广西壮族自治区柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一下学期数学自主练习（4）

《2028届高一（下）数学自主练习(4)》参考答案 1.B2.C3.C4.A5.B6.D7.D8.D9.AD 10.BC 11. ABC 12.（1,2) 13.214.② 15.(1)证明：设AC∩BD=0,连接OM, 1分 D B M :在正四棱柱ABCD-AB,C,D,中，四边形ABCD为正方形， .BO=DO,又M是DD的中点，DM=D,M, .OM IIBD 3分 又OMc平面AMC,BD,丈平面AMC, 5分 .BD∥平面AMC. 6分 (2)在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，DD1⊥平面ABCD, 又ACC平面ABCD,.DD,⊥AC, 8分 在正方形ABCD中，BD⊥AC, 9分 又DD,OBD=D,DD,C平面BDD,B,BDC平面BDDB, 12分 ∴.AC⊥平面BDDB 13分 16.(1)已知a2+c2-√3ac=b2,由余弦定理得：b2=a2+c2-2acc0sB, 2分 所以ag+c2-2aec0sB=a2+e2-V5ac,化简可得：cos8=5 4分 又0°<B<180°，故B=30°. 6分 (2)C=180°-A-B=180°-105°-30°=45°， 7分 由正弦定理 sinBsinc,f代入b=2,B=30°，C=45°， b=c 8分 所以c -bsinc2.sin452. =22. 10分 sinB sin30°=1 2 因为sinl05°=sin(60°+45）=sin60cos45°+cos60sin45°= 6+V2 13分 所以S=besind=-2-2√2-sinl05°=V5+1. 15分 17.(1),平面AADD,⊥平面ABCD,平面A,ADD,O平面ABCD=AD,AA⊥AD, 2分 .AA,⊥平面ABCD, 3分 CDc平面ABCD,.AA⊥CD. 5分 (2)连接A,C,如下图所示， A D B D ,∠BAD=120°，BCIAD,∴.∠ABC=60°， AB=BC=2, ∴.△ABC是等边三角形，可得BC=2,∠BAC=∠ACB=60°， .∠CAD=60°， 7分 :AD=4,∴根据余弦定理可得CD=AC2+AD-2AC·ADc0S∠CAD,解得CD=2√3， AC2+CD2=4+12=16=AD2,.∠ACD=90°，即AC1CD, 9分 AA,⊥CD,AC⊥CD,AC∩AA=A, ∴.CD⊥平面AACC1, 10分 .∠DA,C就是直线AD与平面A,ACC,所成角， 11分 AC=AC2+A42=22,CD=23, :.AD=AC2+CD2=25, 13分 ·sin∠DAC=CD=235 15分 DA255 18.(1)已知向量m=(a,cosA4,n=cosB,b-c .m·n=acosB+b-c)cos4, .acosB+(b-c)cosA ccosA, 1分 .acosB +bcosA 2ccosA, .sinAcosB sinBcosA 2sinCcosA 2分 .'sin(4+B)=2sinCcosA, 3分 又A+B+C=π， 故sinC=2 sinCcosA且sinC>0, 4分 、1 .'cosA 5分 又A∈(0，元)， (6分) 则4 7分 (2)由(1)知：b2+c2-a2=2bcc0sA=bc, ..a2=b2+c2-bc, 8分 由正弦定理可得：△ABC的外接圆半径为R=。 9分 2sinA a'π =3π，即a=3, 10分 4sin2A +c-c=6+q-c=926+q-6+eg-+. 4 13分 则b+c≤6， (14分) 当且仅当b=c且A=元，即b=c=3=a时等号成立， 15分 3 故三角形ABC周长a+b+c的最大值为9. 17分 19.(1)由AB与CD平行且相等，得四边形ABCD为平行四边形， 所以O为AC,BD的中点. 1分 又由于PA=PC,PB=PD,所以PO⊥AC,PO⊥BD, 3分 又因为AC,BDC平面ABCD,ACOBD=O,所以PO⊥平面ABCD. 4分 又P0c平面PAC, 所以平面PAC⊥平面ABCD; 5分 (2)(i)因为ABIICD,AB丈平面PCD,CDc平面PCD, 所以AB∥平面PCD, 7分 又因为ABC平面PAB,平面PAB∩平面PCD=I,所以AB/Il. 9分 又因为I丈平面ABCD,ABC平面ABCD,所以I∥平面ABCD. 10分 (i)作PE⊥CD,PF⊥AB,垂足分别为E,F, =D B 因为AB/CDIl,所以PE⊥1，PF⊥1， 所以∠EPF是二面角A-1-C的平面角. 12分 因为PE=PF=5V3,O为EF的中点， 所以∠EP0=∠0PF,设∠EP0=∠OPF=0. 则P0=5√3cos0,EF=20E=103sin0. 14分 因为PE⊥AB,PF⊥AB,PEOPF=P,PE,PFC平面PEF, 所以AB⊥平面PEF,所以AB⊥EF. 所以V-M8cD=7x20x10W3sin0×5W3cos0=500sin20≤500 16分 当且仅当20=90°，即二面角A-1-C的大小为90°时，四棱锥P-ABCD的体积取得最大值500cm3. (17分) 2028届高一（下）数学自主练习（4） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则复数在复平面内的对应点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数的零点所在区间为 A． B． C． D． 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 4．已知向量，，则在方向上的投影向量为 A． B． C． D． 5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．函数在单调递增，求的取值范围 A． B． C． D． 7．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法错误的是 A．高为 B．母线长为3 C．表面积为 D．体积为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本． 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个； 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个． 对于上述问题，下列说法中正确的有 A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则 A．的外接圆半径为 B． C． D．为锐角三角形 11．如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是 A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点A到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数（且）的图象必过定点_____________． 13．的值为_____________． 14．已知圆锥（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P、Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为． 以上正确的结论是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 16．（15分）在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角； （2）若，，求边长和的面积． 17．（15分）如图，在四棱柱中，平面平面，，，，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18．（17分）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且，外接圆面积为． （1）求； （2）求周长的最大值． 19．现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，．初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线．现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥． （1）求证：平面平面； （2）设平面平面． （i）求证：平面； （ii）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？ 求出该最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $