专题07 阅读理解- 2026年山东省济南市中考数学三轮冲刺

**基本信息** 该专项构建“方法模拟-判断推理-迁移发展”三阶训练体系，提炼信息抓取、模型抽象等6类核心方法，逻辑递进培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法模拟型|3例|模拟材料过程，捕捉关键信息|从具体操作到抽象应用，如全等判定迁移| |判断推理型|3例|归纳概括材料，逻辑推理论证|从性质探究到新定义应用，如角转化规律| |迁移发展型|3例|抽象数学模型，跨情境迁移|从方法借鉴到创新应用，如分组分解法拓展|

专题07 阅读理解 1 2 1．会通过阅读材料，抓取信息解阅读理解题． 2．能读懂所给定义，利用定义解定义应用类题，特别是通过直接应用定义、延伸定义解新定义型压轴题． 3．会用特殊→一般→特殊的数学方法解规律探究题． 4．能用逆推或正推的方式完善并解答开放题． 5．会用计算、分析的方法合理选择方案． 6．明白存在性讨论问题的一般解法，即假设存在→推理论证，并能熟练解决存在性讨论问题． 3 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 热点1 方法模拟型 1．方法模拟型是指通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题． 2．解决策略：从已给的材料入手，捕捉并灵活应用这些信息解决材料中的问题． 这类问题一般文字叙述较长，内容丰富，信息量较大，各种关系错综复杂，所以要认真、仔细地读题、审题． 【例1】　（2026春•西安月考）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，在△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，并提出了相应的问题． （1）【发现】如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，AM＝2，CN＝7，求MN的长．请补全下面小芳的解题过程． 解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM+∠CBN＝90°． ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CBN． （2）【类比】如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P．猜想AE、PE、CP之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上，且顶点B在线段EF上时，若AE＝7，BE＝1，BC2＝50，连结CE．请直接写出△ACE的面积． 【答案】（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM+∠CBN＝90°． ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CBN． 在△BAM 和△CBN中， ， ∴△BAM≌△CBN（AAS）， ∴BM＝CN＝7，AM＝BN＝2， ∴MN＝BM+BN＝7+2＝9； （2）AE+PE＝CP；理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°． ∵CP⊥DE，∠E＝90°， ∴∠E＝∠CPB＝90°， ∴∠BCP+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCP． 在△ABE 和△BCP 中， ， ∴△ABE≌△BCP（AAS）， ∴BE＝CP，AE＝BP． ∵BE＝BP+PE＝AE+PE， ∴AE+PE＝CP； （3）21． 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定定理得到△ABM≌△BCN（AAS），利用两个三角形全等的性质，得到AM＝BN＝2，BM＝CN＝7，即可得到MN＝MB+BN＝9； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP，利用两个三角形全等的性质，得到AE＝BP，BE＝CP，由图中BE＝BP+PE，即可得到三者的数量关系； （3）过点C作CH⊥BE的延长线于点H．由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCH（AAS），从而BE＝CH＝1，根据S△ACE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△BCE，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM+∠CBN＝90°． ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CBN． 在△BAM 和△CBN中， ， ∴△BAM≌△CBN（AAS）， ∴BM＝CN＝7，AM＝BN＝2， ∴MN＝BM+BN＝7+2＝9； （2）AE+PE＝CP；理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°． ∵CP⊥DE，∠E＝90°， ∴∠E＝∠CPB＝90°， ∴∠BCP+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCP． 在△ABE 和△BCP 中， ， ∴△ABE≌△BCP（AAS）， ∴BE＝CP，AE＝BP． ∵BE＝BP+PE＝AE+PE， ∴AE+PE＝CP； （3）△ACE的面积为21．理由如下： 如图③，过点C作CH⊥BE的延长线于点H． ∵AE＝7，BE＝1，∠DEF＝90°， ∴． ∵∠ABC＝90°，AB＝BC，BC2＝50， ∴， ∠ABE+∠CBH＝90°． ∵∠DEF＝90°，CH⊥BE， ∴∠AEB＝∠H＝90°， ∴∠CBH+∠BCH＝90°， ∴∠ABE＝∠BCH． 在△ABE 和△BCH 中， ∵∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠BCH，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCH（AAS）， ∴， ∴BE＝CH＝1， ∴， ∴S△ACE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△BCE＝25﹣3.5﹣0.5＝21． 【例2】　（2026春•蒙城县月考）阅读材料，解决下列问题： 材料：因为1＜3＜4，所以，即， 所以的整数部分为1，小数部分为． （1）已知：a是的整数部分，b是的小数部分； ①求a，b的值； ②求（﹣a）3﹣（b+4）2的立方根； （2）已知，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值． 【答案】（1）①a＝2，； ②所求立方根为﹣3； （2）13． 【分析】（1）①先通过估算的整数范围，确定的范围，进而根据整数部分和小数部分的定义求出a、b的值； ②①中求出的a、b的值代入代数式，计算出结果后再求其立方根； （2）先估算的整数范围，确定的整数部分x和小数部分y，再代入代数式进行计算． 【解答】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴， ∴a＝2，． ②∵a＝2，， ∴（﹣a）3﹣（b+4）2 ， ＝﹣8﹣19 ＝﹣27， ∴（﹣a）3﹣（b+4）2的立方根为﹣3． （2）∵， ∴， ∴，即， ∴x＝7，， ∴ ＝14﹣（﹣1）2026 ＝14﹣1 ＝13． 【例3】　（2026春•西山区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：　　 ，　　 ，　　 ； （2）计算：． 【答案】（1），，； （2）2025． 【分析】（1）根据题干给出的分母有理化方法，对三个二次根式逐一化简即可； （2）先将括号内的每一项进行分母有理化，再抵消中间项得到括号内的化简结果，最后利用平方差公式计算得到最终答案． 【解答】解：（1）； ； ． 故答案为：，，； （2）原式 ＝2026﹣1 ＝2025． 热点2 判断推理型 判断推理型是指通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括，再按照对材料本质的理解进行推理并作出解答． 解决这类问题，不仅要读懂原材料，能对提供的材料进行归纳概括，还要能够进行一定的推理． 【例4】　（2026春•新华区校级月考）课题学习：平行线的“等角转化“功能． 已知点A是BC外一点，连接AB，AC． 求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：如图1，过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠　∠EAB （　两直线平行，内错角相等　 ），∠C＝　∠DAC ．（　两直线平行，内错角相等　 ） 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 阅读理解： （1）阅读并补充推理过程． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． （2）方法运用： 如图2，已知AB∥CD，尝试表示∠B、∠BEC和∠C之间的数量关系，并说明理由． （3）深化拓展： 如图3，AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABC，∠ADC，且所在直线交于点E，∠ABC＝104°，∠ADC＝68°，则∠BED＝　162°　 ． 【答案】（1）∠EAB；两直线平行，内错角相等；∠DAC；两直线平行，内错角相等； （2）∠BEC+∠B＝∠C+180°，理由如下： 延长BE交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠BMC＝180°， ∴∠BMC＝180°﹣∠B． ∵∠BEC＝∠C+∠BMC， ∴∠BEC＝∠C+180°﹣∠B， 即∠BEC+∠B＝∠C+180°； （3）162°． 【分析】（1）根据平行线的性质，将推理过程补充完整即可； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）如图1，过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB（两直线平行，内错角相等），∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 故答案为：∠EAB；两直线平行，内错角相等；∠DAC；两直线平行，内错角相等； （2）∠BEC+∠B＝∠C+180°，理由如下： 延长BE交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠BMC＝180°， ∴∠BMC＝180°﹣∠B． ∵∠BEC＝∠C+∠BMC， ∴∠BEC＝∠C+180°﹣∠B， 即∠BEC+∠B＝∠C+180°； （3）延长BE交CD于点N， ∵BE平分∠ABC，∠ABC＝104°， ∴∠ABE∠ABC＝52°． ∵AB∥CD， ∴∠BNC＝∠ABE＝52°， ∴∠BND＝180°﹣52°＝128°． ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝68°， ∴∠EDN∠ADC＝34°， ∴∠BED＝∠EDN+∠BND＝34°+128°＝162°． 故答案为：162°． 【例5】　（2026春•阜新期中）阅读理解： 【形成概念】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘解”． 【初步感知】 （1）组合是“　无缘解　 ”（填“梦想解”或“无缘解”）； 【问题解决】 （2）若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘解”，求b的取值范围． 【答案】（1）无缘解； （2）； （3）． 【分析】（1）根据新定义即可解答； （2）根据梦想解的定义，解出一元一次方程的解，代入不等式即可解答； （3）先分别求出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，再根据“无缘解”的定义建立不等式，解不等式即可． 【解答】（1）解：由3x﹣6＝0得：x＝2， 解不等式4x﹣1＜4得：， ∵， ∴符合无缘解的定义， ∴组合是“无缘解”； （2）解：由2x﹣4＝0， 得：x＝2， ∴， ∴3a＜2， ∴； （3）解：由2﹣x＝x﹣2b， 得：x＝b+1， 由， 得：， ∴， ∴． 【例6】　（2026春•杭锦后旗月考）【综合与实践】 【问题情境】：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积． 【实践探究】 （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝5，，，△ABC的面积为　　 ． 【继续探究】 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中，，我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是　　 ． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是　　 ． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD＝　（14﹣x）　 ． ②根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； ③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 【答案】（1）； （2）①； ②； （3）①（14﹣x）； ②x＝9； ③84． 【分析】（1）根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出△ABC的面积； （2）①根据海伦公式计算即可； ②把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）①根据CD＝BC﹣BD可得答案； ②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值； ③根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）△ABC的面积， 故答案为：； （2）①∵， ∴， 故答案为：； ②三边长依次为，，的三角形的面积， 故答案为：； （3）①∵BC＝14，BD＝x， ∴DC＝14﹣x， 故答案为：（14﹣x）， ②∵AD⊥BC， ∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2， ∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2， 解得x＝9； ③由②得：， ∴． 热点3 迁移发展型 迁移发展型是指通过阅读，理解所采用的思想方法，将提供的材料抽象概括成数学模型，然后去解决同类或更高层次的另一个相关命题． 解决阅读理解问题的关键是认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或暗示了什么新的解题方法，或提示了什么数学规律，然后依题意进行分析、比较、抽象和概括，将获得的新信息、新方法进行迁移和应用，从而解决题目中提出的问题． 【例7】　（2024秋•平邑县期末）阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝　（b﹣c）（a﹣b）　 ． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①m2+5n﹣mn﹣5m＝　（m﹣n）（m﹣5）　 ． ②x2﹣2x+1﹣y2＝　（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）　 ． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）（b﹣c）（a﹣b）； （2）①（m﹣n）（m﹣5）；②（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）； （3）这个三角形为等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出a＝b＝c，则可得出答案． 【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2 ＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2） ＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c） ＝（b﹣c）（a﹣b）， 故答案为：（b﹣c）（a﹣b）； （2）①m2+5n﹣mn﹣5m ＝m2﹣mn+5n﹣5m ＝m（m﹣n）+5（n﹣m） ＝m（m﹣n）﹣5（m﹣n） ＝（m﹣n）（m﹣5）； ②x2﹣2x+1﹣y2 ＝（x2﹣2x+1）﹣y2 ＝（x﹣1）2﹣y2 ＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵a2+2b2+c2＝2b（a+c）， ∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0， ∴a2﹣2ba+b2+c2﹣2bc+b2＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 【例8】　（2025春•桂林期末）阅读与实践 （1）【知识感知】：完全平方公式1的几何背景：如图1，把一个边长为（a+b）的正方形分割成四部分，则这四部分的面积分别为a2，ab，ab，b2，由两种方法计算正方形的面积，可得到等式（请补全等式）：（a+b）2＝ a2+2ab+b2 ； （2）【类比迁移】：如图2，将边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形DEFG以图2方式摆放，使得点C，D，G在同一直线上．若a+b＝10，a2+b2＝52，求阴影部分的面积． 在求解过程中，同学们应用数学转化思想、数形结合思想、整体思想把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积的和差进行求解．经过思考做了以下尝试解答，请你补全求解过程： S阴影部分＝S正方形BIFH﹣S正方形ABCD﹣S△AHF﹣S△CIF ＝（a+b）2﹣a2 •b•（a+b）（a+b） ＝ab 将等式a+b＝10两边同时平方得：（a+b）2＝102， 化简得：a2+2ab+b2＝100①， 将a2+b2＝52代入①中得：52+2ab＝100， 解得：S阴影部分＝ab＝ 　24　 ． （3）【拓展应用】：如图3，将边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形DEFG以图3方式摆放，使得点A，D，G在同一直线上．若a﹣b＝12，ab＝158，求阴影部分的面积． 【答案】（1）a2+2ab+b2； （2）a2，24； （3）阴影部分的面积是151． 【分析】（1）利用正方形面积的整体与部分计算方法，推导完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）先将阴影部分面积转化为规则图形面积的和差，得出S阴影部分＝ab；再依据完全平方公式及已知条件a+b＝10、a2+b2＝52，求出ab的值，即阴影部分面积． （3）把阴影部分面积转化为；借助完全平方公式变形a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，结合已知a﹣b＝12、ab＝158，算出a2+b2的值，进而求得阴影部分面积． 【解答】解：（1）根据正方形面积的两种计算方法（整体法和部分法），边长为（a+b）的正方形面积，整体计算为（a+b）2；部分计算为四部分面积和a2+ab+ab+b2， 所以（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：a2+2ab+b2； （2）S阴影部分＝S正方形BIFH﹣S正方形ABCD﹣S△AHF﹣S△CIF ＝ab； ∵（a+b）2＝102， ∴52+2ab＝100， 解得：S阴影部分＝ab＝24． 故答案为：a2，24； （3）阴影部分面积S＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△ABC﹣S△AEF． ∵， ； ， ． ∴． 由条件可知a2+b2＝（a﹣b）2+2ab． ∵a﹣b＝12，ab＝158， ∴a2+b2＝122+2×158＝144+316＝460． ∴． 【例9】　（2024秋•南皮县校级期末）阅读与实践：【问题情境】七年级（1）班的小明在数学兴趣小组中研究直线与直角的关系．如图1，∠AOB＝90°，点O在直线CD上，射线OE平分∠AOD．小明用量角器度量发现，∠AOC＝2∠BOE，他给出了如下说理： 因为∠AOB＝90°，所以∠BOD＝90°﹣∠AOC． 因为射线OE平分∠AOD，所以 因为∠DOE＝∠BOE+∠BOD， 所以 … （1）请你帮助小明完成剩下的说理； 【实践探究】 小明将∠AOB绕点O顺时针旋转至图2的位置， （2）请问∠AOC与∠BOE的数量关系是否发生了变化，若发生变化，请求出它们之间的数量关系；若不变化，请说明理由． 【问题拓展】 小明继续将∠AOB绕点O顺时针旋转至图3的位置， （3）请直接写出∠AOC与∠BOE的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）不变；理由见解析；（3）∠AOC+2∠BOE＝360°． 【分析】（1）根据，把∠BOD＝90°﹣∠AOC代入，求出∠AOC＝2∠BOE即可； （2）根据角平分线定义得出∠AOD＝2∠DOE＝2∠AOE，根据∠AOB＝90°，得出∠BOE＝90°﹣∠AOE，根据∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2∠AOE＝2（90°﹣∠AOE），即可证明结论； （3）根据角平分线定义得出∠AOD＝2∠DOE＝2∠AOE，根据∠AOB＝90°，得出∠BOC+∠AOD＝90°，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+∠BOC，∠BOE＝∠AOB+∠AOE＝90°+∠AOE，求出∠AOC+2∠BOE＝360°即可． 【解答】解：（1）因为∠AOB＝90°， 所以∠BOD＝90°﹣∠AOC． 因为射线OE平分∠AOD， 所以 ， 因为∠DOE＝∠BOE+∠BOD， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 即∠AOC＝2∠BOE； （2）∠AOC与∠BOE的数量关系保持不变；理由如下： 因为射线OE平分∠AOD， 所以∠AOD＝2∠DOE＝2∠AOE， 因为∠AOB＝90°， 所以∠BOE＝90°﹣∠AOE， 因为∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2∠AOE＝2（90°﹣∠AOE）， 所以∠AOC＝2∠BOE； （3）因为射线OE平分∠AOD， 所以∠AOD＝2∠DOE＝2∠AOE， 因为∠AOB＝90°， 所以∠BOC+∠AOD＝90°， ∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+∠BOC， ∠BOE＝∠AOB+∠AOE＝90°+∠AOE， 所以∠AOC+2∠BOE ＝90°+∠BOC+2（90°+∠AOE） ＝270°+∠BOC+2∠AOE ＝270°+∠BOC+∠AOD ＝270°+90° ＝360°， 即∠AOC+2∠BOE＝360°． 第2页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 阅读理解 一、选择题（共4小题） 1．（2026春•衢江区期中）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，（a+1）9的展开式中a项的系数是（　　） A．8 B．9 C．36 D．84 2．（2026春•浙江期中）阅读以下材料：如果两个正数a、b，则有（a﹣b）2≥0得到a2+b2≥2ab，推导（a+b）2＝a2+b2+2ab≥4ab，最后得到关系式，当且仅当a＝b时取到等号．思考下面的问题：如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若S△AOB＝16，S△DOC＝36，则四边形ABCD面积的最小值为（　　） A．128 B．100 C．76 D．52 3．（2026•招远市模拟）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法（x+25）（x﹣a），其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（　　） A．x2﹣56x﹣2025 B．x2+56x﹣2025 C．x2﹣106x+2025 D．x2﹣106x﹣2025 4．（2025秋•菏泽月考）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　） A． B．Dx＝﹣14 C．Dy＝27 D．方程组的解为 二、填空题（共6小题） 5．（2026春•上海校级月考）阅读下面的信息填空 人的身高与双臂长度的比大约是1：1，身高与胸围比大约是2：1，人的脚长与身高的比大约是1：7，人的体重与血液重量之比大约是13：1，成年人身高与头长的比大约是7：1，腿长与头长的比大约是4：1… 张老师穿23厘米的鞋子，据此可以推断，她的身高大约是　 　 厘米． 6．（2026•巨野县一模）阅读材料： 我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1． 若规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且我们进一步规定：一切实数均可以与该新数“i”进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立．于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2025+i2026+i2027的值为　 　 ． 7．（2026春•裕华区校级期中）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（xy+1）称为一次甲方式；从点（xy）移动到点（x+1，y）称为一次乙方式． 例：点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（0，2），若都按乙方式，最终移动到点N（2，0），若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（1，1）． 【应用】 点P从原点O出发连续移动t次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）其中，按甲方式移动了m次． （1）当t＝6，m＝3时，Q点的坐标是　 　 ； （2）已知点A（5，4），若无论m怎样变化，点Q都在自变量x的系数为定值的直线l上，若点A关于直线l的对称点落在坐标轴上，t的值为　 　 ． 8．（2025秋•临淄区期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知x≠0，所以，即 ∴ ∴的值为7的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为　 　 ． 9．（2026春•黄浦区期中）阅读：我们知道，于是要解不等式|x﹣3|≤4，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当x﹣3≥0，即x≥3时，x﹣3≤4，解得x≤7，所以3≤x≤7； ②当x﹣3＜0，即x＜3时，﹣（x﹣3）≤4，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜3． 所以原不等式的解集为﹣1≤x≤7． 根据以上思想，不等式|x﹣1|≤2的解集是　 　 ． 10．（2026春•蓬江区校级期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：　 　 ． 三、解答题（共6小题） 11．（2026•左权县模拟）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 巴布斯定理 在查阅资料时，发现三角形一条边的中线与三角形的另外两边之间存在一定关系，即三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，这个定理被称作三角形中线定理，也被称作巴布斯定理． 定理证明： ①特殊条件（直角三角形斜边上的中线）下的证明： 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，连接AD． 求证：AB2+AC2＝2（AD2+BD2）． 证明：设AB＝a，AC＝b，BC＝c．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，则a2+b2＝c2， ∵D为BC中点，∠BAC＝90°， ∴（依据：　 　 ）， ∴， ∴2（AD2+BD2）＝c2， ∴AB2+AC2＝2（AD2+BD2）． ②一般条件下的证明： 如图2，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD．求证：AB2+AC2＝2（AD2+BD2）． 证明：如图2，过点A作AH⊥BC于点H． 在Rt△ABH中，由勾股定理得AB2＝AH2+BH2，… 任务： （1）材料中的依据是指　 　 ． （2）完成材料中②一般条件下该定理证明的剩余部分． （3）在△ABC中，D为BC的中点，AB＝4，AC＝3，BC＝6，则AD＝　 　 ． 12．（2026•黄冈一模）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为64＜67＜81， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中0＜s＜1； ②，其中0＜t＜1． 小明以①的形式求的近似值的过程如表． 因为， 所以67＝（8+s）2， 即67＝64+16s+s2． 因为s2比较小， 将s2忽略不计， 所以67≈64+16s， 即16s≈67﹣64， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）； 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 13．（2026•鼓楼区校级模拟）阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是末经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文． 现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥”b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即S＝a•m+b； ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断： 若S在1到26之间，则S就是该字母加密后的密文所对应的数字； 若S大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12+4＝40． ∵40＞26，∴40﹣26＝14， ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为　 　 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为　 　 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 14．（2026•庆元县二模）【阅读理解】 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，求tan15°的值． 求解过程如下：在CB上取点D，使得BD＝AD，构造出等腰△ABD（如图2）．可得△ABD的外角∠ADC＝30°，设AC＝a，则AD＝BD＝2a，， 所以． 【类比尝试】 （1）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，类比上述解题过程求tan22.5°的值． 【拓展应用】 （2）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，BC＝a，AC＝b，用含a，b的代数式表示的值，并写出推理过程． 15．（2026•南宁二模）【阅读材料】在平面内，取一个定点A和定线段AC，对于平面内不与A、C重合的任意一点B，若点D在射线AB上，且满足∠ACD＝∠ABC，则称点D为点B关于线段AC的等角对应点． 例如：如图1，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则点D是点B关于线段AC的等角对应点． 【基础理解】 （1）如图1，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D是点B关于线段AC的等角对应点，则线段AD的长为　 　 ． 【探索应用】 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，请以A为定点AC为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段AC的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，求线段CD的长． 【拓展延伸】 （4）如图3，已知⊙O的半径为2.5，点A为⊙O上一定点，AC为⊙O的直径，点P为⊙O上的动点（不与点A重合）．若点Q为点P关于线段AC的等角对应点，试判断点Q的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点P从点C运动到弧AC中点的过程中；直接写出点Q的运动路径的长度． 16．（2026春•东莞市校级期中）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：　 　 ，　 　 ； （2）己知：，，求（x+y）2的值． （3）计算：． 一、选择题（共4小题） 题号 1 2 3 4 答案 B B A C 一、选择题（共4小题） 1．【答案】B 【分析】根据（a+1）9＝a9+9a8×11+…+9a×18+9，即可得出结论． 【解答】解：∵（a+b）1＝a+b， （a+b）2＝a2+（1+1）ab+b2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+（1+2）a2b+（2+1）ab2+b3＝a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4＝a4+（1+3）a3b+（3+3）a2b2+（3+1）ab3+b4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5＝a5+（1+4）a4b+（4+6）a3b2+（6+4）a2b3+（4+1）ab4+b5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ..． （a+1）9＝a9+9a8×11+…+9a×18+9， ∴（a+1）9的展开式中a项的系数是9． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】设△AOB中OA为a，OA边上的高为h1，△DOC中OC为b，OC边上的高为h2，列出三角形面积，再根据不等式得出四边形ABCD面积的最小值． 【解答】解：设△AOB中OA为a，OA边上的高为h1，△DOC中OC为b，OC边上的高为h2， ∵S△AOB＝16，S△DOC＝36， ∴ah1＝32，bh2＝72， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴S四边形ABCD≥16+36+48＝100， ∴四边形ABCD面积的最小值为100， 故选：B． 3．【答案】A 【分析】将原式利用多项式乘多项式法则计算，再根据题意即可求得答案． 【解答】解：（x+25）（x﹣a） ＝x2﹣ax+25x﹣25a ＝x2+（25﹣a）x﹣25a， 当25﹣a＝﹣56，a＝81时，25a＝2025，则A符合题意， 当25﹣a＝56时，a＝﹣31＜0，则B不符合题意， 当25﹣a＝﹣106，a＝131时，﹣25a＝﹣3275，则C不符合题意， 当25﹣a＝﹣106，a＝131时，﹣25a＝﹣3275，则D不符合题意， 故选：A． 4．【答案】C 【分析】根据行列式定义计算D、Dx、Dy及方程组的解，对比选项判断正误即可． 【解答】解：根据新定义运算逐项分析判断如下： ， 则A正确，不符合题意； ， 则B正确，不符合题意； ， 则C错误，符合题意； ，， 因此方程组的解为， 则D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共6小题） 5．【答案】161． 【分析】根据脚长与身高的比1：7，身高是脚长的7倍得出答案． 【解答】解：身高：23×7＝161（厘米）． 故答案为：161． 6．【答案】﹣1． 【分析】根据已知运算规律，可得i的幂次运算每4次为一个循环，且一个循环内4项的和为0，计算总项数除以4得到余数，再计算剩余项的和即可得到结果． 【解答】解：由题意可知，i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i， ∴i的幂次运算每4次为一个循环，一个循环内的和为1+i+（﹣1）+（﹣i）＝0， 2027÷4＝506⋯⋯3， ∴原式＝（i+i2+i3+i4）×506+i2025+i2026+i2027， ＝0×506+i+i2+i3， ＝i+（﹣1）+（﹣i）， ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 7．【答案】（1）（3，3）； （2）4或5． 【分析】（1）根据甲方式移动次数直接得纵坐标，用总次数减去甲方式次数得乙方式次数，进而得横坐标，即可确定Q点坐标； （2）先消去参数m得到直线l的方程，再分对称点在x轴、y轴两种情况，利用“中点在直线上+对称点到直线上同一点距离相等”列方程求解即可得t的值． 【解答】解：（1）甲方式移动m＝3次：每次y+1，所以最终y＝3； 乙方式移动次数：t﹣m＝6﹣3＝3次，每次x+1，所以最终x＝3， ∴Q点坐标为（3，3）， 故答案为：（3，3）； （2）甲方式移动m次：y＝m， 乙方式移动t﹣m次：x＝t﹣m， 两式相加消去m，得： x+y＝t，即直线l：x+y＝t， 设点A（5，4）关于直线l的对称点为A1，根据对称性质： AA1的中点M在直线l上； 直线l上的点到A、A1的距离相等（即对直线l上任意一点P，都有PA＝PA1）， 我们分两种情况讨论： 情况1：A1在x轴上，设为A1（a，0）， 中点， 代入直线l：x+y＝t，得：， 整理得a＝2t﹣9①， 取直线l上的点P（t，0）（在x轴上），由PA＝PA1， 由距离公式得：， 两边平方，得：（t﹣5）2+16＝（t﹣a）2， 展开化简得：﹣10t+41＝﹣2at+a2②， 把①代入②得：﹣10t+41＝﹣2（2t﹣9）t+（2t﹣9）2， 解得t＝5； 情况2：A1在y轴上，设为A1（0，b）， 中点，代入直线l：x+y＝t，得： b＝2t﹣9③ 取直线l上的点P（0，t）（在y轴上），由PA＝PA1，由距离公式得： ， 两边平方，得：25+（t﹣4）2＝（t﹣b）2， 展开化简得：41﹣8t＝﹣2bt+b2④， 把③代入④得：41﹣8t＝﹣2（2t﹣9）t+（2t﹣9）2， 解得t＝4； 综上，t的值为4或5． 8．【答案】． 【分析】把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ． ∴ ＝52﹣2﹣1 ＝22． ∴． 故答案为：． 9．【答案】﹣1≤x≤3． 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【解答】解：仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式如下： |x﹣1|≤2， 当x﹣1≥0时，x≥1， ∴x﹣1≤2，解得x≤3， ∴1≤x≤3； 当x﹣1＜0时，x＜1， ∴﹣（x﹣1）≤2，解得x≥﹣1， ∴﹣1≤x＜1， ∴原不等式的解集为﹣1≤x≤3． 故答案为：﹣1≤x≤3． 10．【答案】2． 【分析】将7﹣4变形为4﹣43，然后利用完全平方公式变形，最后利用二次根式的性质即可求得答案． 【解答】解：原式 ＝2， 故答案为：2． 三、解答题（共6小题） 11．【答案】（1）直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H． 在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2， 在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AH2＝AD2﹣DH2， ∴AB2+AC2＝2AH2+BH2+CH2， ∵D为BC的中点， ∴BD＝DC， ∴BH＝BD+DH，CH＝DC﹣DH＝BD﹣DH． ∴BH2+CH2＝（BD+DH）2+（BD﹣DH）2， ∴BH2+CH2＝BD2+2BD•DH+DH2+BD2﹣2BD•DH+DH2＝2BD2+2DH2， ∴AB2+AC2＝2AH2+BH2+CH2＝2（AD2﹣DH2）+2BD2+2DH2＝2（AD2+BD2），即AB2+AC2＝2（AD2+BD2）； （3）． 【分析】（1）根据直角三角形的性质分析即可解答； （2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H．由勾股定理可得AB2＝AH2+BH2、AC2＝AH2+CH2、AH2＝AD2﹣DH2，易得AB2+AC2＝2AH2+BH2+CH2；由中点的定义可得BD＝DC，即BH＝BD+DH，CH＝DC﹣DH＝BD﹣DH，则BH2+CH2＝2BD2+2DH2，然后代入AB2+AC2＝2AH2+BH2+CH2整理即可解答； （3）先求得BD＝3，再将相关条件代入AB2+AC2＝2（AD2+BD2）求AD即可． 【解答】（1）解：设AB＝a，AC＝b，BC＝c．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，则a2+b2＝c2， ∵D为BC中点，∠BAC＝90°， ∴（依据：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴2（AD2+BD2）＝c2， ∴AB2+AC2＝2（AD2+BD2）． 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）证明：如图2，过点A作AH⊥BC于点H． 在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2， 在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AH2＝AD2﹣DH2， ∴AB2+AC2＝2AH2+BH2+CH2， ∵D为BC的中点， ∴BD＝DC， ∴BH＝BD+DH，CH＝DC﹣DH＝BD﹣DH． ∴BH2+CH2＝（BD+DH）2+（BD﹣DH）2， ∴BH2+CH2＝BD2+2BD•DH+DH2+BD2﹣2BD•DH+DH2＝2BD2+2DH2， ∴AB2+AC2＝2AH2+BH2+CH2＝2（AD2﹣DH2）+2BD2+2DH2＝2（AD2+BD2），即AB2+AC2＝2（AD2+BD2）； （3）解：∵D为BC的中点，BC＝6， ∴， ∵AB2+AC2＝2（AD2+BD2），AB＝4，AC＝3， ∴42+32＝2（AD2+32）， 解得：（已舍去负值）， 故答案为：． 12．【答案】（1）8.22； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高．理由如下： ∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 【分析】（1）设，其中0＜t＜1，则仿照题意做即可； （2）可求出，据此可得结论． 【解答】解：（1）根据利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2近似计算算术平方根的方法可得： 设，其中0＜t＜1， ∴， ∴化简，得67＝81﹣18t+t2， ∵t2比较小，将t2忽略不计， ∴67≈81﹣18t， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 13．【答案】（1）UW；（2）7； （3）明文“G“对应的数字m＝7，明文“C”对应的数字m＝3， 密文“O”对应的数字为15，即S＝15，密文“K”对应的数字为11，即S＝11， ∵“乘密钥”a，“加密钥”b所使用的密钥规则一致， ∴，解得：， ∴加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值分别为1和8； （4）密文“T”对应的数字为20，“N”密文对应的数字为14， ∴ST＝20，SN＝14， ∵a＝1，b＝8，S＝a•m+b， ∴，解得：mT＝12，mN＝6， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“TN”解密获得的明文是“LF”． 【分析】（1）分别找出H、I对应数字m，再根据题意S＝a•m+b求出总和S，即可得出对应字母，从而得到密文； （2）分别找出密文M对应数字S＝13，再找出明文“B”对应的数字m＝2，根据公式S＝a•m+b即可求出“加密钥”b的值； （3）分别找出明文G、C的对应数字和密文O、K的对应数字，再根据公式S＝a•m+b列出方程组即可． 【解答】解：（1）明文H对应数字m＝8，I对应数字m＝9， ∵a＝2，b＝5， ∴SH＝8×2+5＝21，SI＝9×2+5＝23， ∵21对应字母U，23对应字母W， ∴明文“HI”加密后的密文为UW， 故答案为：UW； （2）密文“M”对应的数字是13，即S＝13，明文“B”对应的数字m＝2， ∵S＝a•m+b，“乘密钥”a＝3， ∴b＝S﹣a•m＝13﹣3×2＝7， 故答案为：7； （3）明文“G“对应的数字m＝7，明文“C”对应的数字m＝3， 密文“O”对应的数字为15，即S＝15，密文“K”对应的数字为11，即S＝11， ∵“乘密钥”a，“加密钥”b所使用的密钥规则一致， ∴，解得：， ∴加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值分别为1和8； （4）密文“T”对应的数字为20，“N”密文对应的数字为14， ∴ST＝20，SN＝14， ∵a＝1，b＝8，S＝a•m+b， ∴，解得：mT＝12，mN＝6， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“TN”解密获得的明文是“LF”． 14．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）如图，在BC上取一点D，使得BD＝AD，则△ABD是等腰直角三角形，根据三角形的外角的性质得到∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝22.5°，求得AD＝BD，设AC＝a，则，DC＝a，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图，延长CB至点E，使得BE＝BA，则，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，在BC上取一点D，使得BD＝AD， 则△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ADC＝45°， ∵∠B＝22.5°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝22.5°， ∴AD＝BD， 设AC＝a， 则，DC＝a， ∴； （2）如图，延长CB至点E，使得BE＝BA，则， 由题意得， ∴， ∴． 15．【答案】（1）； （2）点B关于线段AC的等角对应点D，如图2即为所求； （3）； （4）点Q的运动路径是直线；点Q的运动路径的长度为5．理由如下： 如图，AC为⊙O的直径，点Q为点P关于线段AC的等角对应点，连接AP、CP、CQ，OP， ∴∠APC＝90°， ∵点Q为点P关于线段AC的等角对应点， ∴∠ACQ＝∠APC＝90°，点Q在射线AP上， ∴CQ⊥AC，点Q的轨迹为过C且垂直于AC的直线， ∴点Q的运动路径是直线． 【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，再利用相似三角形对应边成比例即可求解； （2）作∠ACD＝∠B，交AB于点D，则点D即为所求； （3）利用勾股定理求出AB5，证明△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可证明以及求出线段CD的长； （4）连接AP、CP、CQ，由AC为⊙O的直径，得到∠APC＝90°，根据“等角对应点”的定义得到∠ACQ＝∠APC＝90°，则CQ⊥AC，点Q的轨迹为过C且垂直于AC的直线；再讨论点P分别在点C以及弧AC中点时，对应的点Q的位置，即可求出点Q的运动路径的长度． 【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AC＝3，AB＝5， ∴， 解得：AD， 故答案为：； （2）点B关于线段AC的等角对应点D，如图2即为所求； （3）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB5， 由（2）作图可得，∠ACD＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴CD； （4）点Q的运动路径是直线；点Q的运动路径的长度为5．理由如下： 如图，AC为⊙O的直径，点Q为点P关于线段AC的等角对应点，连接AP、CP、CQ，OP， ∴∠APC＝90°， ∵点Q为点P关于线段AC的等角对应点， ∴∠ACQ＝∠APC＝90°，点Q在射线AP上， ∴CQ⊥AC，点Q的轨迹为过C且垂直于AC的直线， ∴点Q的运动路径是直线； 当点P与点C重合时，点Q恰好与点C重合， 当点P运动到弧AC中点时， ∵点P运动到弧AC中点，⊙O的半径为2.5， ∴OP⊥AC，OP＝2.5， ∵CQ⊥AC， ∴OP∥CQ， ∴△AOP∽△ACQ， ∴， ∴CQ＝2OP＝2×2.5＝5， ∴点Q的运动路径的长度为5． 16．【答案】（1），； （2）36； （3）2025． 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先化简x、y，计算出x+y的值，即可得到所求式子的值； （3）先对第一个括号内的式子分母有理化，再化简，然后根据平方差公式计算即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：，； （2）∵2﹣21＝3﹣2，3+2， ∴x+y＝6， ∴（x+y）2＝62＝36； （3） ＝（）×（） ＝（）×（） ＝2026﹣1 ＝2025． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $