专题08 数学文化2025-2026学年山东济南市中考数学三轮冲刺

**基本信息** 以数学文化为载体，系统整合方程思想、规律探究等方法，构建“文化情境—数学建模—逻辑推理”的解题体系，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幻方|5题（选择2+填空3）|利用行列对角线和相等列方程|从幻方定义到多元方程求解，体现代数建模过程| |古算典籍应用|7题（选择3+填空2+解答2）|翻译古算题意为现代方程/方程组|从实际问题抽象为数学模型，强化应用意识| |杨辉三角|2题（选择1+解答1）|结合二项式展开式系数规律|从系数特征到代数推理，培养抽象能力| |图形变换规律|3题（选择1+填空2）|归纳坐标变换周期与递推关系|从特殊到一般，发展空间观念与推理意识|

专题08 数学文化 一、选择题（共8小题） 1．（2026•瑶海区二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则a与b的和是（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 2．（2026•桥西区一模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则A﹣B的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．﹣5 D．12 3．（2026•滨海新区校级二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？译文为：“今有5只雀、6只燕，一共重16两，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，问雀、燕每只各多重？”设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 4．（2026•平顶山模拟）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（　　） A．尺 B．尺 C．尺 D．13尺 5．（2026•老河口市模拟）古代数学文化《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸（1尺＝10寸）；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺．问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇．瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）与生长时间x（单位：天）的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标是（　　） A． B．5 C． D．6 6．（2026•深圳校级模拟）古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，请问能算士，鸦树多少数．若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（　　） A． B． C． D． 7．（2026•鼓楼区校级模拟）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如（a+b）2＝a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4行的4个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①（x﹣1）2026的计算结果中x2025项的系数为2026； ②当x＝﹣3时，（x﹣1）2026的计算结果为24052； ③（x﹣1）2026的计算结果中各项系数的绝对值之和为22026； ④当x＝2026，（x﹣1）2027除以2026，余数为2025． 上述结论正确的是（　　） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④ 8．（2026•富川县校级一模）如图，已知平行四边形OABC的顶点A为（0.4，1.2），若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴、…的规律进行，则经过第2026次变换后，平行四边形的顶点A的坐标为（　　） A．（﹣1.2，﹣0.4） B．（﹣0.4，﹣1.2） C．（﹣0.4，1.2） D．（0.4，﹣1.2） 二、填空题（共8小题） 9．（2026•榆阳区校级二模）幻方最早起源于我国，古人称之为“纵横图”．在如图所示的幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“安”字对应的数为　 　 ． a+2 我 爱 西 2 ﹣a﹣3 3 安 5 10．（2026•雁塔区校级四模）有关幻方的最早记录，是约于公元前2200年在我国出现的“洛书”．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数），若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和为　 　 ． 11．（2026•固原校级四模）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则x+y＝　 　 ． 12．（2026•永丰县模拟）我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的1.5倍，制作90件器物比原来少用3天．设原来每天制作x件，则可列方程为　 　 ． 13．（2026•二道区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为　 　 ． 14．（2026•庆云县一模）如图，在平面直角坐标系中，点P1，P2，P3，…均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2026的坐标为 　 　 ． 15．（2026•中山市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3…按此规律，则s7的值为　 　 ． 16．（2026•黑龙江二模）如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线y＝x与y＝2x的内部作等腰直角三角形ABC，使∠ABC＝90°，边BC∥x轴，AB∥y轴，点A（1，1）在直线y＝x上，点C在直线y＝2x上，CB的延长线交直线y＝x于点A1，作等腰直角三角形A1B1C1，使∠A1B1C1＝90°，B1C1∥x轴，A1B1∥y轴，点C1在直线y＝2x上…按此规律，点B2026的坐标为　 　 ． 三、解答题（共5小题） 17．（2026•东莞市一模）在学校开学嘉年华活动中，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是　 　 ； A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小明与小华两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 18．（2026•霍邱县二模）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：31×47，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算12×34的过程，格子中m＝　 　 ； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则a＝　 　 ； 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第1条斜线，设Sk表示铺地锦表格中第k条斜线上所有数字之和；∁k为第k条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则∁k＝0．如图①中，S3＝0+2+2＝4，C2＝0． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算314×28乘积的过程，S3＝　 　 ，C2＝　 　 ； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下32×14的过程，格子中m＝　 　 ，n＝　 　 ；它们的乘积等于　 　 ． 19．（2026•太和县校级二模）利用二元一次方程组解决问题 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？ 20．（2026•榆树市模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家．请你解决此问题． 21．（2026•琼山区校级一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　 ． （2）（a+b）n的展开式共有　 　 项，系数和为　 　 ． （3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． （4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期　 　 ． 一、选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C C C A B 一、选择题（共8小题） 1．【答案】C 【分析】由第一、二行上的3个数之和相等，可得出第二行第二个方格中的数为a﹣b+8，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，再将其代入a+b中，即可求出结论． 【解答】解：第二行第二个方格中的数为a+12+40﹣44﹣b＝a﹣b+8， 根据题意得：， 解得：， ∴a+b＝20+4＝24． 故选：C． 2．【答案】A 【分析】根据题意和图2可以发现，对角线和最右边一列的和相等，然后化简即可得到A﹣B的值． 【解答】解：由题意可得， x﹣2+A＝x+3+B， 化简，得：A﹣B＝5， 故选：A． 3．【答案】D 【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等”，进而分别得出等式求出答案． 【解答】解：根据题意列出方程组为： ． 故选：D． 4．【答案】C 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【解答】解：如图，过C作CE⊥AE，分别交标杆、树于点D、E， 设树高为x尺， ， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴△CDB∽△CEA， ∴， 由题意可知BD＝5﹣4＝1（尺），CD＝7步，CE＝7+50＝57（步），AE＝（x﹣4）尺， ∴， 解得， 故选：C． 5．【答案】C 【分析】根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为9，然后列出相应的方程，求解即可． 【解答】解：设两图象交点的横坐标是x，则： 0.7x+x＝9， 解得， 故选：C． 6．【答案】C 【分析】根据题意列二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意可列方程组为， 故选：C． 7．【答案】A 【分析】根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【解答】解：根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点逐项分析判断如下： （x﹣1）2026的计算结果中x2025项的系数为“杨辉三角”第2027行第2个数与（﹣1）的积，即2026×（﹣1）＝﹣2026≠2026， 故结论①错误，不符合题意； 当x＝﹣3时，（x﹣1）2026＝（﹣3﹣1）2026＝（﹣4）2026＝（22）2026＝24052， 故结论②正确，符合题意； （a+b）n的计算结果中各项系数之和为2n，因此（x﹣1）2026的计算结果中各项系数的绝对值之和为22026， 故结论③正确，符合题意； 当x＝2026，（x﹣1）2027＝（2026﹣1）2027，展开式中最后一项为﹣1，其余各项的因数均包括2026，因此（x﹣1）2027除以2026，余数为（2026﹣1），即2025． 故结论④正确，符合题意； 故选：A． 8．【答案】B 【分析】根据题意找到图形的变化规律，可得每4次轴对称变换重复一轮，据此即可求解． 【解答】解：∵点A为（0.4，1.2）， ∴将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换后，点A的坐标为（﹣0.4，1.2）， ∴所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，点A的坐标为（﹣0.4，﹣1.2）， 同理，第三次轴对称变换，点A的坐标为（0.4，﹣1.2）， 第四次轴对称变换，点A的坐标为（0.4，1.2）， ∴每4次轴对称变换重复一轮， ∵2026÷4＝506⋯2， ∴经过第2026次变换后，平行四边形的顶点A的坐标为（﹣0.4，﹣1.2）． 故选：B． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】﹣2． 【分析】根据a+2+3＝2﹣a﹣3确定a的值，设这个幻方中“安”字对应的数为x，故3+x+5＝6，求解即可． 【解答】解：∵每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等， ∴a+2+3＝2﹣a﹣3， 解得：a＝﹣3； 故一条斜对角线上的三个数之和为：a+2+2+5＝﹣3+9＝6， 设这个幻方中“安”字对应的数为x， 故3+x+5＝6， 解得：x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．【答案】﹣6． 【分析】根据所给幻方，求出“中”“国”“梦”这三个字表示的数，据此将三数相加即可． 【解答】解：由题知， 梦+2+0＝﹣2﹣1+0， 则梦＝﹣5， ﹣2+航﹣5＝﹣2﹣1+0， 则航＝4， 4﹣1+天＝﹣2﹣1+0， 则天＝﹣6， 国﹣6+1＝﹣2﹣1+0， 则国＝2， ﹣2+中+2＝﹣2﹣1+0， 则中＝﹣3， 所以“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和为：﹣3+2+（﹣5）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 11．【答案】13． 【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等列方程组解答． 【解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等， ∴， 解得， ∴x+y＝5+8＝13， 故答案为：13． 12．【答案】． 【分析】设原来每天制作x件，先表示出改进工艺后每天的制作数量，再分别求出原来和改进后制作90件器物所用的时间，根据改进后制作90件比原来少用3天的等量关系列方程即可． 【解答】解：由题意可得等量关系：原来所用时间﹣改进后所用时间＝3， 列方程得：． 故答案为：． 13．【答案】5x+3＝7x﹣5． 【分析】根据题意用含x的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程． 【解答】解：根据题意可列方程：5x+3＝7x﹣5． 故答案为：5x+3＝7x﹣5． 14．【答案】（﹣506，507）． 【分析】由P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，由2026÷4＝506……2，所以P2026的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为﹣506，纵坐标为507，然后通过第二象限特点即可求解． 【解答】解：∵P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1）P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商， ∵2026÷4＝506…2， ∴P2026的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为﹣506，纵坐标为507， ∴P2026的坐标为 （﹣506，507）， 故答案为：（﹣506，507）． 15．【答案】8π． 【分析】找出规律，据此求解即可． 【解答】解：， ∴， ∵∠A1OA2＝90°﹣∠AOA1＝45°，OA1⊥A1A2，OA1＝1， ∴， ∵∠A2OA3＝45°， ∴， 同理，∠A4OA5＝45°，， ∴， 同理，，， ⋯， ∴， ∴． 故答案为：8π． 16．【答案】（）． 【分析】根据题意，依次求出点B1，B2，B3，…，的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵AB∥y轴，点A坐标为（1，1）， ∴点B横坐标为1． 令点C坐标为（m，2m）， ∵BC∥x轴， ∴点B的纵坐标为2m． ∵三角形ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝BA， 则1﹣m＝2m﹣1， 解得m， ∴点B坐标为（1，）， 同理可得，点B1坐标为（），点B2坐标为（），点B3坐标为（），…， 所以点Bn的坐标可表示为（）． 当n＝2026时， 点B2026的坐标为（）． 故答案为：（）． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）B． （2）． 【分析】（1）结合随机事件的定义可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故答案为：B． （2）将四个盲盒分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有：（C，D），（C，D），共2种， ∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 18．【答案】（1）0； （2）3； （3）6，1； （4）2，3，1103． 【分析】（1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于a的方程，求解并检验a的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到S3；再根据S2的值和满十进一规则，计算C2． （4）在五进制下，先计算3×1得到m，计算2×4并转换为五进制得到n；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【解答】解：（1）如图， ∴m＝0， 故答案为：0； （2）如图， ∴4a＝10×1+a﹣1 解得a＝3， 故答案为：3； （3）如图， ∴S3＝0+2+0+4＝6， ∵S2＝8+3+8＝19， ∴C2＝1， 故答案为：6，1； （4）如图， 格子中m＝2，n＝3；它们的乘积等于1103， 故答案为：2，3，1103． 19．【答案】能买醇酒0.25斗、行酒1.75斗． 【分析】设能买醇酒x斗、行酒y斗．根据现有30钱，买2斗酒建立方程组求解即可． 【解答】解：设能买醇酒x斗、行酒y斗． 由题意列二元一次方程组得，， 解得， 即能买醇酒0.25斗、行酒1.75斗， 答：能买醇酒0.25斗、行酒1.75斗． 20．【答案】城中有75户人家． 【分析】设城中有x户人家，根据剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完得：x100，解方程可得答案． 【解答】解：设城中有x户人家， 根据题意得：x100， 解得：x＝75， 答：城中有75户人家． 21．【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）（n+1），2n； （3）1； （4）三． 【分析】（1）由（a+b）＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1； （2）结合（1）即可得（a+b）n的展开式的项和系数和； （3）将25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1写成“杨辉三角”的展开式形式，即可得结果； （4）展开8100后看最后一项即可得结论． 【解答】解：（1）根据上面的规律可知： （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； 故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）结合（1）可知： （a+b）n的展开式共有（n+1）项，系数和为2n． 故答案为：（n+1），2n； （3）∵（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5＝15＝1； （4）∵8100＝（7+1）100的最后一项是1， ∴今天是星期二，经过8100天后是星期三； 故答案为：三． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $