精品解析：江西赣州市南康区第三中学2025-2026学年第二学期高二年级数学综合作业（三）

南康三中2025-2026学年第二学期高二年级数学综合作业（三） 命题人：蒋桂莲 审题人：吉晶 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， 则． 2. 如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上，是增函数 B. 在区间上，是减函数 C. 当时，取得极大值 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【详解】由图知，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，A、B错， 所以或时取得极小值，时取得极大值，C错，D对. 3. 某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 4. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 5. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 6. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数在处取得极大值， 则，所以， 解得或， 当时，， 所以当时，当时，， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，， 所以当时，，当时， 所以在处取得极大值， 所以. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在上恒成立求得参数范围． 【详解】， 在上单调递增，则在上恒成立， 所以在上恒成立， ，时，的最大值是， 所以． 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用所给的导函数不等关系式，构造函数，利用新函数的单调性解不等式． 【详解】因为，，； 令，则当时，； 所以在上单调递增； 因为， 故等价于，即， 因为， 故； 故等价于； 根据单调性可知，解得； 故的解集为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. B. 中的最小值为 C. 使的的最大值为32 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意计算出和即可得到的通项公式，通过通项公式可以判断B， 计算出可判断C，根据B选项可知，把绝对值去掉可计算D. 【详解】依题意，等差数列的公差，由，得，解得， 数列的通项，A正确； 显然等差数列是递增数列，且，则中的最小值为，B正确； 又，得的最大值为，C错误； ，D错误. 故选：AB 11. 已知函数 则下列结论中错误的是（ ） A. 存在两个不同的零点 B. 既没有最大值，也没有最小值 C. 当 时，有且只有三个实根 D. 当时，的最大值为，则的最小值为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项直接求的解即可；对于BCD选项，先对求导，根据函数单调性，求出极值，结合函数图象走势即可判断. 【详解】对于A选项，令，得 ，即, ，有两个实根，故A选项正确； 对于B选项，， 由得，；由得，或， 在上单调递增，在上单调递减 在处取极小值，在处取极大值， 由于当时，恒成立， 所以，根据函数图象走势可知，没有最大值，在处取最小值， 所以，B选项错误； 对于C选项,由B选项可知，最小值为 极大值为，根据函数图象可知， 当 时， 有两个实根； 当 时， 有三个实根；所以，C选项错误; 对于D选项，由函数图象可知，当时，在时，的最大值也是， 故的最小值不是5，所以，D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据在某一点处的导数值是常数可求得的导函数，代入计算即可． 【详解】因为，故， 解得：，． 13. 等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 14. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可． 【详解】令可得，， 因为，两边同时除以x得， 令，则问题等价于直线与曲线有两个不同交点， 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，在处取得最小值， 又当时，，，但增长更快，故； 当时，与中主导，故，函数图像如下所示， 所以实数a的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】列联表见解析，能认为满意程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.001 【解析】 【分析】完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可. 【详解】列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 16. 已知函数 ，是的导函数. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值. 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，无最大值. 【解析】 【分析】（1）先求导，再代入求值； （2）设，求的切线，即为的切线； （3）研究导函数的单调性，进而判断导函数的正负，来研究原函数的单调性. 【小问1详解】 ， ， 所以. 【小问2详解】 设，则， ，， 所以在处的切线方程为，即. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以在上单调递增， 因为， 所以，，即，单调递减 ，，即，单调递增， 所以的最小值为，无最大值. 17. 已知数列满足，且． （1）证明为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析，． （2） 【解析】 【分析】（1）先用作差法，得到，从而得证为公差为的等差数列，先求出的通项，再反推； （2）先利用（1）的结论写出的表达式，将其拆分为两个分式之差的形式，再通过累加抵消中间项，仅保留首尾两项，最终求出前项和． 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性 （2）若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 【答案】（1）时，在，上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减； （2），的极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，得函数的单调性； （2）由（1）若要有两个极值点，这两个极值点必是，由两个极值点都在区间上得出参数范围，再由单调性求极值. 【小问1详解】 ，由得或， 当时，在，上恒大于0， 在上恒小于0，在，单调递增，在上单调递减； 时，在上恒成立，在上单调递增； 时，在，上大于0恒成立， 在上小于0恒成立，在，上单调递增，在上单调递减； 综上，时，在，上调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知的极值点是，1，因此这两个极值点需在区间内， 则且，解得， 的极大值为，极小值为. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）①，②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据定义计算，结合等差数列定义判断即可； （2）①：结合等差数列定义求出的通项公式，再利用累加法结合等差数列求和公式求出的通项公式； ②：结合求解的表达式，再利用裂项相消法求出的表达式；分析的单调性，结合单调性确定其取值范围. 【小问1详解】 已知，根据定义得： 则， 因此是首项为、公差为的等差数列， 故是二阶等差数列. 【小问2详解】 （2）① 由题意，，， 因为是等差数列，所以公差， 得的通项为：， ，，， ，，， 由累加法得，当时：， 代入得：， 验证时，满足上式，故. ②证明：将， 代入得：， （裂项验证：，成立） 前项和用裂项相消： ， 所以. 因为，所以； 又，故是递增数列，最小值为，因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康三中2025-2026学年第二学期高二年级数学综合作业（三） 命题人：蒋桂莲 审题人：吉晶 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上，是增函数 B. 在区间上，是减函数 C. 当时，取得极大值 D. 当时，取得极小值 3. 某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 6. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. B. 中的最小值为 C. 使的的最大值为32 D. 11. 已知函数 则下列结论中错误的是（ ） A. 存在两个不同的零点 B. 既没有最大值，也没有最小值 C. 当 时，有且只有三个实根 D. 当时，的最大值为，则的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 14. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数 ，是的导函数. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值. 17. 已知数列满足，且． （1）证明为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性 （2）若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $