2025-2026学年高一下学期数学5月月考复习卷

**基本信息** 涵盖复数、解三角形、立体几何等核心知识，题型结构完整，解答题分层设计，注重空间观念与运算能力考查，适配高中月考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8题/40分|复数象限、解三角形、向量平行、线面关系|基础概念辨析，如线面位置关系命题真假判断| |多项选择题|3题/18分|复数运算、向量投影、正方体动点|多角度辨析，如向量夹角与投影向量关系| |填空题|3题/15分|斜二测画法、向量夹角、测量塔高|空间直观与实际应用，如斜二测画法还原面积| |解答题|5题/77分|复数综合、向量运算、解三角形中线、三棱柱体积、四棱锥探究|分层递进与综合应用，如四棱锥存在性问题探究|

■■■■ ■■■ 2025-2026学年高一数学第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 前 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) A B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年度高中数学5月月考复习卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．记的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 4．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．已知一个正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为，则棱台的体积为（    ） A． B． C．28 D．84 6．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，已知平面，底面是菱形，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 10．已知平面向量，则下列说法错误的是（） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 11．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．存在点，使，，，四点共面 B．存在点，使∥平面 C．三棱锥的体积为 D．此正方体外接球的表面积为 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，则原四边形的面积为____________． 13．若向量满足，，则与夹角的余弦值为______． 14．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 16．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 17．已知，其内角的对边分别为，且 ． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 18．如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求：    (1)若，求三棱柱体积． (2)若是中点，求证：平面． 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度高中数学5月月考复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D C C C D BCD ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】设，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 2．C 【分析】利用正弦定理将边与角的关系转化为关于的三角等式，求出的值，再代入余弦定理计算边． 【详解】由正弦定理得，则， 又，所以， 所以，所以为锐角， 由，得， 由余弦定理得， 所以． 3．D 【分析】根据即可求出，从而得到向量，然后利用向量的模的坐标公式即可求解. 【详解】已知向量，，若，则，解得， 所以，则， 因此，故D正确. 4．D 【分析】根据空间位置关系结合选项条件判断选项中位置的所有关系后判断ABC，对于D，可利用面面垂直的判断定理证明. 【详解】对于A，若，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或相交，故B错误； 对于C，若，，则或或相交，故C错误； 对于D，设，，过平面内一点，分别作，， 如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、，所以，故D正确. 5．C 【详解】如图所示，正四棱台的对角面是等腰梯形. 易知，，. 分别取的中点为，则，. 所以棱台的高为. 所以棱台的体积为. 6．C 【分析】根据在上的投影向量的定义建立方程，求解夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角. 【详解】设向量与的夹角为， 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， 可得 ，因此，解得 . 又因为，所以. 7．C 【分析】根据异面直线所成角的定义，通过平移直线将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再利用余弦定理求解该角的余弦值. 【详解】因为，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）. 设，因为底面是菱形，，所以是等边三角形，则. 因为平面，平面，所以. 在中，根据勾股定理，已知，可得. 在中，，，， 又因为，，所以. 根据余弦定理，将，，代入可得： . 异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 8．D 【分析】结合余弦定理，应用三角形面积公式化简得，求出角，再使用正弦定理边化角得，根据正切函数性质及不等式性质求出的取值范围，进而利用对勾函数单调性求解即可. 【详解】， 又，所以， 即，即， 由于，所以， 由正弦定理可知，， ， 由于， 所以， 设，则，， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； 所以，的取值范围为. 9．BCD 【详解】设，则，所以，则与不一定相等，A错误； 因为，，所以，B正确； ，C正确； ，所以，D正确. 10．ABD 【分析】先由向量平行坐标公式求出时有两解，判定A错误；代入算出夹角余弦值为，知B错误；把代入，利用投影向量公式求得结果为，C正确；由夹角为钝角需数量积小于0且不共线，解不等式并剔除共线情况判断D错误. 【详解】已知，，,逐一分析选项. 选项A：若，则， 整理得，解得或，A错误. 选项B：当时，，， 则，,， 所以，B错误. 选项C：当时，，， 则，， 则投影向量为，C正确. 选项D：夹角为钝角，则且不反向共线. 由得， 当时，，，两向量反向共线，夹角为平角不是钝角， 故正确范围为，D错误. 11．ABC 【分析】利用平行公理推理判断A；利用线面平行的判定推理判断B；求出三棱锥的体积判断C；求出正方体外接球直径计算判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接，由分别是的中点， 得，又，则，因此四点共面， 即当Q与点重合时，四点共面，A正确； 对于B，连接，当Q是的中点时，由，得， 而平面平面，则平面，B正确； 对于C，，而平面，，则，C正确； 对于D，正方体外接球直径等于，该球表面积，D错误. 12． 【分析】先求出直观图为梯形的面积为，利用斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍即可求解. 【详解】因为直观图为梯形且，，，， 所以， 所以直观图为梯形的面积为； 又因为斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍 因此原四边形的面积为. 13． 【详解】设与的夹角为，由 得 两式相加得＝1，则，则，得． 14． 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 15．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）（2）根据复数的分类列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列式求解即可. 【详解】（1）若复数为实数，则，解得或． （2）若复数为纯虚数，则，解得，所以． （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，可得， 所以实数的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）由，利用向量共线的坐标表示，列出方程，求得，结合模的计算公式，即可求解； （2）由，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，因为，可得，解得， 所以，所以. （2）解：由向量，可得， 因为，可得， 解得，所以，则且， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合展开化简，求得，再结合可得； （2）由面积公式求，用余弦定理求，再次在中用余弦定理，得AD的长. 【详解】（1）由题意和正弦定理得 ， 且 ， 即 ， 得，且，则， 可得且，所以. （2）如图：    因为 由 所以 解得， 在中，由余弦定理得 则又D为BC边上的中点，所以 在中，由余弦定理得，则 在中，由余弦定理得 所以 18．(1) (2) 根据线面垂直的判定定理，只需证明垂直于平面内的两条相交直线. 因为是正三角形，是中点，由正三角形三线合一得； 又平面，平面，因此. 由于，且平面，因此平面. 【分析】（1）由 平面得高为，正三角形面积公式求底面积，代入柱体体积公式即得； （2）正三角形中；由底面得；两条相交直线确定平面，故平面. 【详解】（1）已知平面，因此三棱柱的高， 底面是边长为的正三角形，其面积， 三棱柱体积公式为，代入得. （2）略. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】 （1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得，再由线面平行的判断定理可得平面DBF，并可得． 【详解】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2） 设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3） 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $