精品解析：广西壮族自治区柳州市柳江中学2025-2026学年高一下学期自主练习（5）数学试题

2028届高一（下）自主练习（5） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 11 C. 13 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】设，则， 又因为，所以，即 则，，所以 3. 设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 4. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（ ） A. 21 B. 22 C. 22.5 D. 23 【答案】D 【解析】 【详解】上四分位数即75%分位数，题干的10个数据已经从小到大排列好，， 则75%分位数取从小到大的第8个数，即23. 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】根据直观图可得原图形中是直角三角形，，，， . 6. 已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面位置关系的判定定理以及性质定理逐项分析即可. 【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确； 选项B，若，，则或，故B错误； 选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确； 选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确. 7. 若，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过对数函数的单调性判断与的大小，利用幂函数的单调性判断与的大小，从而确定正确选项. 【详解】由对数函数 在上单调递减， 得 ，即； 由对数函数在上单调递增， 得 ，即，因此. 由幂函数在上单调递减， 得，即. 综上，且. 8. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（    ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，由与都在平面内可判断；对B，由题可得，进而判断；对C，设，，利用向量运算求得与所成角的余弦值，进而判断；对D，由题可证得平面，进而判断. 【详解】对于A，因为与都在平面内，所以与不是异面直线，故A错误； 对于B，因为是正三角形，所以，即与不垂直，所以不可能垂直平面，故B错误； 对于C，设，，则， 又， 所以， 设与所成角为，则， 因为与的大小关系不确定，所以与所成角的余弦值不确定，故C错误； 对于D，因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以，故D正确. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图， 已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A. 该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润 B. 该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入 C. 该企业2025年8月至12月的支出持续增长 D. 该企业2025年11月份的月利润最大 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润． 由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少， 故A正确； 由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确； 由折线统计图可知2025年8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确； 由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误． 10. 若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解. 【详解】设，由， 所以，， 所以，故A正确； 由，，所以不一定成立，故B错误； 由，，所以，故C正确； 由，， 所以不一定成立，故D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的最小值为1 C. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上无零点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦型函数的单调性判断即可；对于B，根据，得到或，，判断即可；对于C，根据图像的平移变换结合所得图象与关于轴对称，得到，，判断即可；对于D，根据在上无零点，列方程组求解即可. 【详解】. 对于A，若，，当时，， 又在上单调递增，故A正确. 对于B，若，则，即， 所以或，，即或，， 又，所以的最小值为2，故B错误. 对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到. 因为与关于轴对称，所以， 所以或，， 即，或，， 又，所以的最小值为6，故C错误. 对于D，若在上无零点，则，， 解得，. 又，当时，；当时，； 当时，，此时无解， 故若在上无零点，则的取值范围为，D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 13. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，混合数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】设甲、乙组平均数分别为，方差分别为， 设两组数据混合成一组的平均数为，方差为，则，，， 则， 故答案为：. 14. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为 __________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到的外接圆的圆心为BD的中点，再由底面，由截面圆的性质得到球的球心为侧棱的中点求解. 【详解】如图所示： 因为， 所以，的外接圆的圆心为BD的中点， 又底面，由截面圆的性质得： 球的球心为侧棱的中点， 从而球的直径为， 利用张衡的结论可得，则， 所以球的表面积为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用向量共线的坐标表示，列出方程，求得，结合模的计算公式，即可求解； （2）由，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，因为，可得，解得， 所以，所以. 【小问2详解】 解：由向量，可得， 因为，可得， 解得，所以，则且， 所以. 16. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】（1）30人 （2）①3人，2人，1人；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【小问1详解】 设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． 【小问2详解】 ①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 17. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解； （2）由余弦定理结合基本不等式求得，进而求得答案； （3）设，在和中，分别由余弦定理结合，可得，在中，由余弦定理可得，进而求得，利用三角形面积公式得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故， 又因为，所以； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； 【小问3详解】 如图所示： 设，则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以. 18. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． 【小问2详解】 因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 【小问3详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 19. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）若函数. （ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）的最小正周期为，单调递增区间为； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）将向量坐标代入计算结合三角恒等变换得到正弦函数，代入已知条件求值，再通过两角和的余弦公式计算即可； （2）（ⅰ）利用正弦函数的性质得出最小正周期，利用整体法解不等式得到单调递增区间； （ⅱ）由已知条件可知问题转化为，利用整体法结合正弦函数性质可得，通过换元将化为含参的二次函数，结合二次函数性质求最大值，最后解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，， 因为，所以，因为，所以， . 【小问2详解】 （ⅰ），最小正周期， 令，因为的单调递增区间为， 所以，解得， 所以的单调递增区间为. （ⅱ）， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 令，所以， 在上单调递增，在单调递减， 所以，所以， 令，所以， 函数可化为，开口向下，对称轴， 当，在上单调递增，， 即，由于，所以，解得， 所以； 当，在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 由于，所以，解得， 所以； 当，在上单调递减，， 即，由于，所以，解得， 所以； 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一（下）自主练习（5） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 11 C. 13 D. 5 3. 设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（ ） A. 21 B. 22 C. 22.5 D. 23 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 若，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（    ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图， 已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A. 该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润 B. 该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入 C. 该企业2025年8月至12月的支出持续增长 D. 该企业2025年11月份的月利润最大 10. 若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的最小值为1 C. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上无零点，则的取值范围为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 13. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为_______ 14. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为 __________________ ． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 16. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 17. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 18. 已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求证：； （3）求证：． 19. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）若函数. （ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $