专题04 三角形全等的基本模型（期末复习专项训练+4大题型）七年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦全等三角形四大核心模型，以“模型识别-辅助线构造-全等推理”为主线，系统提炼解题方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截长补短模型|4题|延长线段构造全等，解决线段和差关系|基于全等判定（SAS/SSS），从静态图形到实际应用问题延伸| |倍长中线模型|4题|延长中线至两倍构造全等，转化线段与角|结合中点性质，从基础取值范围到复杂图形翻折拓展| |一线三等角模型|4题|利用等角条件证全等，建立线段等量关系|从直角到一般角，从固定位置到动态运动情境深化| |手拉手模型|4题|旋转背景下证全等，探究线段数量与位置关系|基于等腰三角形性质，从静态摆放至旋转变化递进|

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角形全等的基本模型 题型归纳·内容导航 题型1全等三角形模型之截长补短模型（难点） 题型3全等三角形模型之一线三等角模型（难点) 题型2全等三角形模型之倍长中线模型（难点） 题型4全等三角形模型之手拉手模型（难点） 题型通关·靶向提分 题型一全等三角形模型之截长补短模型（共4小题） 1.(25-26八年级上·陕西商洛·期末)【问题探究】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠D=180°，点F在CB上，点E在CB的延长线上， 连接AP、AE,∠E4F-BD,点G在DC上，且DG=BE,连接4G,试说明∠EAF=∠GAF: D 图1 【问题解决】 (2)如图2，四边形ABCD是某小区一块空地，经测量，AB=BC,∠BAD+∠BCD=I80°，小区物业现计 划对这块空地及其周边进行重新规划，在DA、DC的延长线上分别取点P、Q,沿BP、BQ修建两条灌溉 水渠，并在△PBQ内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足PQ=AP+CQ,请你求出∠PBQ与∠ABC之 间的数量关系，并说明理由。 图2 2.(25-26八年级上·陕西延安·期末)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可 以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题， 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习.如图，在四 1/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. G B E R D 图① 图② (Q)如图O,若LABC=∠ADC=90,E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠EAF=∠BAD,试探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG ，请你帮该数学小组完成解题过程； (②)如图②，若LABC+LADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 3.(25-26八年级上湖北孝感期末)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,B=∠ADC=90°，E、 F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD,试探究图中∠BAD与∠EAF的数量关系. 小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明aAEF≌aAGF，可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°.E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,试探究∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠C=72°，∠ABC+LADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，且满足EF=BE+FD,试求∠EAF的度数. G 、D D D F 4 B E B E 图1 图2 图3 4.(24-25七年级下·江西抚州期末)【初步探索】 (1)如图I:在四边形ABCD中，AB=AD,LB=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD,∠EAF之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°，E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由. 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=68°，请求∠EAF的度数. G D B E 图1 图2 图3 题型二全等三角形模型之倍长中线模型（共4小题） 5.(25-26八年级上陕西商洛期末)(1)问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如 图①，AD是ABC的中线，若AB=7,AC=5,求BC长和AD长的取值范围.他们利用所学知识很快计 算出了BC长的取值范围为—； (2)方法探究：但是他们怎么也算不出AD长的取值范围，经小组讨论后发现：延长AD至点E,使 DE=AD，连接BE,如图①.可证出△ACD≌△EBD,利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化 到aABE中，进而求出AD长的取值范围，请写出解答过程； (3)方法应用：如图②，在ABC中，点E在BC上，且DE=DC,过点E作EF‖AB,交AD于点F, 且EF=AC,求证：AD平分∠BAC. B B D 图① 图② 6.(25-26八年级上·山东滨州期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一 个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究.古希腊数学家欧几里得《几何原本》 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础.数学文献中，倍长中线作为标准术 语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧. D 图1 图2 图3 (1)【问题背景】 如图1，ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是 (②)【变式思考】 如图2，ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,AB=AE, AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF,求证：EF=2AD; (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,将△ABD沿着AB翻折，点D的对应点为H, ∠BAC+∠BAD=I80°，点F是BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 7.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其 中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】△ABC 如图1，△ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是 B 图1 (2)【变式思考】 如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰 RIAACF,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF.求证：EF=2AD; 4/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图2 (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC的中点， ∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长， E B F 图3 8.(25-26八年级上江西赣州期末)【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①， AB=5,AC=3,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD;②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③ 利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是_； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形。 【问题拓展】 (2)如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC,BD,E是AC的中点，求证： OEBD (3)如图③，在(2)的条件下，若∠A0B=90°，延长EO交BD于点F,0F=2,OE=5,求 △AOC的面积. 5/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图① 图② 图③ 题型三全等三角形模型之一线三等角模型（共4小题） 9.（25-26八年级上湖北随州期末)数学教材中有这样一道习题：“如图1， ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.” 在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解. D H G 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D, BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE: 【拓展应用】 (2)如图3，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC, 连DC交OB延长线于点E,猜想AO与BE的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以ABC的AB,AC边向外 作等腰RtABAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H, 若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 10.(24-25八年级上·吉林期末)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线1经过点C. 6/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (I)当AC=BC时， ①如图1，分别过点A,B作AD⊥直线1于点D,BE⊥直线I于点E,求证：△ACD≌△CBE; ②如图2，过点A作AD⊥直线I于点D,点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线I于点E,连接CF.请 写出线段DE,AD,EF三者之间的数量关系，并说明理由. (②)如图3，当AC=8cm,BC=6cm时，点B与点F关于直线I对称，连接BF,CF,点M从A点出发，以每 秒1cm的速度沿路径A→C运动到终点C;点N以每秒3cm的速度沿路径F→C→B→C→F运动到终点 F.分别过点M,N作MD⊥直线I于点D,NE⊥直线I于点E,点M,N同时开始运动，各自达到相应 的终点时停止运动，设运动时间为t秒.当△MDC与△CEN全等时，直接写出t的值. 11.(24-25七年级下广东清远期末)【问题提出】 (1)如图1，直线1经过点A,LBAC=90°，AB=AC,分别过点B,C向直线1作垂线，垂足分别为D, E.求证：△ABD≌△CAE; B A E 图1 【变式探究】 (2)如图2，点A、D、E分别在直线1上，如果∠CEA=∠BAC=∠ADB,AB=AC,求证： DE=BD+CE; 图2 【拓展应用】 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC, DE,作BC边上的高AG,延长GA交DE于点H.若AH=5,AG=I2,求△DAE的面积. D H A G 图3 12.(24-25七年级下·四川达州期末)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图 (如图2、图3)，即“一线三等角”模型. 买黄实 赵类 赵爽弦图 图1 图2 图3 图4 【探究问题】 (1)如图2，在直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点C正好落在直线1上，分别作BF⊥1于点F, AE⊥I于点E,则线段BF、EF、AE之间的数量关系为 (2)如图3，将(1)中的直线I绕点C转动到与AB相交，其余条件不变.请问(1)中结论是否成立？如 成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. 【解决问题】 (3)如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C,ABC的边上有两个动点D、E,点D以2cm/s的速 度从点A出发，沿AC→CB移动到点B,点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A,两动 点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D、E分别作DM⊥PQ,EN⊥PQ,垂足分别 为点M、N,若AC=12cm,BC=16cm,设运动时间为t,当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、 N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值. 题型四全等三角形模型之手拉手模型（共4小题） 13.(23-24七年级下·贵州毕节·期末)如图，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.点 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D在BC边上，连接CE. 图1 图2 (I)如图1，若∠BAC是锐角，BD=17,则CE= (2)如图2，若∠BAC是直角，试说明：∠B=∠ACE; (3)在(2)的条件下，若点A到BC边的距离为18，求点A到CE的距离. 14.(24-25七年级下·山东济南期末)ABC和aDBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC, BE=BD,∠DBE=∠ABC=90°)的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE; 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE的数量关系和位置关系，并说明理由. D 图(1) 图(2) 15.(24-25七年级上山东济南·期末)在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合）， E是△ABC外一点，连接AD、AE,已知AD=AE,∠DAE=LBAC,连接CE,DE. 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 ①)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=度： (2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由； (③)当点D在线段CB的延长线上时，(2)中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由. 16.(24-25八年级上·甘肃临夏·期末)综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知 识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地. B 图1 图2 【发现问题】 (1)如图1，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,LBAC=∠EAF,连接BE,CF,延长BE交CF 于点D.则BE与CF的数量关系为： 【类比探究】 (2)如图2，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=I20°，连接BE,CF,延长 BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由. 10/10专题04 三角形全等的基本模型 题型1 全等三角形模型之截长补短模型（难点） 题型3 全等三角形模型之一线三等角模型（难点） 题型2 全等三角形模型之倍长中线模型（难点） 题型4 全等三角形模型之手拉手模型（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 全等三角形模型之截长补短模型（共4小题） 1．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，得到，进而推出，角的和差关系求出，即可得证； （2）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、周角为解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 在延长线上找一点，使得，连接， ， 又， ， 在和中，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 2．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 3．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为． （2）如图，延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴． （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接，则， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 4．（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键解决问题的关键． （1）如图1：延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此即可得出结论； （2）如图：延长到点，使，连接，先判定，进而得出，再判定可得出； （3）先根据四边形的内角和以及已知条件可求得的度数，如图3：在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定得出，最后根据，推导得到，即，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵，，， ∴， 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 题型二 全等三角形模型之倍长中线模型（共4小题） 5．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 6．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 题型三 全等三角形模型之一线三等角模型（共4小题） 9．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 10．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 11．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 12．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）不成立，；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论不成立，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 题型四 全等三角形模型之手拉手模型（共4小题） 13．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在和中，．点在边上，连接． (1)如图1，若是锐角，，则___________； (2)如图2，若是直角，试说明：； (3)在（2）的条件下，若点到边的距离为18，求点到的距离． 【答案】(1)17 (2)见解析 (3)18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）证明即可求解； （3）根据全等三角形对应边上的高也相等即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：17； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵点到边的距离为18， ∴中边上的高为18， ∴中边上的高为18，即点到的距离为18． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 16．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． $