8.1 基本立体图形（第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体） 讲义-2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

8.1 基本立体图形 （第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.通过感受大量的空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(重点) 2.在理解掌握简单几何体的结构特征的基础上，认识简单组合体的形成及其结构特征.(难点) 【例题精练】 【例1】下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 【例2】铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【例3】下列命题错误的是（ ） A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D．圆锥所有的轴截面都是等腰三角形 【例4】一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【例5】已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的半径. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列几何体中为台体的是（   ） A． B． C． D． 2．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 3．图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 4．下列说法正确的是（    ） A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 5．某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上，未使用时整卷卫生纸的直径为，其中中间空心纸筒的直径为；若该品牌卫生纸每张的厚度是，且某人每次使用长的卫生纸，则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为（    ） A．66 B．132 C．264 D．314 6．某同学将一个直角三角形硬纸板绕斜边所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体．测量出，上、下旋转面的面积比是，则（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 7．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 8．两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________. 10．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是_________尺. 四、解答题 11．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长. 12．已有OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M． (1)若，求圆M的面积； (2)若圆M的面积为，求OA． 【B组能力提升】 1．A，B，C是球面上三点，已知弦（连接球面上两点的线段），，，平面与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径． 2．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 3．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 4．已知圆锥SO的底面半径，高． (1)求圆锥SO的母线长； (2)圆锥SO的内接圆柱的高为h，当h为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 基本立体图形 （第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.通过感受大量的空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(重点) 2.在理解掌握简单几何体的结构特征的基础上，认识简单组合体的形成及其结构特征.(难点) 【例题精练】 【例1】下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据旋转体的定义选D 【例2】铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【答案】B 【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项. 【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球， 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱， 故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱， 故选：B. 【例3】下列命题错误的是 A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D．圆锥所有的轴截面都是等腰三角形 【答案】B 【分析】根据圆柱、圆锥和圆台的几何性质对选项逐一分析，由此确定命题错误的选项. 【详解】对于A选项，在圆柱中，过母线的截面都是矩形，高都相等，当底边为直径时，截面面积取得最大值，也即圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，故A选项命题正确.对于B选项，圆锥的轴截面面积为，其中为母线长，为圆锥两条母线所成角的最大值，由此可知，当时，轴截面面积最大，当时，必存在的截面，使得截面面积取得最大值，故B选项命题错误.根据圆台的几何性质可知，圆台的所有平行于底面的截面都是圆，故C选项命题正确.根据圆锥的几何性质可知，圆锥所有的轴截面都是等腰三角形，故D选项命题正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查圆柱、圆锥和圆台的几何性质，考查三角形的面积公式以及三角形面积的最大值，属于基础题. 【例4】一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【答案】(1)12cm (2)cm 【分析】（1）易求两圆的半径，利用圆台的轴截面是等腰梯形，再根据勾股定理即可算出圆台的高. （2）将等腰梯形的两腰延长相交得等腰三角形，其腰即为圆锥的母线长，利用相似三角形的知识即可求解. 【详解】（1）圆台的轴截面是等腰梯形，如图所示： 由已知可得上底半径，下底半径， 又腰长， 所以圆台的高为. （2）如图所示，延长交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由，可得， 解得：， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 【例5】已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的半径. 【答案】 【分析】根据球的截面性质，利用，分别求出球心到截面圆的距离，利用求解即可. 【详解】作出球的轴截面，如图所示： ∵两个平行截面的面积分别为， ∴两个截面圆的半径分别为. 又球心到两个截面的距离， . 故这个球的半径为3. 【点睛】本题主要考查了球的截面的性质，考查了运算能力与空间想象能力，属于中档题. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列几何体中为台体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接判断出各选项中几何体的形状，由此确定出台体. 【详解】A：圆锥，B：圆柱，C：棱台，D：球， 所以属于台体的只有棱台， 故选：C. 【点睛】本题考查空间几何体的辨识，难度较易. 2．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据圆锥定义可得结论. 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 3．图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【答案】B 【分析】根据图形中的形状和大小组成即可判断. 【详解】图①的底面为圆，侧面为扇形，所以①折叠后的图形是圆锥； 图②的底面为三角形，侧面均为三角形，所以②折叠后的图形是棱锥． 故选：B. 4．下列说法正确的是（    ） A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 【答案】C 【分析】利用旋转体的结构特征即可求解． 【详解】解：Ａ．因为直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体可能不是圆锥，故错误； B．夹在圆柱的两个截面间的几何体不一定是一个旋转体，故错误； C．正确； D．通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误． 故选：C． 5．某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上，未使用时整卷卫生纸的直径为，其中中间空心纸筒的直径为；若该品牌卫生纸每张的厚度是，且某人每次使用长的卫生纸，则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为（    ） A．66 B．132 C．264 D．314 【答案】B 【分析】根据题意求整卷卫生纸的长度，进而可得结果. 【详解】该卷筒卫生纸的层数， 最里一层的周长为cm，最外一层的周长为cm， 整卷卫生纸的长度为， 所以他可用的次数约为（次）. 故选：B. 6．某同学将一个直角三角形硬纸板绕斜边所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体．测量出，上、下旋转面的面积比是，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】设与的交点为，，， 则，，． 由是直角，得，即，得①， 由上、下旋转面的面积比是，得，即，所以②， ①②两式联立，整理得，解得（负值舍），则（负值舍）， 所以，则． 二、多选题 7．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 【答案】ACD 【分析】根据用一个平面去截旋转体均可以得到圆面，平面截棱柱得到的截面为一个多边形，即可求解. 【详解】根据旋转体的定义，可知用一个平面去截圆台、圆柱、球均可以得到圆面， 根据棱柱的定义，可知平面截棱柱得到的截面为一个多边形，一定不会产生圆面， 故选：ACD. 8．两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对两个平行平面在球心的同侧和异侧两种情况讨论，计算出球心到两截面的距离，进而可求得两平面间的距离. 【详解】如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧， 则； 如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧， 则. 故选：AD. 【点睛】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质“与底面全等或相似”，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面“轴截面”的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组，进而得解. 三、填空题 9．某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________. 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径，进而可求面积. 【详解】因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长，该圆柱底面圆半径为，故该圆柱一个底面的面积. 故答案为： 10．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是_________尺. 【答案】 【分析】利用圆柱的展开图，由勾股定理求解即可. 【详解】解：如图： 一条直角边（即圆柱体的高）长(尺)，另一条直角边长(尺)， 根据勾股定理可知葛藤的最短长度为尺. 故答案为： 四、解答题 11．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长. 【答案】，. 【分析】设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，由题意可知下底面半径为，，，解方程组可求得结果 【详解】解：设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，由题意可知下底面半径为. 因为轴截面的面积等于，所以. 因为母线与轴的夹角是，所以，. 解得，. 12．已有OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M． (1)若，求圆M的面积； (2)若圆M的面积为，求OA． 【答案】(1); (2)2. 【分析】（1）根据球的半径、圆的半径、球心到圆心的距离构成直角三角形即可求解； （2）由圆的面积得出球的半径，再由上述直角三角形即可求出球的半径得. 【详解】（1）过球心作截面，如图， 因为， 所以, 即圆M的半径为， 圆M的面积为， （2）因为圆M的面积为， 所以圆M的半径. 设球的半径为R, 则， 解得， 所以 . 【B组能力提升】 1．A，B，C是球面上三点，已知弦（连接球面上两点的线段），，，平面与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径． 【答案】 【分析】由三角形三边长度，结合勾股定理可得是直角三角形，为斜边，所以外接圆圆心落在的中点，且有过A，B，C三点的平面截球O得圆的半径为，在中，使用勾股定理即可求得球的半径. 【详解】设球心为，的外接圆的圆心为，如图所示， 因为， 所以是直角三角形，为斜边， 所以的外接圆圆心是的中点， 过A，B，C三点的平面截球O得圆的半径为， 在中，， 所以，所以， 所以，即球的半径为． 2．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 3．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 4．已知圆锥SO的底面半径，高． (1)求圆锥SO的母线长； (2)圆锥SO的内接圆柱的高为h，当h为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大值． 【答案】(1)13 (2)；最大值为30 【详解】（1）∵圆锥SO的底面半径，高， ∴圆锥SO的母线长； （2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示， 其中，，． 设圆柱底面半径为r，则，即． 设圆柱的轴截面面积为． ∴当时，有最大值为30． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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