第06讲 复数的四则运算（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第06讲 复数的四则运算 知识清单 知识点01：复数的加、减运算及其几何意义 知识点02：复数的乘、除运算 题型讲解 （举三反三） 题型1：复数的加减法运算 题型2：复数加、减法的几何意义 题型3：复数代数形式的乘法运算 题型4：复数的乘方 题型5：复数的除法运算 题型6：共轭复数的概念及计算 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.复数的加、减运算及其几何意义 1．复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数加减法的几何意义 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应． 规律方法 1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 3．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 4．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 5．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆． 知识点2. 复数的乘、除运算 1．复数的乘法法则 (1)复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 2．复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0) 规律方法 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i. 归纳总结： 1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i2＝－1的应用. 2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z·＝|z|2解题． 3．记住几个常用结论： (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． (2)(1±i)2＝±2i. (3)若z＝⇔z是实数；若z＋＝0，则z是纯虚数；z·＝||2＝|z|2 题型1：复数的加减法运算 【例1-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）为虚数单位，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【例1-2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，且，则＝ ． 【例1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【变式1-1】（24-25高一下·河南许昌·期中）复数的虚部为（    ） A． B．4 C． D．4i 【变式1-2】（24-25高一下·福建三明·期末）设复数满足，且，则 . 【变式1-3】（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1) (2) (3) 题型2：复数加、减法的几何意义 【例2-1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【例2-2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 . 【例2-3】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 【变式2-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 . 【变式2-3】（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 题型3：复数代数形式的乘法运算 【例3-1】（24-25高一下·四川眉山·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，满足，，，则 ． 【例3-3】（24-25高一下·吉林长春·期中）（1）计算：； （2）已知复数，，求. 【变式3-1】（24-25高一下·天津红桥·期末）复数， 则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知，复数，则 . 【变式3-3】（24-25高一下·广东湛江·月考）计算： (1)； (2). 题型4：复数的乘方 【例4-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数z满足，则的值为（    ）． A．i B． C．1 D． 【例4-2】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是虚数单位，则 ． 【例4-3】（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【变式4-1】（24-25高一下·四川眉山·期末） A．0 B．4 C．-4i D．4i 【变式4-2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知，（i为虚数单位），则 ． 【变式4-3】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）． (1)求的值； (2)求证：；并求的值． 题型5：复数的除法运算 【例5-1】（24-25高一下·贵州·月考）已知为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高一下·上海·期末）已知，若，其中为虚数单位，则 . 【例5-3】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】（24-25高一下·新疆·期末）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】（24-25高一下·上海金山·期末）若复数满足，其中为虚数单位，则 . 【变式5-3】（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 题型6：共轭复数的概念及计算 【例6-1】（25-26高一上·北京海淀·期末）若复数满足，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．3 【例6-2】设复数，则 ． 【例6-3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【变式6-1】（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知，则的虚部为（ ） A． B．i C． D．i 【变式6-2】（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【变式6-3】（24-25高一下·上海·月考）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 一、单选题 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（   ） A． B．5 C． D． 2．已知复数z满足（i是虚数单位），则（   ） A．15 B．16 C．17 D．25 3．（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 4．已知复数， 则的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025高一·全国·专题练习）已知为虚数单位，以下选项不正确的是（ ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．复数，则 7．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 8．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·河南开封·期末）已知复数，则下列复数中虚部为0的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 11．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．已知，则 ． 13．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ． 14．已知为虚数单位，为的共轭复数，若，则的虚部为 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 16．（24-25高一下·天津·月考）已知复数. (1)求； (2)求的值. 17．（24-25高一下·河南商丘·期末）设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 18．（24-25高一下·贵州·月考）已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 19．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元次复系数多项式方程有n个复数根（重根按重数计）. (1)在复数集中解方程：； (2)写出一个以为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程） (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 复数的四则运算 知识清单 知识点01：复数的加、减运算及其几何意义 知识点02：复数的乘、除运算 题型讲解 （举三反三） 题型1：复数的加减法运算 题型2：复数加、减法的几何意义 题型3：复数代数形式的乘法运算 题型4：复数的乘方 题型5：复数的除法运算 题型6：共轭复数的概念及计算 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.复数的加、减运算及其几何意义 1．复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数加减法的几何意义 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应． 规律方法 1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 3．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 4．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 5．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆． 知识点2. 复数的乘、除运算 1．复数的乘法法则 (1)复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 2．复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0) 规律方法 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i. 归纳总结： 1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i2＝－1的应用. 2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z·＝|z|2解题． 3．记住几个常用结论： (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． (2)(1±i)2＝±2i. (3)若z＝⇔z是实数；若z＋＝0，则z是纯虚数；z·＝||2＝|z|2 题型1：复数的加减法运算 【例1-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）为虚数单位，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的模的运算得到答案. 【详解】，所以， 故选：C. 【例1-2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，且，则＝ ． 【答案】 【分析】先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答. 【详解】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：. 【例1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的加减法运算可得答案； （2）利用复数的加减法运算可得答案． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【变式1-1】（24-25高一下·河南许昌·期中）复数的虚部为（    ） A． B．4 C． D．4i 【答案】A 【分析】利用复数的减法及复数的有关概念求解. 【详解】依题意，，其虚部为. 故选：A 【变式1-2】（24-25高一下·福建三明·期末）设复数满足，且，则 . 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可计算. 【详解】设，所以，由， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由复数的加减运算，可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. 题型2：复数加、减法的几何意义 【例2-1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 【例2-2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 . 【答案】1+i 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 【例2-3】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求. 【答案】 【分析】设对应的复数为，对应的复数为，利用向量运算和复数的向量表示可解. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且.    作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 【变式2-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式2-2】若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 . 【答案】9π 【分析】直接判断出点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，即可求出. 【详解】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 故答案为：9π 【变式2-3】（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【答案】（1）（2）①；②5 【分析】（1）利用复数的几何意义化简，找到对应向量，求解向量的模即可. （2）找到对应的点坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）因为复平面内的点， 对应的复数分别为，， 所以点，之间的距离为 . （2）①易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得； ②易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得. 题型3：复数代数形式的乘法运算 【例3-1】（24-25高一下·四川眉山·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法运算求解判断. 【详解】因为，所以. 故选：C. 【例3-2】（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的模长平方计算求解. 【详解】复数，满足，，， 则，所以， 则，． 故答案为：. 【例3-3】（24-25高一下·吉林长春·期中）（1）计算：； （2）已知复数，，求. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算即可； （2）先计算，再用复数模的公式计算． 【详解】（1）． （2），，则， ∴． 【变式3-1】（24-25高一下·天津红桥·期末）复数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简复数，即可得出结论. 【详解】由题意， ， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知，复数，则 . 【答案】5 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由， 则，解得， 所以. 故答案为：5. 【变式3-3】（24-25高一下·广东湛江·月考）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加减法运算律计算求解； （2）根据复数的乘法运算律计算求解； 【详解】（1） （2） 题型4：复数的乘方 【例4-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数z满足，则的值为（    ）． A．i B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方性质计算可得，可求. 【详解】由，可得，所以，所以，所以， 所以. 故选：C. 【例4-2】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是虚数单位，则 ． 【答案】0 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 【例4-3】（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）利用复数的乘法、乘方及除法运算求解即得. 【详解】（1）原式. （2）原式. 【变式4-1】（24-25高一下·四川眉山·期末） A．0 B．4 C．-4i D．4i 【答案】D 【分析】根据复数的运算即可. 【详解】. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知，（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】利用复数的运算法则，化简得到，根据复数相等的充要条件，求得的值，即可求解. 【详解】由，可得，所以. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）． (1)求的值； (2)求证：；并求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析；. 【分析】（1）由虚数是关于的方程的一个根，代入由复数相等求解即可； （2）由（1）可知，，然后证明即可，由，即可求得. 【详解】（1）虚数是关于的方程的一个根，， 所以，整理得：， ，由，解得， 所以. （2）证明：由（1）可知，，， ， 所以， ， 所以 题型5：复数的除法运算 【例5-1】（24-25高一下·贵州·月考）已知为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则结合完全平方公式进行计算. 【详解】由题意得， 故选：A 【例5-2】（24-25高一下·上海·期末）已知，若，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【例5-3】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【详解】（1）原式． （2） =. （3） ． 【变式5-1】（24-25高一下·新疆·期末）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】应用复数的乘除运算得求出参数值，即可得. 【详解】因为，所以，则，故. 故选：B 【变式5-2】（24-25高一下·上海金山·期末）若复数满足，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【详解】由，得，故. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的乘法可求乘积； （2）利用复数的减法可求差； （3）利用复数的除法可求商. 【详解】（1）. （2）. （3）. 题型6：共轭复数的概念及计算 【例6-1】（25-26高一上·北京海淀·期末）若复数满足，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据共轭复数概念和复数加法求解即可. 【详解】根据题意，， 则. 故选：C 【例6-2】设复数，则 ． 【答案】2 【分析】根据共轭复数的定义及复数的四则运算法则计算即可. 【详解】根据共轭复数的定义可知，. 所以. 故答案为：2. 【例6-3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【详解】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2）是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 【变式6-1】（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知，则的虚部为（ ） A． B．i C． D．i 【答案】C 【分析】将通过分子分母都乘以分母的共轭复数，整理成的形式，求出，继而得到的虚部. 【详解】由题意可得，故，其虚部为． 故选:C． 【变式6-2】（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一下·上海·月考）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【详解】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 一、单选题 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2．已知复数z满足（i是虚数单位），则（   ） A．15 B．16 C．17 D．25 【答案】C 【分析】根据复数的乘除法运算法则和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 4．已知复数， 则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念得的虚部即可. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：C. 5．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 6．（2025高一·全国·专题练习）已知为虚数单位，以下选项不正确的是（ ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．复数，则 【答案】B 【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计算即得；对于D，根据复数乘法运算及复数的模判断. 【详解】对于A：因，则等价于， 等价于，即，故A正确； 对于B：由可得， 当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误； 对于C：因对于， ， 则， 于是，故C正确； 对于D： ，， ∴，故D正确. 故选：B. 7．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程有两个虚根得出判别式的范围，再利用求根公式求出两根，最后根据求出实数的值. 【详解】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 8．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法与加法运算计算即可. 【详解】因为 所以. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一下·河南开封·期末）已知复数，则下列复数中虚部为0的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用共轭复数的概念，复数的加法，减法，乘法，除法运算法则，逐项计算即可判断正误. 【详解】因为复数，所以，所以复数的虚部为0，故A正确； 因为复数，所以，所以复数的虚部为2，故B不正确； 因为复数，所以，所以复数的虚部为0，故C正确； 因为复数，所以， 所以复数的虚部为，故D不正确. 故选：AC. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的加法运算可得，结合选项逐项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 11．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及，设，， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误. 故选：BC 三、填空题 12．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】由， 得， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ． 【答案】 【分析】将代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案. 【详解】因是关于x的实系数方程的一个复数根， 则，则. 故答案为： 14．已知为虚数单位，为的共轭复数，若，则的虚部为 【答案】7 【分析】由复数乘法运算及共轭复数概念即可求解. 【详解】， 所以， 所以的虚部为7， 故答案为：7 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：由复数的运算法则，可得. （2）解：由复数的运算法则，可得. （3）解：由复数的运算法则，可得. （4）解：由复数的运算法则，可得 16．（24-25高一下·天津·月考）已知复数. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用复数的乘方、乘除运算化简复数； （2）由复数模长的求法求. 【详解】（1）； （2）. 17．（24-25高一下·河南商丘·期末）设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)或． (2)1或-1 【分析】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可. （2）将复数代入方程中得到关于的等式，然后可求得，进而求出结果. 【详解】（1）由题意知， 又为纯虚数，所以，解得或． （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，或， 所以，或． 18．（24-25高一下·贵州·月考）已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据复数几何意义得，再结合共轭复数概念、复数乘方运算以及复数模的计算公式即可得到答案； （2）根据复数的乘方和除法运算即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）由题设知， 则， 故. （2）由， 有， 由题设条件，知， 根据复数相等的定义，得，解得. 19．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元次复系数多项式方程有n个复数根（重根按重数计）. (1)在复数集中解方程：； (2)写出一个以为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程） (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值. 【答案】(1)，，， (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）将方程因式分解得，再利用一元二次方程求根公式进行求解即可. （2）根据代数基本定理可写出满足条件的一元六次多项式方程，化简可得结果； （3）设，分析的根，根据代数基本定理表示出，令列方程求解a，最后令求解. 【详解】（1）由题意得，， 即，解得、1或， 所以方程在复数集中的解为，，，. （2）以为根的一元六次实系数多项式为： 所以， 所以， 所以， 所以以为根的一个一元六次实系数方程为： . （3）设， 因为是一元十次实系数多项式，所以是一元十一次实系数多项式， 因为，所以， 所以有11个根， 根据代数基本定理，得， 即， 令，则， 所以，解得. 令，得， 所以，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $