精品解析：上海市上海中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（B卷）

2024~2025学年上海市上海中学高一下学期3月月考卷（B卷） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 3. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 把时钟拨快1小时，则时针走过的弧度数是_____________. 2. 已知，则可用k表示为____________. 3. 已知，且，则___________. 4. 在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是_________. 5. 化简：_________． 6. 已知，，则的值为_________． 7. 已知集合，集合，则__________． 8. 若实数x满足，则cosx的取值范围为__________． 9. 命题：的充要条件为________ 10. 对于单位圆上任意截取两点连接圆心构成的扇形，其弧长与面积的比值为__________． 11. 已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为______． 12. 已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则_________． 13. “”是“”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 若，则化简结果是（ ） A. B. C. D. 15. 关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，则下列叙述正确的有（ ）个. ①； ②； ③； ④有意义的条件是； ⑤. A 0 B. 1 C. 2 D. 3 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 记的内角所对的边分别是，且满足. （1）证明：； （2）若的面积为，求； 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意都有，求实数t取值范围． 19. 已知，其中，都是常数，且满足. （1）当，时，求的取值范围； （2）是否存在，，使的值是与无关的定值?若存在，求出，的值；若不存在，说明理由. 20. 已知函数，．若对于给定非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为． （1）已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值； （2）在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 21. 已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” （1）已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； （2）若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； （3）是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年上海市上海中学高一下学期3月月考卷（B卷） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 3. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 把时钟拨快1小时，则时针走过的弧度数是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得角度，结合角度和弧度的相互转化，即可求得结果. 【详解】时钟拨快1小时，则时针顺时针旋转， 故走过的弧度数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查角度和弧度的转化，属简单题. 2. 已知，则可用k表示为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角关系即可求解. 【详解】由可得， 故，且， 又， 故， 故答案为： 3. 已知，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用两角和差公式分析求解. 【详解】因为， 由题意可得，即， 且，可知. 故答案为：. 4. 在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解. 【详解】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 5. 化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用诱导公式和两角和差公式分析求解. 【详解】原式 . 故答案为：. 6. 已知，，则的值为_________． 【答案】##0.96 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合角的范围确定的值，利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】由， 得，则，即， 由于，故，结合， 可知， 故， 故答案为： 7. 已知集合，集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数、余切函数的定义求出集合，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】集合， 集合， 则，所以. 故答案为： 8. 若实数x满足，则cosx的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分段考虑去掉绝对值，求出方程的解集，再利用余弦函数的单调性即得. 【详解】对于， 当时，可得，解得，舍去； 当时，可得恒成立，故； 当时，可得，解得，舍去. 综上可得，，即， 因函数在时为增函数，故得. 故答案为：. 9. 命题：的充要条件为________ 【答案】{} 【解析】 【分析】使、有意义以及分母不为0即可. 【详解】欲使有意义， 则，且，且即， 则且，其中 则的取值范围为{} 故答案为：{} 10. 对于单位圆上任意截取两点连接圆心构成的扇形，其弧长与面积的比值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积的公式运算求解. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为1， 则其弧长，面积， 所以弧长与面积的比值为. 故答案为：2. 11. 已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数， ∴ 考点：同角三角函数关系，消参数 12. 已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可得，，从而可求的m的值，举例可得n的值，即可得出答案. 【详解】由为锐角，得，当且仅当时取等号， 同理，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 则， 因此不可能有3个数都大于，即最多2个数大于，例如，； 取，则， 因此三个数均可能小于，则； 所以. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式推导得到是求解的关键. 13. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先考查充分性，再考虑必要性得解. 【详解】当时，，但是当时，分母为零，没有意义. 所以“”是“”的非充分条件； 当时，. 所以， 所以“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简，结合三角函数的性质判断正负即可求解. 【详解】， 由于，所以，故，, 故， 进而， 故选：D 15. 关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④. 【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误； 因为， 所以函数为偶函数， 因为， 所以函数为偶函数，故①正确； 因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为， 所以是以为周期的周期函数，故②正确； 因，所以，即， 因为，所以，即，故④错误， 所以正确的个数有个. 故选：B. 16. 在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，则下列叙述正确的有（ ）个. ①； ②； ③； ④有意义的条件是； ⑤. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用题目给出的定义结合正余弦和正切的运算逐项判断即可. 【详解】对①,，故①错误； 对②，，故②正确； 对③，， ，即；故③正确； 对④ 故④错误； 对⑤，，故⑤正确. 综上，正确的有 ②③⑤三个. 故选：D 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 记的内角所对的边分别是，且满足. （1）证明：； （2）若的面积为，求； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和、差的正弦公式化简后可证. （2）根据正弦定理可将面积转化为角的三角函数关系式，化简后可得，结合（1）中结果可求. 【小问1详解】 由得， 则， 得， 若，则， 则均为直角，与题设矛盾， 故，故， 故，故. 【小问2详解】 ， 所以，则， ， 从而， 又，从而，， 所以. 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意都有，求实数t的取值范围． 【答案】（1）单增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由整体法求增区间； （2）由题设知，结合给定闭区间列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由， 令，则， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，则，故， 又，则，所以，即. 19. 已知，其中，都是常数，且满足. （1）当，时，求的取值范围； （2）是否存在，，使的值是与无关的定值?若存在，求出，的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存，， 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，代入，，结合余弦函数的有界性分析求解； （2）根据题意结合（1）的解析式分析可得，结合，的取值范围分析求解. 【小问1详解】 由题意可得： ， 若，， 则， 因为，可得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 存在，，，理由如下： 由（1）可知：， 若是一个与无关的定值， 可知，此时为常数． 即，两式平方相加得：， 且，则， 可得或， ①若，即， 由得， 则，且，可得或， 可得(经检验满足方程)，或（舍去）， ②若，即， 由得， 则，且，可得或， 可得或（舍去）， 将代入检验不成立； 综上所述：，. 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简，结合题意可得，进而求方程组即可. 20. 已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为． （1）已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值； （2）在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，代入求解即可； （2）画出的图象，数形结合得到实数的取值范围； （3）由题意得到，分或，两种情况，得到对应的值. 【小问1详解】 ，且当时，， 故； 【小问2详解】 ，当时，， ……， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ……， 画出的图象如下： 设当时，，即， 解得或， 因为，所以， 对任意，都有，故 故实数的取值范围是， 【小问3详解】 假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数， 即，， 因为的值域为，而， 故，解得或， 当时，，故， 当时，，故， 综上，或. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 21. 已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” （1）已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； （2）若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； （3）是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）1 （2），其中 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得，再分类讨论论求出，最后利用正弦定理化简即可求出； （2）从特殊值入手，当时求出，再对任意性进行检验； （3）假设其存在性，再讨论满足题意的所有情况，然后再分类讨论并检验. 【小问1详解】 因角A与自己本身互为“x级绝配角”，则， 因，则，故，则，则， 在中利用正弦定理，则化简为， 即， 在中，，则， 得，若，则， 则角均为钝角，不满足题意；若，则， 则角均为锐角，满足题意，故. 【小问2详解】 对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”， 则对，，有或，其中为常数， 若，由的任意性可得， 取，则； 取，则，故，其中为整数； 取，则，故，其中为整数； 故，矛盾； 故， 则当时，，则， 检验：当时，，若，则为任意整数均可；若，则为整数， 故而当时，对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”. 【小问3详解】 不存在，理由如下： 假设存在，存在整数使得其角均互为“x级绝配角”， 若互为“x级绝配角”有或①； 若互为“x级绝配角”有或②； 若互为“x级绝配角”有或③， 则角均互为“x级绝配角”时，则角在①②③中各满足1个， 共8种情况，由于三个字符的轮换性，故而只需研究以下两类即可， 即，或, （i）若， 因，则均正数， 则， 由，则，则， 因函数在上单调递减，则，故均为锐角， 则化简为， 则，则或（舍）， 故， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. （ii）若， 若角为钝角，则由可得，， 则由，得，则角为钝角，不符合题意， 故为锐角三角形且； 又 ， 则，即，则， 将其代入中得， ，， 则为等边三角形， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互“x级绝配角”. 综上，不存在三角形，使存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$