平分线. 4/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A 折叠 OC为折痕， B OA与OB重合 A(B) B 图1 D B B 图2 图3 (1)如图1，若∠A0B=58°，则LB0C=_. (②)折叠长方形纸片，OC,OD均是折痕，点A落在点，点B落在点B,连接OA'. ①如图2，当点B在0A'上时，∠A0C=32°，则∠B0D=_°. 请你判断∠AOC与∠BOD的数量关系，并计算说明理由， ②如图3，当点B在∠C0A'的内部时，连接0B',若∠A0C=46°，∠B0D=59°，直接写出∠A'0B'的度数 是_° 题型三轴对称图形之等腰三角形（共5小题） 11.(25-26八年级上山东聊城期末)如图，ABC为等腰三角形，AB=AC,点D是BC延长线上的一 点，∠ACD=110°，则∠A的度数为。 D 12.(25-26八年级上·河南新乡·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=50°，点D在线段BC上运动（不 与点B,C重合)，当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为 B D 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.(25-26八年级上·安微芜湖期末)如图，在ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=66°，求∠B和∠C的 度数 B D 14.(25-26八年级上，甘肃期末)如图，在ABC中，AB=AC,D为BC中点，连接AD· (I)求证：AD⊥BC; (2)若BC=10cm,AD=12cm,求ABC的面积. 15.(23-24八年级上·吉林延边·期末)【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要.如图①，在 ABC中，AB=AC,AD是中线，若∠C=58°，则∠BAD的度数为： 【数学应用】如图②，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,AD、AG分别为ABC和△AEF的中 线，若∠BAF=110°，∠CAE=24°，求∠DAG的度数； 【拓展】如图③，在ABC和△ABE中，AB=AC,AB=AE,AD、AF分别为ABC和△ABE的中线， AD与BE交于点O,若∠AOF=69°，则∠CAE的度数为 D C 图① 图② 图③ 题型四轴对称图形之垂直平分线（共5小题） 16.(25-26八年级上黑龙江佳木斯·期末)如图，在ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC、 AB于点E、F,过点A作AD⊥BC于点D,且D为线段CE的中点，若ABC的周长为26，AF=5,则 BD的长为 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 17.(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，ABC中，∠BAC=114°，点D是BC上一点，BD的垂直平 分线交AB于点E,将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠C度数为， E 18.(25-26八年级上·内蒙古赤峰期末)如图，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D M D (I)求∠DBC的度数； (2)若AB=30cm,BC=18cm,求△DBC的周长. 19.(24-25七年级下·陕西宝鸡期末)己知，在ABC中，AB=AC,如图①，分别以点B和点C为圆心， 以大于BC的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D,连接BD,CD,作直线AD交BC于点E.请 解答下列问题： E D D 图① 图② (I)你认为AE与BC有什么关系？请说明理由. (②)如图②，若点P是直线AD上的任意一点，PB与PC有什么关系？为什么？ 20.(24-25七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点， DE⊥AB,垂足为E,过点B作BG∥AC交DE的延长线于点G,连接CG,交AD于点F. 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G (I)求证：△DBE≌AGBE: (2)求证：AD⊥CF; (3)连接AG,判断aACG的形状，并说明理由. 题型五轴对称图形之角平分线（共5小题） 21.(25-26七年级下·全国.单元测试)如图，AB∥CD,BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E ,且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE,若AD=8,则PE的最小值为 B 0 22.(25-26八年级上湖北荆州期末)如图，在ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是△ABD的中 线，若ABC的面积是28，AB=8,AC=6,则△ABE的面积是 23. (24-25七年级下陕西期末)如图，在ABC中，DG垂直平分BC,连接BD,CD,延长BD交AC 的延长线于点F,∠F=90°，过点D作DE⊥AB于点E,∠CDF=∠BDE. (I)请判定DF与DE是否相等？为什么？ (2)LACD与∠ABD互补吗？请说明理由， 8/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.(25-26八年级上浙江金华.期末)如图，已知四边形ABDC的面积为16，AD平分 ∠BAC,AB+AC=10. D (I)求点D到AC的距离DE的长； (2)若∠C+∠B=180°，求证：BD=DC. 25.(25-26八年级上河北衡水期末)如图，在ABC中，∠A=90°，P为边BC上的一点，D为BP的中 点，E为CP的中点，过点D作DF⊥BP交AB于点F,过点E作EG⊥CP交AC于点G, G B D P (1)求∠FPG的度数. (2)如图，连接FG,若FG∥BC,求证：AG=PG. 题型六最短路径问题（共5小题） 26.(25-26八年级上广东中山期末)如图，点P,Q在直线1的同一侧，现需在1上找一点M,使得 PM+MQ的和最小，下列做法正确的是() P. P D N 'M 27.(24-25八年级上广东东莞期末)如图，在4×4的正方形网格中，直线a外，有A,B两点.在直线a 上求一点P,使PA+PB最短，则点P的位置应选在点处，（填图中的字母） 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 0 28.(25-26八年级上·福建厦门期末)如图为某工厂厂区示意图，办公大楼A在工厂主干道MN上，车间 B,C与办公大楼A的距离皆为akm,且∠BAN=42°，∠CAN=18°.在主干道MN上选址仓库D,从仓 库D到车间B,C修建厂区支路BD,CD,使得支路总长最短，测得仓库D与办公大楼A距离为bkm,己 修建的支路CD长为ckm(c<b<a),还需修建的支路BD的长度用代数式可以表示为 km. B MA D N 29.(24-25七年级下.宁夏银川期末)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、 C在小正方形的顶点上. B A M (I)在图中画出与ABC关于直线MN成轴对称的△DEF; (2)在直线MN上找一点P,使PB+PC的长最短 30.(17-18七年级上山东泰安期末)如图，在所给的网格图中，完成下列各题 E 10/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)画出格点ABC关于直线DE的对称的△A,B,C,; (2)在DE上画出点P,使PA+PC最小； (3)在DE上画出点Q,使QA-QB最大. 11/11