山东潍坊市2026年初中学业水平考试复习自测数学试题

**基本信息** 本试卷以核心素养为导向，融合《九章算术》文化素材、“微言教育”播放量等现实数据及小球速度实验情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、图形变换、三视图、概率、分式方程|结合13.4亿数据考查科学记数法，体现数据意识| |填空题|5/15|因式分解、坐标平移、圆锥高、相似三角形、动点最值|“海螺”图案相似三角形应用，考查空间观念| |解答题|8/75|统计分析、函数应用、几何作图、圆的切线、旋转探究|旋转探究题融合推理能力，监控盲区问题体现应用意识|

九年级数学 2026.06 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合要求） 1．下列各数是负无理数的是 A. B. -3 C.0 D. 2．下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B C D 3．右图是某几何体的三视图，则这个几何体是 A.圆锥 B.三棱锥 主视图 左视图 C.四棱锥 D.三棱柱 4．《教育部政府门户网站工作年度报表》中显示，2025年“微言教育”视频号、抖音、快手、B站四平台全年发布视频2355条， 俯视图总播放量13.4亿。数据13.4亿用科学记数法表示为 A. B. C. D. 5．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个大小相同质地均匀的小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额之和小于50元的概率是 A. B. C. D. 6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马速度的倍，求规定时间。设规定时间为x天，则下列方程正确的是 A. B. C. D. 7．已知关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 A. a≥1 B. a<1 C. a≥1且a≠2 D. a>1且a≠2 8．在平面直角坐标系中，直角三角板AOB摆放如图所示， 直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图象上。若点B坐标为（2,-6)，则k的值是 A. 4 B.-4 C. -3 D.3 9．如图，AC是半圆O的一条弦，弧AC沿弦AC折叠后恰好经过圆心O，半径OB=2,则图中阴影部分的面积为 A. B. C. D. 10．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成。在正方形ABCD 中，AB=10，下列结论：①若，则EF=2;②；③若RtΔABG 的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；④将ΔABG绕点A 逆时针旋转90°得到，则。以上正确的是 A. ①④ B. ①③ C.②④ D. ③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解： 。 12．在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A(3,2),B(5,1)，将线段AB 平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（-3,4)，则点B的对应点D的坐标是 。 13．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为4π的扇形，则圆锥的高h 为 。 14．如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成“海螺”图案，已知点A的坐标为(1,0), ，则点G的坐标为 。 15．如图，在矩形ABCD中， AB=8, AD=6，矩形内部有一动点P满足矩形ABCD，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为 。 三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题8分） （1）计算： （2）先化简： ，再从-1,0,1中选择一个合适的数作为a的值代入求值 17.（本题8分） 某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项，为了解学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下不完整的统计表。 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 12 10 a 8 5 （1）表格中a的值为 ; （2）若该校有1200名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队。已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试都进行10次投篮并以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学？为什么？ 18.（本题8分） 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度y(m/s）与时间x(s）之间的关系的图象如图②所示。 图① （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）该小球滚动多长时间，速度为3m/s？ （3）求小球在整个运动过程中所滚动的路程。（在速度和时间坐标系中，图象与横轴所围成的面积表示路程）。 19.（本题10分） 如图，在ΔABC中， AB=BC，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交BC于点E，交AC于点F； ②以点A为圆心，CE长为半径画弧交AC于点H； ③以点H为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④作射线AG； ⑤以点A为圆心，AB长为半径画弧交射线AG于点D，连接CD，得四边形ABCD。 （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）顺次连接D,F,B,H，得四边形DFBH，若, 求四边形DFBH的面积。 20.（本题10分） 如图，PA与OO相切于点M，连接OM,OP与OO相交于点C，过点M作弦MN LOP交OP于点H，连接PN。 （1）求证：PN是OO的切线； （2）若OC=5 PH=6，求CH的长。 21.（本题9分） 如图1，某超市在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），为测试监控盲区做了如下实验：小亮站立在摄像头正前方MN的位置（将小亮视为线段MN)，摄像头的视角上限OA恰好经过小亮的头顶M点，摄像头的视角下限OB交地面所在直线O'C于点B，若摄像头离地面距离米（OO＇垂直于地面所在直线O'C)，其视角，摄像头的视角下限OB与OO＇形成的夹角，小亮身高MN为1.5米。 图1 图2 （1）小亮向摄像头的方向走米后，将完全进入摄像头的视野盲（参考数据： 】 （2）如图2，为解决摄像头盲区问题，超市打算在平行于直线O＇℃的天花板OD上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角ZOPB完全覆盖（1）中的视野盲区，则点P到点O的距离OP至少多少米？（图中所有的点均在同一平面内，参考数据： ) 22.（本题11分） 已知y与x满足二次函数（m为常数）。 （1）若点（4,1）在该函数图象上，则m= ; （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （3）若该函数图象上有两个点，当时，请直接写出p的取值范围。 23.（本题11分） 如图1，在ΔABC中， AB=CB, ，将ΔABC绕点C顺时针旋转一定角度得到。连接AA',BB'，两线段所在直线相交于点D，设，请探究α的度数及A'D与AD的数量关系。具体过程如下： 图1 图2 图3 （备用图） （1）【特例感知】如图2，当A,C,B＇三点共线时： ①α= ; ②若，则 。 （2）【猜想证明】猜想α的度数及-A'D与AD的数量关系，并结合图1进行证明。 （3）【拓展应用】如图3，已知AB=8cm，在旋转的过程中，若，请直接写出线段B'D的长。 九年级数学试题答案 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B D B C A C B 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.， 12．（-1，3）， 13． ， 14．， 15． 三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题8分） （1）解： =……………………………………………………………………2分 =……………………………………………………………………………3分 （2）解： =……………………………………………………1分 = =………………………………………………………………2分 =……………………………………………………………………………3分 因为， 所以………………………………………………………………………4分 把代入 原式= = ....................................................................................................................5分 17．（本题8分） （1）9.............................................1分 （2）解：（人） 答：估计该校参加足球活动的学生人数约为144人。..................................4分 （3）解：选择乙，.......................................................................5分 理由：由图知，，， ∴，..................................................................................7分 ∵乙的六周成绩呈上升趋势，一直在进步，说明乙的潜力大， ∴选拔乙同学。.................................................................................8分 （∵甲的成绩更稳定，∴选甲。言之有理即可） 18. （本题8分） （1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ∴k=2，∴y=2x，..........................................................................................................1分 当时，， 即点坐标为，...........................................................................................2分 设AB所在直线的函数表达式为， 把A（2，4），B（7，0）代入 得 解得 ∴AB所在直线的函数表达式为。.......................................................3分 （2） 解：OA所在直线的函数表达式为； 当时，3=2x， 解得x=1.5，..........................................................................................................4分 所在直线的函数表达式为； 依题意，当y=3时，, 解得x=3.25，............................................................................................................6分 ∴小球在滚动过程中速度为3m/s时所经历的时间为1.5s或3.25s。 （3） 解：点坐标为，两条函数表达式图象与横轴围成的三角形面积为 S=， ∴小球在整个运动过程中所滚动的路程为14m。..........................................................8分 19．（本题10分） （1）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：............................................1分 由作图得，， AD=AB=BC， ∴ ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC ∴四边形ABCD是菱形；...................................................................................4分 （2）解：连接BD，交AC于点O ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=AB，，， ∴， 由作图得， ∴ ∴DF=BH，∠CFD=∠AHB， ∴∠DFH=∠BHF， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ∴平行四边形为菱形..................................................................................7分 ∵∴， ∴△CBD为等边三角形，∴OB=BD=BC， 又∵,, ∴，………………………………………………………………………8分 在Rt△COB中，， 即: ,∴OB=2，BD=4，……………………………………9分 ∴.................................................................................10分 20．（本题10分） （1）证明：连接ON ∵PA与⊙O相切于点， ∴MN⊥OP，且OC为半径，∴OP垂直平分MN， ∴MP=NP， ∵OM=ON，MP=NP，， ∴，…………………………2分 ∴∠PNO=∠PMO=90°， ∴ON⊥PN……………………………………………………3分 ∵ON是⊙O的半径 ∴PN是⊙O的切线；……………………………………4分 （2）∵OC=5,PH=6, 设CH=x,则OH=5-x，OP=11-x， ∵∠PMO=∠MHO，∠MPO=∠OPM， ∴△OMH∽△OPM，……………………………………7分 ∴，∵OM=OC=5， ∴ 解得，………………………………………………………… 9分 ∵CH＜OC， ∴CH=………………………………………………………………10分 21．（本题9分） （1）………………………………………………………………4分 （2）解：如图，过点B作，垂足为F， 由题意可得，四边形为矩形， 且， ，， ，， 在中，，， ，………………………………7分 在中，，， ， ，， ， ，， ， ∴点P到点O的距离至少要为米。………………………………9分 22．（本题11分） （1）解：将（4，1）代入， 得： ........................................................................2分 解得m=-2， .........................................................................................................3分 （2）解： = =…………………………5分 ∵， ∴，...................................................................................................6分 ∴， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；..........................................................7分 （3）解：的对称轴为直线x=-m，..........................8分 ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴，...............................................................10分 即， ∴p＞2或p＜-2………………………………………………………………11分 23. （本题11分） （1）解：①..........................................................................................2分 ②..........................................................................................4分 （2）解：猜想：，．理由如下：.......................................5分 如图，分别过点A，作的垂线，垂足为Q和P， 根据旋转可得，， ， 又 .........................................................................6分 又 .........................................................................................................7分 设， 由旋转可知，，． 。 ，． 是的一个外角， ， 故的度数为。...................................................................................9分 （3）线段的长为或。............................................................11分 学科网（北京）股份有限公司 $