七年级数学下学期期末模拟卷01（新教材北师大版）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．共和国勋章获得者袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 2．篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别是“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018 m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 6．如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若一个角的补角的比这个角大，则这个角的度数为______． 12．某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备的违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如表： 试验总次数 200 500 800 1000 1500 2000 精准识别次数 170 432 692 871 1305 1740 精准识别频率 0.850 0.864 0.865 0.871 0.870 0.870 根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率为______．（精确到0.01） 13．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：____________． 14．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 15．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 16．如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：； （2）先化简，后求值，其中． 18．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 19．科技小组成员潜心研制出一款机械手臂．如图1，手臂分为大臂、中臂和小臂三部分，手臂可呈现出多种状态完成不同的工作．图2、图3为其简化示意图．      (1)如图2，若，，则________． (2)如图3，若，，，求的度数． 20．某校购进了40筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育老师经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体情况跟商家反馈如下： 混入次品羽毛球数/个 0 1 2 筒数/筒 32 (1)从40筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则的值为________； (2)在（1）的基础上任意选取一筒，求给出的三种情况的可能性大小的排序（用“”连接）． 21．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 22．在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：在矩形中，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图1，点在上运动时，请直接写出关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)如图2，点在上运动时，请求出关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (3)小邑学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在图3中画出关于的函数图象，请你按照小邑的思路画出图象，并结合函数图象，求出的面积为4时的值． 23．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 24．【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系． 探索思路如下： ， （___________）， 即（___________）， 在与中， ， （___________）， （___________）． (1)请在上面（   ）中填写适当的理由． 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值． 25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.40 12.0.87 13.y=1.4x-12(x>3) 14.19 16.2或3 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 【详解】(1)解：原式=1+9-8=2：2分 (2)解：[(3a+b-(3a+b3a-b)-66]÷(-2b) =[(9a2+6ab+b2）-(9a2-b2）-6b2]÷(-2b) =(9a2+6ab+b2-9a2+b2-6b2）÷(-2b) =(6ab-4b2）÷(-2b) =-3a+2b..4分 6分 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(6分) 【详解】(l)解：△ABC的三边长为a,b,C, ..a+c>b. .a+b+q-b-c-a+la-b+cl =a+b+c-[-(b-c-a)]+a-b+c =a+b+c+(b-c-a)+a-b+c =a+b+c+b-c-a+a-b+c =a+b+C:3分 (2)a2+b2-6a-14b+58=0 即a2-6a+9+b2-14b+49=0, :a-3y+(b-7}=0 .a-3=0,b-7=0 解得：a=3,b=7, 设第三条边长为C, .7-3<c<7+3, 即4<c<10, ,a,b为等腰△ABC的边长， .c=b=7, .△ABC的周长为a+b+C=7+7+3=17.6分 19.(6分) 【详解】(1)解：∠B=150°，CD∥AB, .∠C=180°-∠B=180°-150°=30°：.2分 (2)解：如图，过点B作BF‖AE,则BF∥CD, AB⊥AE, .∠BAE=90°， 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF∥AE, ∴.∠ABF=180°-∠BAE=90°， ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=140°-90°=50°， .BF∥CD .∴.∠C=180°-∠CBF=130. C D B2--------…F .6分 20.(6分) 【详解】(1)解：①油题中描述可知，“筒中没有混入次品羽毛球”是随机事件；1分 1 ②·“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为8， :1 408,解得m=5? 则n=40-32-5=3;3分 解：由题意得p(筒中没有混入次品羽毛球)= =0.8」 5=0.125 p(筒中混入1个次品羽毛球)=4 p(筒中混入2个次品羽毛球)=40 =0.075 0.8>0.125>0.075」 ·选到筒中没有混入次品羽毛球的可能性>选到筒中混入1个次品羽毛球的可能性>选到筒中混入2个次品 羽毛球的可能性.6分 21.(8分) 【详解】()解：①观察图3，大正方形的面积可表示为a+b,小正方形的面积可表示为(a-b):2 分 ②(a+b与a-b之间的关系：(a+b=(a-b矿+4ab,3分 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①∵x-y=-7, :（x-y旷=49，即2+y-2y=49 +y2=25 .25-2xy=49 y=-12;4分 ②m-n=3, :(m-0=9,即m2-2mm+n2=9, .mn=12, m2-2×12+n2=9, .m2+n2=33;5分 (3)解：①设5-t=a,t-2=b,则ab=2,a+b=5-t+t-2=3, a+b2=(a+b}-2ab=32-2×2=9-4=5 :6-+-2y=5:n6分 ②设FM=x,CF=y, 由题意得CD=x+4,BC=y+12,y=48 ,正方形ABCD, .CD=BC, .x+4=y+12,即x-y=8, (6x+y=(x-y}+4xy=82+4×48=256 .x+y>0, .x+y=16 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-=(x+y0x-)=16x8=128 ∴.阴影部分的面积为128.8分 22.(8分) 1 【详解】（解：当点E在BC上运动时，y=2×4r=2x,0<x≤3；…2分 (2)解：在R△ABC中，AC=VAB+BC=V32+4=5 :.AE=8-x, 过B作BH⊥AC, D C H B 1 由ABBC=)AC·BH,得2×4x3=1 2X5BH 解得BH=2 12486 六y=2×8-*5写亏，x的取值范围3<x<8:5分 (3)解：如图所示， 9 7 6 5 o1123456789x I.当E在BC上，2x=4,则x=2 486 14 Ⅱ.当E在4C上，55x=4,则x= 3 14 综上，x的值为2或3：…8分 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(8分) 【详解】解：(1)正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得CA=CA', 所以当点B,C,A'三点共线时，CA+CB=CA+CB=AB 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短；2分 (2)过点A作直线m的对称点A',连接A'B与直线m的交点即为△ABP周长的最小值的点P, m B 由对称轴的性质可得，BP=CP,AP=AP .'BP+A'P=CP+AP. .'A'B=AC, ∴.△ABP的周长最小值为AB+BP+AP=AB+BP+AP=AB+AB=AB+AC=5+6=I1, 故答案为：11；5分 (3)①如图，PC+CD+DP最短， P2 B P 过点P分别作 OA,OB 月片，达接3与010 C,D 的对称点 交点即为点 P,C=PC,DP=DP 则 PC+CD+DP=PC+CD+PD=PP ②如图： 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x6 X5 P 因为∠1+∠4+∠AOB=180°， 所以∠1+∠4=180°-55°=125°， 由轴对称的性质可得∠2=∠3， 因为∠1=∠2， 所以∠1=∠2=∠3， 所以∠7=180°-∠1-∠3=180°-2∠1， 同理可得∠8=180°-2∠4. ∠CPD=180°-（∠7+∠8）=180°-(（180°-2∠1+180°-2∠4)=2（∠1+∠4）-180°=2×125°-180°=70° 故答 案为：70.8分 24.(12分) 【详解】(1)解：∠BAC=∠DAE, .∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC'(等式性质)， 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :.△ABD≌△ACE(SAS), BD=CE(全等三角形的对应边相等)，4分 (2)解：BD=CE,BD⊥CE」 延长BD与CE交于点H, :△ABC和△ADE为等腰直角三角形， ∴AB=ACAD=AE∠BAC=∠DAE=90°∠ABC=∠ACB=45° 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE」 .△ABD≌△ACE(SAS), ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE」 .:,∠HBC+∠BCH=∠HBC+∠ACB+∠ACE =∠HBC+∠ACB+∠ABD =∠ACB+∠ABC =45°+45° =90°， 即BD⊥CE. A E D H.8分 B (3)解：以AB为边向右上方作等边三角形ABE,延长AM,EB交于点F,连接CE, :点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6， 4Dx1=39 AD=7.2 :△ABE和△BCD都是等边三角形， ∴BE=BA,BC=BD,∠EBA=∠CBD=60°， .∠EBC=∠ABD ,∴.△EBC≌△ABD(SAS) ..EC=AD ∠ABE=∠BAC=60°， AC∥BF, ∴.∠ACM=∠FBM.∠CAM=∠F, :点M为BC的中点， .CM=BM, 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ACM≌△FBM(AAS) .AM=FM,AC=BF, w号那， ∠ABE=∠BAC=∠BAE=60°， ∠EAC=∠FBA=120°」 .EA=AB,AC=BF, ∴.△EAC≌△ABF(SAS) :CE=AF, 1 .AM=二AD=3.6 .12分 D 25.(12分) ∠1=∠D ∠ACB=∠AED 【详解】(1)解：由题意知得，在和 中，AB=AD △ABC ADAE △DAE≌△ABC(AAS) AC=DE,BC=AE.3分 (2)证明：如图：作DM⊥AF,EN⊥AF」 ∴.LDMG=∠ENG=∠AFB=∠AMD=90°， ∠BAD=90°， :.∠BAF+∠FBA=90°，∠BAF+∠DAG=90°，则∠FBA=∠DAG, 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠FBA=∠DAG ∠AFB=∠AMD 在 和 中， △ABF△DAM AB=AD △ABF≌△DAM(AAS) 同理可证△ACF≌△EAW, ∴.AF=DM,AF=EN, ∴.DM=EN, ∠DMG=∠ENG=90° ∠DGM=∠EGN 交 和 中， DMG△ENG DM=EN △DMG≌△ENG(AAS) .EG=DG,即：点G是DE的中点. 7分 图2 (3)解：S=S,理由如下： 如图：作PO⊥CE,AM⊥PO,FN⊥Pg, .∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD,DE=DF, :.∠ADM+∠MAD=90°，∠ADM+∠PDC=90°，则∠MAD=∠PDC, ∠MAD=∠PDC ∠ADM=∠DCP 在 和。中， △ADM△DCP AD=CD 、△ADM≌ADCP(AAS) 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可证△DFN≌△EDP, S.ADM=S.DCP S.DFN=S.EDP AM=DP FN=DP ∴.AM=FW ∠AMQ=∠FNQ=90° ∠AQM=∠FQN 在 和 △AMQ"△FNQ 中， AM=FN △AMQ≌△FNQ(AAS) SAMe=S.FNe 0++.D =S4DO+S.M+S.DEN =S.ADM +S.DFN =S.DCP+S.EDP =SADCE S=S2」 、M G A D E 12分 图3 11/11 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．共和国勋章获得者袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵水稻正常生长需要水分，没有水分时水稻不可能正常生长， ∴事件“没有水分，水稻正常生长”是一定不会发生的事件，属于不可能事件． 2．篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别是“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是轴对称图形； B．不是轴对称图形； C．不是轴对称图形； D．不是轴对称图形． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘法、合并同类项、单项式除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A．，故选项 A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 4．某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018 m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值比较小的数的科学记数法的形式为，其中，为整数． 【详解】解：数据0.00000000018用科学记数法表示为． 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形唯一性的判断，当已知条件符合全等三角形的判定定理（，，，，）时，能画出唯一的三角形，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，即，不符合全等三角形的判定，不能画出唯一，故本选项错误； B、已知，，夹边，符合全等三角形判定，因此能画出唯一，故本选项正确； C、仅已知一个角和一条边，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误； D、仅已知一条边和一个角，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误． 6．如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 点 是的重心， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 9．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 10．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若一个角的补角的比这个角大，则这个角的度数为______． 【答案】40 【分析】设这个角的度数为，则这个角的补角为，根据“一个角的补角的比这个角大”列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角为， 根据题意列方程：， 解得：， 即这个角的度数为． 12．某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备的违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如表： 试验总次数 200 500 800 1000 1500 2000 精准识别次数 170 432 692 871 1305 1740 精准识别频率 0.850 0.864 0.865 0.871 0.870 0.870 根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率为______．（精确到0.01） 【答案】0.87 【分析】根据概率的统计定义，当试验次数足够大时，频率稳定值可作为概率的估计值，由表可知，试验次数达到次及以上时，频率稳定在附近，从而求解． 【详解】解：观察表格数据可知，随着试验次数不断增大，精准识别的频率逐渐稳定在0.87附近， 因此估计该设备精准识别违禁品的概率为0.87． 13．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据收费规则，当乘车距离超过3千米时，费用包括起步价和超过部分的加收费用，据此建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 【答案】19 【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可 【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为， 且， 故需要19张C类纸片 15．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 16．如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 【答案】2 或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据的条件，再根据对应边的不同，分两种情况讨论：①，②，分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设运动的时间为t， ， 要使，根据对应边不同，分两种情况讨论： ①当时， ， ； ②当时， ， ； 综上所述， a的值为：2或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：； （2）先化简，后求值，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再进行加减运算； （2）先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把代入化简后的结果计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解： ． 当时，原式. 18．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 19．科技小组成员潜心研制出一款机械手臂．如图1，手臂分为大臂、中臂和小臂三部分，手臂可呈现出多种状态完成不同的工作．图2、图3为其简化示意图．      (1)如图2，若，，则________． (2)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补进行计算即可； （2）过点作，则，先求出，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ． 20．某校购进了40筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育老师经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体情况跟商家反馈如下： 混入次品羽毛球数/个 0 1 2 筒数/筒 32 (1)从40筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则的值为________； (2)在（1）的基础上任意选取一筒，求给出的三种情况的可能性大小的排序（用“”连接）． 【答案】(1)①随机，②3 (2)选到筒中没有混入次品羽毛球的可能性选到筒中混入1个次品羽毛球的可能性选到筒中混入2个次品羽毛球的可能性 【分析】（1）①结合题中描述即可判断；②由“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，列式求出即可得到值； （2）根据题意，分别求出（筒中没有混入次品羽毛球）、（筒中混入1个次品羽毛球）、（筒中混入2个次品羽毛球），比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：①由题中描述可知，“筒中没有混入次品羽毛球”是随机事件； ②“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为， ，解得， 则； （2）解：由题意得（筒中没有混入次品羽毛球）， （筒中混入1个次品羽毛球）， （筒中混入2个次品羽毛球）， ， 选到筒中没有混入次品羽毛球的可能性选到筒中混入1个次品羽毛球的可能性选到筒中混入2个次品羽毛球的可能性． 21．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)①5；②阴影部分的面积为128． 【分析】（1）结合图形直接写出答案即可； （2）①利用完全平方公式计算即可；②利用完全平方公式计算即可； （3）①设，，则，，再利用完全平方公式计算即可；②设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②与之间的关系：； （2）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：①设，，则，， ∵， ∴； ②设，， 由题意得，，， ∵正方形， ∴， ∵，即， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为128． 22．在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：在矩形中，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图1，点在上运动时，请直接写出关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)如图2，点在上运动时，请求出关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (3)小邑学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在图3中画出关于的函数图象，请你按照小邑的思路画出图象，并结合函数图象，求出的面积为4时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析，2或 【分析】（1）利用三角形面积公式求解即可； （2）先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据（2）中的解析式画出函数图象，当时，令，则， 当时，令，则，然后求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上运动时，，； （2）解：在中，， ， 过作， 由，得， 解得 ，的取值范围； （3）解：如图所示， Ⅰ．当在上，，则 Ⅱ．当在上，，则， 综上，x的值为2或． 23．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 24．【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系． 探索思路如下： ， （___________）， 即（___________）， 在与中， ， （___________）， （___________）． (1)请在上面（   ）中填写适当的理由． 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值． 【答案】(1)等式性质；；；全等三角形的对应边相等 (2)，；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形全等的判定与性质填空即可； （2）延长与交于点H，类比（1）的证明方法，先证明，得到，，再证明即可； （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据已知先求出，然后证明根据全等三角形的判定与性质，逐步证明，，，即可求得答案． 【详解】（1）解：， （等式性质）， 即， 在与中， ， （）， （全等三角形的对应边相等）． （2）解：，． 延长与交于点H， 和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， （）， ，， ， 即． （3）解：以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】对于图形变换问题，要把握好图形变换前后解题思路的延续性，用类似的方法解答． 25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【详解】（1）解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． （2）证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．共和国勋章获得者袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 2．篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别是“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018 m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 6．如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若一个角的补角的比这个角大，则这个角的度数为______． 12．某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备的违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如表： 试验总次数 200 500 800 1000 1500 2000 精准识别次数 170 432 692 871 1305 1740 精准识别频率 0.850 0.864 0.865 0.871 0.870 0.870 根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率为______．（精确到0.01） 13．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：____________． 14．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 15．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 16．如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：； （2）先化简，后求值，其中． 18．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 19．科技小组成员潜心研制出一款机械手臂．如图1，手臂分为大臂、中臂和小臂三部分，手臂可呈现出多种状态完成不同的工作．图2、图3为其简化示意图．      (1)如图2，若，，则________． (2)如图3，若，，，求的度数． 20．某校购进了40筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育老师经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体情况跟商家反馈如下： 混入次品羽毛球数/个 0 1 2 筒数/筒 32 (1)从40筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则的值为________； (2)在（1）的基础上任意选取一筒，求给出的三种情况的可能性大小的排序（用“”连接）． 21．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 22．在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：在矩形中，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图1，点在上运动时，请直接写出关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)如图2，点在上运动时，请求出关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (3)小邑学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在图3中画出关于的函数图象，请你按照小邑的思路画出图象，并结合函数图象，求出的面积为4时的值． 23．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 24．【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系． 探索思路如下： ， （___________）， 即（___________）， 在与中， ， （___________）， （___________）． (1)请在上面（   ）中填写适当的理由． 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值． 25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $