精品解析：上海市行知中学2025-2026学年第二学期5月月考高一年级数学试卷

2026年行知高一下5月月考数学试卷 一､填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 设复数，则它的虚部是_________ 【答案】-4 【解析】 【分析】复数的虚部是标准形式中虚数单位的系数． 【详解】因为 ，所以复数的虚部是． 2. 函数的最小正周期为_________ 【答案】 【解析】 【详解】函数的最小正周期为. 3. 已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合单位向量的计算方法，即可求解. 【详解】由点，，可得，则 则与向量同向的单位向量的坐标为 . 4. 函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 5. 过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 6. 若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量数量积定义求出，再展开向量点积表达式，代入已知模长与数量积的值计算结果. 【详解】由向量数量积定义，得. . 7. 若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图， 由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 8. 已知复数，满足，其中为虚数单位，表示的共轭复数，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】，所以， 又，所以，即 ， 所以， 所以 是以为首项，为公差的等差数列， ， 是的摆动数列，则 ， 所以. 9. 函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 【答案】5 【解析】 【分析】先由函数的奇偶性与对称性推出周期，再计算一个周期内的函数值之和，最后利用周期性对所求求和式进行化简计算. 【详解】由为奇函数，得. 由，得， 故，即的周期为. ，，，. 因此，一个周期内的和为. ，故. 代入得. 10. 已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，先求出点坐标，再利用向量的数量积的坐标运算，以及基本不等式的计算可得. 【详解】由， 则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设，，则，，，， 又， 其中是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， ，即， ， ， ， 当且仅当时取“”， 故的最大值为. 11. 已知数列的前项和，若不等式对任意正整数都成立，则整数的最大值为______ 【答案】2 【解析】 【分析】先根据计算得出，再代入结合数列的单调性得出最大值即可求解不等式. 【详解】当时，，得， 当时，， 又， 两式相减得，得， 所以． 又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ，即． 因为，所以不等式，等价于． 记， ， 当时，，当时，， 综上，， 所以，所以整数的最大值为2． 12. 已知，不等式在中的整数解有个，则所有取值的集合为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，数形结合讨论范围研究不等式整数解个数，即可得. 【详解】由， 得，得， 对于，周期为，且，， 所以在一个周期内的大致图象如下，注意， 由，易知在区间上的图象与区间上的图象相同， 结合图象知，在中，与区间上的图象相同的区间有个， 在中与区间上的图象相同的区间有个， 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 综上，所有取值的集合为 二､选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数则实数（ ） A. 0 B. C. 或0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数为纯虚数， 所以有 . 14. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】两个复数一般不能比较大小，只有两个数都是实数时才能比较大小，由此规律对“”与“”的关系进行研究即可得解. 【详解】因为、是两个复数，若“”成立，则是正实数， 此时两复数可能是实数也可能是虚部相等的虚数，故不能得出“”， 若“”成立，则都是实数，故可得出“”， 即“”是“”的必要非充分条件， 15. 设函数的图像与直线及x轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则在上的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，作图，根据对称性，可求解 【详解】 如图，，根据对称性，， 所以，阴影部分面积之和为， 所以，在上的面积为 故选：B 16. 设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“数列”； B. 若是“数列”，则可能为常数列： C. 若是“数列”，则不存在正整数，满足； D. 对任意，若，且满足，则是“数列”. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例可判断D. 【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 所以，即是“数列”，故A正确； 对于B，当时，，成立， 即是“数列”时，可能为常数列，故B正确； 对于C，若是“数列”，则，且， 所以， 则， 故，由题意知当，， 结合，得， 因此不存在使，C正确； 对于D，取，，满足， 则，，而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 三､解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 若直线与平行，求的值. 18. 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】17. 3或5 18. 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行求出； （2）利用到角公式求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，求出其与轴，轴的交点坐标，求出所围成的三角形面积. 【17题详解】 因为直线与平行， 所以. 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 【18题详解】 在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 19. 已知函数，将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最小值为 （1）求的值； （2）在锐角三角形中，若对所有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式和辅助角公式化简，利用变换得出，结合三角函数求最值即可； （2）根据最值求出，结合锐角三角形求出，最后利用三角函数求范围. 【小问1详解】 ， 将的图象向左平移个单位，可得： ， 已知，则， 根据正弦函数的性质，在上单调递减， 所以当，即时，取得最小值. 因为在区间内的最小值为，所以，解得. 【小问2详解】 因为对所有恒成立，所以是的最大值. 由（1）可知， 当 时，取得最大值，即. 因为是锐角三角形，所以，则， 因为是锐角三角形，，所以，得，则， 则. 20. 已知的实系数一元二次方程. （1）若复数是该方程的一个虚根，且 ，求复数z： （2）记方程的两虚根为和，若，且，求实数的值： （3）在（2）的前提下，对任意，存在使得 成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的模的性质及复数相等求解即可； （2）根据复数的加减乘法运算及实系数一元二次方程的韦达定理得解； （3）分离参数，转化为存在，使成立，再由函数求最大值即可. 【小问1详解】 设，由题意知也是方程的一个虚根， 由得. 因为 ，所以 ，解得， 故. 【小问2详解】 设，则，得. 由 得. 因为，所以， 所以. 【小问3详解】 当时， ，存在使 ， 即存在，使成立 . 因为 在上单调递增，所以当时，， 所以，即，故的取值范围是. 21. 平面直角坐标系中，已知为坐标原点，，对任意正整数，均有. （1）求点的坐标； （2）设，数列的前项和为，求； （3）如图，过点作线段，使为中点，且，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用可得点的坐标，再由可得点的坐标； （2）由得到的坐标，再由计算得到通项公式，最后由等差数列和等比数列的前项和公式计算得到结果； （3）计算从而设的横纵坐标分别为和，利用中点坐标公式表示点坐标，从而得到和的坐标，最后利用数量积的坐标公式和辅助角公式得到最终结果. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为， 所以. 【小问2详解】 由题目结合等差数列和等比数列前项和公式可知， ， 所以， 所以. 【小问3详解】 由，， 设，所以， 令，. 由为线段中点得，， 所以，， 所以， . 22. 已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． （1）判断和证明是否是关联？ （2）若是（3）关联，当时，，解不等式； （3）证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 【答案】（1）是关联， 任取，若， 则， 是关联． （2） （3）证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联； 充分性： 对任意，故， ，故 ， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设 ，则， 由关联可得 ， 由结合关联可得， ， 综上，任取均满足， 即是关联． 【解析】 【分析】（1）根据关联定义，结合已知条件证明结论； （2）根据关联定义，结合已知条件作出大致图象，结合图象解不等式； （3）根据关联定义，结合已知命题分别证明必要性和充分性，进而证明结论． 【小问1详解】 是关联，证明：略 【小问2详解】 依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年行知高一下5月月考数学试卷 一､填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 设复数，则它的虚部是_________ 2. 函数的最小正周期为_________ 3. 已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 4. 函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 5. 过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 6. 若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 7. 若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 8. 已知复数，满足，其中为虚数单位，表示的共轭复数，则_________. 9. 函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 10. 已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 11. 已知数列的前项和，若不等式对任意正整数都成立，则整数的最大值为______ 12. 已知，不等式在中的整数解有个，则所有取值的集合为_________ 二､选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数则实数（ ） A. 0 B. C. 或0 D. 1 14. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 15. 设函数的图像与直线及x轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则在上的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“数列”； B. 若是“数列”，则可能为常数列： C. 若是“数列”，则不存在正整数，满足； D. 对任意，若，且满足，则是“数列”. 三､解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 若直线与平行，求的值. 18. 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 19. 已知函数，将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最小值为 （1）求的值； （2）在锐角三角形中，若对所有恒成立，求的取值范围. 20. 已知的实系数一元二次方程. （1）若复数是该方程的一个虚根，且 ，求复数z： （2）记方程的两虚根为和，若，且，求实数的值： （3）在（2）的前提下，对任意，存在使得 成立，求实数的取值范围. 21. 平面直角坐标系中，已知为坐标原点，，对任意正整数，均有. （1）求点的坐标； （2）设，数列的前项和为，求； （3）如图，过点作线段，使为中点，且，求的取值范围. 22. 已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． （1）判断和证明是否是关联？ （2）若是（3）关联，当时，，解不等式； （3）证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $