第06讲 复数的综合运用（8大重难点题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学复数综合运用复习讲义通过框架图系统梳理知识体系，涵盖基本概念（虚数单位、复数定义、共轭复数、模）和基本性质（运算律、几何意义），按“概念-性质-应用”逻辑呈现，突出复平面表示、模长计算等重难点及内在联系。 讲义亮点在于设计八种重难点题型，每种配例题与变式，如几何意义应用（判断复平面象限）、三角形式与棣莫弗定理综合题，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（逻辑推理）。基础题巩固概念，综合题提升能力，支持学生自主复习，助力教师精准教学。

第06讲 复数的综合运用 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、基本概念 3 知识点二、基本性质 3 03 重难点题型 4 题型一：复数基础概念辨析问题 4 题型二：复数几何意义应用问题 5 题型三：复数最值求解问题 5 题型四：复数相等条件与共轭复数应用问题 7 题型五：复数三角形式化简与运算问题 8 题型六：复数模长性质综合应用问题 11 题型七：复数方程求解问题 13 题型八：复数四则运算化简问题题 14 04 过关检测 18 知识点一、基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 题型一：复数基础概念辨析问题 例1．（2026·江西九江·模拟预测）已知复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ，， 故的实部为. 例2．（2026·高二·四川德阳·期末）复数在复平面上对应点的坐标为，则复数（     ） A．实部为3 B．虚部为 C．模长为5 D．共轭复数 【答案】C 【解析】复数在复平面上对应点的坐标为，则，实部为，虚部为3，模为，，正确的是C． 例3．（2026·江苏·三模）已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】，； 的虚部为. 变式1．（2026·高一·全国·期末）设，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则，所以的虚部为 变式2．（2026·高一·河北雄安·期中）复数的虚部为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，所以所求虚部为． 题型二：复数几何意义应用问题 例4．（2026·高一·上海·期中）在复平面内，复数对应的点位于（     ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第二象限. 例5．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以解得，则实数的取值范围是． 例6．（2026·高一·四川成都·期中）复数 （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解析】, 从而复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 变式3．（2026·高一·上海·阶段检测）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量运算关系可得：， 所以所对应的复数为：. 题型三：复数最值求解问题 例7．（2026·高一·河南·期中）已知复数（），则的最小值为（   ） A． B． C．10 D．20 【答案】A 【解析】由， 当时，取得最小值. 例8．（2026·高一·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【解析】因为， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点与定点的距离， 所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径， 即. 例9．（2026·高一·陕西榆林·期中）若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 变式4．（2026·高一·江西·期末）若复数（i为虚数单位），其中假命题为（    ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 【答案】D 【解析】A选项，，则，故，A正确； B选项，若，则，， ，B正确； C选项，， 由题意得，故也是虚数，C正确； D选项，的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆， 故此圆上的点到原点的距离最大值为，D错误． 变式5．（2026·高一·河南·期中）已知复数，，若实数满足，则的最大值为（   ） A．5 B．32 C．39 D．64 【答案】B 【解析】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的最大值为32. 题型四：复数相等条件与共轭复数应用问题 例10．（2026·江西·模拟预测）若，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设（），则，，所以. 所以， 解得，代入中，解得， 故. 例11．（2026·高二·福建·学业考试）已知，，（，），若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由，得，. 例12．（2026·高一·安徽阜阳·期中）若，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则， 所以，且， 所以，可得，故， 所以. 故选：B 变式6．（2026·高三·辽宁大连·阶段检测）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以， 所以, 所以复数的共轭复数为. 故选：B. 变式7．（2026·高一·吉林通化·期中）已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 所以，故的共轭复数为，其虚部为. 故选：C. 题型五：复数三角形式化简与运算问题 例13．（2026·高一·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 例14．（2026·高一·四川达州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，，即， ， ，又时，， ，即， ， 得，即， ． 故选：D． 例15．（2026·高一·江西宜春·期末）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解析】， 由棣莫弗定理可得， 因为复数为纯虚数， 所以且，所以，，得，， 所以正整数m的最小值为4. 故选：A. 变式8．（2026·高一·河北石家庄·期中）由复数的三角形式，若复数，在复平面内对应的向量分别为、，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题． (1)在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，证明：点的旋转坐标公式 (2)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点，点，以为边作等边，且在边的上方．求线段长度的最大值． 【解析】（1）由复数乘法的几何意义， 得， 即， 所以， （2）根据图形的对称性，不妨设点在轴及上方． 设，，． 则将向量绕点顺时针旋转得到向量． 由旋转坐标公式，得， 所以， 则 ， 所以当时，取得最大值3， 故线段长度的最大值为3． 变式9．（2026·高一·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意， 题型六：复数模长性质综合应用问题 例16．（2026·高一·重庆·期中）设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【解析】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 例17．（2026·高一·上海青浦·期中）若复数和复数满足，，，则________. 【答案】 【解析】因为，，， 由复数模的运算性质，可得 ， 所以，所以， 又由， 所以. 例18．（2026·高三·全国·三轮复习）设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________． 【答案】1 【解析】解法一：设复数， 则， 所以； 因为， 所以， 整理得：，即， 因为，所以， 所以，即， 所以． 解法二（秒杀技）： 同方法一得：， 所以． 变式10．（2026·高三·上海·阶段检测）已知复数z满足（i为虚数单位），则__________. 【答案】1 【解析】由得，所以， 所以，即， 所以 变式11．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）已知，则______. 【答案】 【解析】设，其中，可得. 代入，可得：， 所以即. 可得， 可得，. 可得. 可得：. 故答案为：. 题型七：复数方程求解问题 例19．（2026·高一·上海闵行·期中）已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 【答案】或或 【解析】设，那么，得到. 由此可知. 若，.因为，所以，解得. 又因为，所以. 若，.因为，所以或.那么或. 综上所述或. 例20．（2026·高一·上海·期中）已知：二次方程（）有实数根，则的值是__________. 【答案】 【解析】因为二次方程（）有实数根， 所以，即 根据复数相等得，解得， 所以. 例21．（2026·高三·上海·阶段检测）若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 【答案】 【解析】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 变式12．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知是关于的方程（）的一个根，则________． 【答案】2 【解析】因为是关于的方程（）的一个根， 所以， 所以， 所以，解得. 所以. 题型八：复数四则运算化简问题题 例22．计算： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）. （2）. （3）. 例23．（2026·高一·重庆·期中）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为为纯虚数， 所以且，所以，故； （2）因为复数， 且在复平面内对应的点在第二象限，所以， 故实数的取值范围是. 例24．（2026·高一·安徽安庆·期中）已知复数. (1)若为纯虚数，求及的值； (2)若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 【解析】（1）若为纯虚数，则，解得，即， 所以， ， 则. （2）由为虚数，得，则， 在复平面内对应的点坐标为， 因为在复平面内对应的点在直线上， 所以，即， 解得，则， 又，则， 所以， 则. 变式13．（2026·高一·安徽·阶段检测）（1）若复数（）在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围； （2）计算：. 【解析】（1）， 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以， 解不等式①，得； 解不等式②，得或. 所以，即m的取值范围是. （2）因为， ，， 故原式. 变式14．（2026·高一·山东聊城·期中）已知复数满足，且. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； (2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； (3)在（1）问条件下，求的值. 【解析】（1）设， ，即， 由，得，则， 又，则，解得， 又复数在复平面内对应的点在第二象限，， 所以. （2）由（1）知， 所以， 因为复数在复平面内对应点在第三象限，所以，解得. （3）由（1）知， . 变式15．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式． （2） =. （3） ． 1．（25-26高一下·四川内江·期中）复数，则（ ） A．-3 B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】因为， 所以. 2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】B 【解析】， 因为复数为纯虚数，所以，解得. 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】设，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）复数，则复数z的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】复数，则复数z的虚部为1. 5．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【解析】 6．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 7．（25-26高一下·山东济宁·期中）若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】设，则， 所以， 因为，所以 ，即， 则 . 8．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知复数，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】∵ ，， ∴ . ∵ ，，∴ . ∴ . ∴ . 9．（多选题）（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【解析】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 10．（多选题）（25-26高一下·四川成都·期中）已知i是虚数单位，下列关于复数，的说法正确的是（   ） A．若是纯虚数，则 B．若，则 C．若，是关于x的实系数一元二次方程的两根，则 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】若是纯虚数，则，解得 ，A 正确； 若 ，不一定有 ，举个反例：取 ，，则 ， 但，，显然不相等，B错误； 若 是实系数一元二次方程 的两根， 所以， ，，所以，C正确 若 ，设 ， 则 在复平面上的轨迹是：到点 和原点距离相等的点的集合，即两点连线的垂直平分线, 两点与的中点为 ，连线斜率为 ，故垂直平分线的斜率为，方程为： 的几何意义是原点到直线 上点的距离， 最小值为原点到直线的距离：,即的最小值为, D正确. 11．（多选题）（25-26高一下·福建泉州·期中）已知，是复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是纯虚数 C． D． 【答案】BCD 【解析】取，满足，但两个都是虚数，不能比较大小，无法得到​，故A错误； 设，若，说明是负实数，因此， 满足虚部，且实部， 若，则无实数解， 因此只能，此时得，即​是纯虚数，故B正确； 根据共轭复数的性质，， 推导得 ，故C正确； 因为，所以，故D正确. 12．（25-26高一下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 【答案】二 【解析】因为，所以，因此， 又因为， 所以点A位于第二象限. 13．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知，，且，则________． 【答案】 【解析】由题意得， 结合，得，解得. 14．（25-26高一下·山东滨州·期中）已知，若，则的最小值为___________． 【答案】1 【解析】由题意得，， 所以，则当时，的最小值为1． 15．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 【答案】 2 【解析】令，， 因为，所以， ， 令，所以当时，有最小值3，即，， 因为向量，的夹角为锐角，故，即； 所以， 因为，所以，故的最大值为. 16．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设、满足方程，求，； (2)设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【解析】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数， 设，则，那么 代入 可得 ， 即， 则有，故. （2）设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为. 17．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 【解析】（1）复数的共轭复数， 所以 由题设，故，解得. 因为是正实数，所以. （2）当时，，化简. 因为是方程的根. 所以将直接代入方程：. 展开计算得 整理得. 所以解得 18．（25-26高一下·广西河池·期中）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 【解析】（1）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第二象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第二象限． （2）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第四象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第四象限． 19．（25-26高一下·重庆江北·期中）设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 【解析】（1）（1）对于实系数一元二次方程，有， 又因为，所以，即， 因为是关于的方程的两个虚根， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）由韦达定理知，，即，， 因为，所以， 因为方程有虚根，所以，所以，即. 所以方程为，解得，即， 所以， 故. 20．（25-26高一下·广东茂名·期中）设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 【解析】（1）， 复数在复平面内对应点的坐标为， 第一象限的点满足实部、虚部均大于0，因此，. 解得，即的取值范围是. （2）由得共轭复数，则 ， 根据复数模的计算公式得. 因为为实数，，当时，取最小值20，因此： ，即最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 复数的综合运用 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、基本概念 3 知识点二、基本性质 3 03 重难点题型 4 题型一：复数基础概念辨析问题 4 题型二：复数几何意义应用问题 4 题型三：复数最值求解问题 4 题型四：复数相等条件与共轭复数应用问题 5 题型五：复数三角形式化简与运算问题 5 题型六：复数模长性质综合应用问题 6 题型七：复数方程求解问题 7 题型八：复数四则运算化简问题题 7 04 过关检测 10 知识点一、基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 题型一：复数基础概念辨析问题 例1．（2026·江西九江·模拟预测）已知复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·高二·四川德阳·期末）复数在复平面上对应点的坐标为，则复数（     ） A．实部为3 B．虚部为 C．模长为5 D．共轭复数 例3．（2026·江苏·三模）已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C．1 D．2 变式1．（2026·高一·全国·期末）设，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高一·河北雄安·期中）复数的虚部为（    ） A．5 B．3 C． D． 题型二：复数几何意义应用问题 例4．（2026·高一·上海·期中）在复平面内，复数对应的点位于（     ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例5．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·高一·四川成都·期中）复数 （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 变式3．（2026·高一·上海·阶段检测）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（     ） A． B． C． D． 题型三：复数最值求解问题 例7．（2026·高一·河南·期中）已知复数（），则的最小值为（   ） A． B． C．10 D．20 例8．（2026·高一·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 例9．（2026·高一·陕西榆林·期中）若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式4．（2026·高一·江西·期末）若复数（i为虚数单位），其中假命题为（    ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 变式5．（2026·高一·河南·期中）已知复数，，若实数满足，则的最大值为（   ） A．5 B．32 C．39 D．64 题型四：复数相等条件与共轭复数应用问题 例10．（2026·江西·模拟预测）若，且，则（     ） A． B． C． D． 例11．（2026·高二·福建·学业考试）已知，，（，），若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 例12．（2026·高一·安徽阜阳·期中）若，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高三·辽宁大连·阶段检测）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高一·吉林通化·期中）已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 题型五：复数三角形式化简与运算问题 例13．（2026·高一·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 例14．（2026·高一·四川达州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·江西宜春·期末）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式8．（2026·高一·河北石家庄·期中）由复数的三角形式，若复数，在复平面内对应的向量分别为、，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题． (1)在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，证明：点的旋转坐标公式 (2)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点，点，以为边作等边，且在边的上方．求线段长度的最大值． 变式9．（2026·高一·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型六：复数模长性质综合应用问题 例16．（2026·高一·重庆·期中）设复数，满足，且，则____________． 例17．（2026·高一·上海青浦·期中）若复数和复数满足，，，则________. 例18．（2026·高三·全国·三轮复习）设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________． 变式10．（2026·高三·上海·阶段检测）已知复数z满足（i为虚数单位），则__________. 变式11．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）已知，则______. 题型七：复数方程求解问题 例19．（2026·高一·上海闵行·期中）已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 例20．（2026·高一·上海·期中）已知：二次方程（）有实数根，则的值是__________. 例21．（2026·高三·上海·阶段检测）若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 变式12．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知是关于的方程（）的一个根，则________． 题型八：复数四则运算化简问题题 例22．计算： (1)； (2)； (3). 例23．（2026·高一·重庆·期中）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 例24．（2026·高一·安徽安庆·期中）已知复数. (1)若为纯虚数，求及的值； (2)若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 变式13．（2026·高一·安徽·阶段检测）（1）若复数（）在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围； （2）计算：. 变式14．（2026·高一·山东聊城·期中）已知复数满足，且. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； (2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； (3)在（1）问条件下，求的值. 变式15．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 1．（25-26高一下·四川内江·期中）复数，则（ ） A．-3 B．2 C． D．4 2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）复数，则复数z的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 6．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26高一下·山东济宁·期中）若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 8．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知复数，，则（   ） A． B．1 C． D． 9．（多选题）（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．（多选题）（25-26高一下·四川成都·期中）已知i是虚数单位，下列关于复数，的说法正确的是（   ） A．若是纯虚数，则 B．若，则 C．若，是关于x的实系数一元二次方程的两根，则 D．若，则的最小值为 11．（多选题）（25-26高一下·福建泉州·期中）已知，是复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是纯虚数 C． D． 12．（25-26高一下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 13．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知，，且，则________． 14．（25-26高一下·山东滨州·期中）已知，若，则的最小值为___________． 15．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 16．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设、满足方程，求，； (2)设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 18．（25-26高一下·广西河池·期中）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 19．（25-26高一下·重庆江北·期中）设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 20．（25-26高一下·广东茂名·期中）设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $