江西宜春赣西学校2025-2026学年高二下学期5月素养测试数学试题

**基本信息** 高二5月数学素养测试结合生态治理等现实情境，通过基础巩固（集合、数列）、能力提升（导数应用）、创新应用（伴随数列新定义）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、等差等比数列、导数定义|第6题以生态治理为背景，融合等比数列求和与等差数列应用| |多选题|3/18|等比数列性质、函数极值、新定义“凸数列”|第10题通过“凸数列”定义考查周期数列推理| |填空题|3/15|导数应用（体积优化）、等差数列前n项和|第12题长方体体积优化，体现数学建模解决实际问题| |解答题|5/77|导数几何意义、运动方程、数列递推、函数不等式证明|第19题“伴随数列”新定义，结合函数与数列综合考查创新思维|

高二5月数学素养测试 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题(共40分) 1.(本题5分)已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.(本题5分)已知是等差数列,且,,此数列的首项与公差依次为( ) A.19, B.21, C.15, D.16, 3.(本题5分)函数的导函数( ) A. B. C. D. 4.(本题5分)定义在上的函数,则( ) A. B. C.2 D.4 5.(本题5分)已知为等差数列,为等比数列,,则( ) A.4 B.7 C.8 D.15 6.(本题5分)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开,二十大报告提出:尊重自然、顺应自然、保护自然,是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念,站在人与自然和谐共生的高度谋划发展.某市为了改善当地生态环境,计划通过五年时间治理市区湖泊污染,并将其建造成环湖风光带,预计第一年投入资金81万元,以后每年投入资金是上一年的倍;第一年的旅游收入为20万元,以后每年旅游收入比上一年增加10万元,则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为( ). A.781万元,60万元 B.525万元,200万元 C.781万元,200万元 D.1122万元,270万元 7.(本题5分)若函数在区间有两个不同的极值点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.(本题5分)已知是定义在上的奇函数,是函数的导函数且在上,若,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题(共18分) 9.(本题6分)已知正项等比数列的公比为,是其前项和,若,且,则( ) A. B.是数列中的项 C. D.,,成等差数列 10.(本题6分)在数列中,若,则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”,且,,设数列的前项和为,则( ) A. B. C. D. 11.(本题6分)设函数,则( ) A.有三个零点 B.是的极小值点 C.当时, D.曲线上存在无数多对互相平行的切线 三、填空题(共15分) 12.(本题5分)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为,当长方体的体积最大时,该长方体的长为_m. 13.(本题5分)设两个等差数列的前项和分别为,若对任意正整数都有,则的值为_. 14.(本题5分)若直线与曲线相切,则的最小值为_. 四、解答题(共77分) 15.(本题13分)已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 16.(本题15分)已知某物体的运动方程为(位移的单位:m,时间的单位:s). (1)求该物体在内的平均速度; (2)求该物体的初速度; (3)求该物体在时的瞬时速度. 17.(本题15分)已知数列满足. (1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式; (2)若,求数列的前项和. 18.(本题17分)已知函数,且. (1)求的值; (2)若. ( )求在上的最大值和最小值; ( )若使得成立,求实数m的取值范围. 19.(本题17分)已知函数,若存在数列满足.称是的“伴随数列”,称为数列的“伴随函数”. (1)若数列的“伴随函数”,求最小的正数的值,使得数列为等比数列. (2)若某数列的“伴随函数” ,证明:; (3)若某数列的“伴随函数”,已知,证明:. 试卷第4页,共4页 试卷第1页,共4页 学科网(北京)股份有限公司 《高二5月数学学科训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A B C C B ABD AC 题号 11 答案 BCD 1.B 【详解】因为, 所以或, 所以. 2.A 【详解】设等差数列的公差为,由,, 可得,解得, 所以数列的首项与公差依次为. 3.D 【详解】因为,, 所以函数的导函数. 4.A 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】 5.B 【分析】设出公差与公比,由题中所给条件列方程组即可求出公差与公比,即可得解. 【详解】设的公差为,的公比为, 则由题可知,有,解得或(舍去),则, 因此. 故选:B. 6.C 【分析】根据等差数列和等比数列前项和求解即可. 【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81,公比为,项数为5的等比数列, 所以这五年投入的资金总额是(万元). 由题意知这五年的旅游收入构成首项为20,公差为10,项数为5的等差数列, 所以这五年的旅游收入总额是(万元). 故选:C. 7.C 【分析】对函数求导后,由题意可知导函数在有2个不同的零点,从而可得方程有两个不同的实根,再结合二次函数的性质可求得结果. 【详解】函数的定义域为, ,在有两个不同极值点. 分母恒成立,令在上有两个不同的正实根. 函数,两个不同根都在需满足: ①判别式,结合得; ②对称轴,解得. ③区间端点,解得;恒成立. 综上,. 8.B 【分析】设,求导并利用导数结合的单调性和奇偶性分析的单调性和奇偶性,从而转化不等式为,进而求出实数的取值范围. 【详解】设,则, 又在上,,则, 函数在上单调递减, 又是定义在上的奇函数,则, ,即, 函数为上的奇函数, 在上单调递减, 又, ,即, ,解得. 9..ABD 【分析】由已知结合等比数列的通项公式求出,然后结合等比数列与等差数列的性质及求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列的公比为,,且, 则, 即,即或舍,A正确; 因为,则,, 令,则,是数列的第项,B正确; ,C错误; 因为,,则,所以,,成等差数列,D正确. 10.AC 【分析】首先根据“凸数列”的定义推导递推关系,计算数列前几项确定周期,结合周期性质判断各项值与前项和即可. 【详解】由“凸数列”定义,移项得递推公式:, ,则, 已知, 则,, ,, 可得数列是周期为6的周期数列,且一个周期的和。 选项A:由计算得,正确; 选项B:由计算得,错误; 选项C:,故,正确; 选项D:,错误. 11.BCD 【详解】对于A,令,解得或,所以有两个零点,A错误; 对于B, , 所以当时,,当时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 所以是的极小值点,B正确; 对于C, , 当时,,所以, 所以当时,,C正确; 对于D,, 所以对于任意的实数,都有两个解, 所以曲线上存在无数多对互相平行的切线,D正确. 12.2 【分析】设长方体的宽为,体积为,则,利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】设长方体的宽为,则长方体的长为,故长方体的高为, 则解得,设长方体的体积为, 所以, 则,令,解得,令,解得, 故在区间上单调递增,在区间上单调递减, 所以在处取得极大值,也是最大值,此时长为. 故答案为:2 13. 【分析】根据等差数列下标和的性质以及前项和公式求得正确答案. 【详解】因为为等差数列, 所以. 14./ 【分析】利用相切构造方程①,利用导数的几何意义构造方程②,联立①②得出关系,一元化,求最小值. 【详解】已知直线与曲线相切,设切点横坐标为, 则①, 曲线求导得,则②,解得, 代入①得,,故, , 当时,取得最小值,最小值为. 15.(1) (2)单调递增区间为和,单调递减区间为. 【详解】(1), 由得曲线在点处的切线方程为; (2)由得或;得; 故的单调递增区间为和,单调递减区间为. 16.(1) (2) (3). 【分析】(1)根据平均速度的概念求平均速度. (2)根据求初速度. (3)根据求该物体在时的瞬时速度. 【详解】(1)因为该物体在内的时间变化量, 该物体在内的位移变化量, 所以该物体在内的平均速度为. (2)求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度. 因为该物体的位移在附近的平均变化率. 当无限趋近于0时,无限趋近于, 所以该物体的初速度为. (3)该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率. 因为该物体的位移在附近的平均变化率, 当无限趋近于0时,无限趋近于, 所以该物体在时的瞬时速度为.. 17.(1)证明见解析, (2) 【分析】(1)根据递推公式和等差数列定义以及等差数列通项公式证明、求解即可; (2)表示出数列的通项公式,然后利用裂项相消法求解即可. 【详解】(1)证明:显然,对两边同时取倒数, 得,即, 所以数列是公差为2的等差数列, 又,所以, 所以. (2)因为, 所以, 则数列的前项和 所以. 18.(1) (2)( )最大值为,最小值为;( ) 【分析】(1)对函数求导,代入求出的关系,进而求解; (2)( )求导,利用导数分析函数的单调性和极值,结合端点值得出在上的最大值和最小值;( )把存在性问题转化成在上的最大值,进而构造不等式求出实数m的取值范围. 【详解】(1)函数求导得 , 已知,则, . (2)( ),则,求导得:, ,在上恒成立, 导数符号由决定: 当时,,,单调递增; 当时,,,单调递减; 在处取得极大值,即为最大值,, ,, , 在上的最小值为,最大值为; ( )已知使得成立,则在上的最大值, 在上的最大值为, ,解得, 又,, 的取值范围为. 19.(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)求出前3项,利用等比中项的性质得出A的表达式求最值; (2)构造函数,利用导数判断单调性求最值证明不等式; (3)结合(2)中的结论,利用累加法构建数列通项公式的不等式,再化简并放缩构造所求不等式,再结合函数放缩求证 【详解】(1), 由得,,即, 解得最小为4,故当时成立. (2)依题意,定义域为,据定义域分段讨论, 当时,, 令,, 所以,当时,单调递增,即, ,所以,即成立; 当时,, 令,, 故当时,单调递增,即, ,,即成立; 综上,成立 (3)由(2)知, ,令,, 则 ,故 , 所以当时, 即,可得当时,. 所以,即, 又时,有, 由于, 设 ,则, 令,则,令,则, 所以在上单调递增,在上单调递减, 故,即 , , 当时,令,则, 所以,得证. 答案第10页,共10页 答案第9页,共10页 学科网(北京)股份有限公司 $