解题大招10 构造模特函数，秒解抽象函数问题（10大必刷题型）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以10类初等函数为模型，构建“具体函数→抽象性质→解题应用”的转化体系，通过题型化训练培养数学抽象与模型意识，实现抽象函数问题的快速突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |10类函数模型|10题型/12典例（含5道高考真题）|模型构造法：根据抽象函数性质匹配正比例、一次、指数、对数等10类模型，变抽象为具体|从具体函数抽象性质，形成“模型识别→性质应用→问题解决”的逻辑链，强化数学思维的系统性与推理能力|

解题大招10 构造模特函数，秒解抽象函数问题 知识点 常见的模特函数 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象来源于具体.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法. 常见的抽象函数对应的初等函数模型如下: 特殊函数模型 抽象函数性质 正比例函数 反比例函数 一次函数 幂函数 二次函数（a≠0） f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数 对数函数 或f(xm)=mf(x) 正弦函数 余弦函数或 正切函数 耐克函数 此外，对于表格中未提及的抽象函数性质对应的试题，要注意举一反三，通过类比与归纳的手段得出相应的函数模型. 题型01 构造正比例函数 模型：，令 此模型有以下性质： 【典例1-1】已知定义在R上的函数f(x)满足，且f(x)是增函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【典例1-2】(2017·全国I，5)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知f(x)定义域为R，满足，且，则（ ） 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论： ①； ②可能是偶函数； ③在上一定存在最大值； ④的解集为． 其中正确的结论为（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 3．（25-26高三·四川成都·阶段练习）若且函数在上单调，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型02 构造一次函数模型(图象不过原点) 模型：，构造. 【典例2-1】(2008·重庆) 若定义在 上的函数 满足: 对任意的 , 有 , 则下列说法 一定正确的是 ( ). A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【典例2-2】（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数满足：对任意，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型03 构造二次函数模型 模型：构造：. 证明： 此模型中，b的值需依赖其他条件来确定. 【典例3-1】（2019·新高考Ⅱ，8）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则　　 A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·山东菏泽·模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则（    ） A．4 B．8 C．14 D．16 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 3．(多选)（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 题型04 构造三次函数模型 模型：构造： 【典例4】（2026·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【跟踪训练】 1．定义在R上的函数满足，则 A.5 B.6 C.7 D. 2．函数定义在R上，且，则（ ） A. B. C. D. 3．(多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．在上单调递增 D． 题型05 构造指数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则. 【典例5-1】已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2，则f(3)=（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 【典例5-2】已知f(x)满足对任意x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时f(x)>1，则下列说法正确的是（ ） A.f(x)是奇函数 B.f(x)是减函数 C.f(0)=0 D.f(2)>f(1) 【跟踪训练】 1.(多选)已知f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)，且f(2)=4，下列说法正确的是（ ） A.f(1)=2 B.f(0)=1 C.f(-2)=4 D.f(x)是奇函数 2.（多选）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2，下列说法正确的有（ ） A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(2x)=[f(x)]² 3．（多选）已知函数的定义域为R，值域为，，则（    ） A． B． C． D．是函数的极小值点 题型06 构造对数函数模型 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 特征：. 【典例6】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 2．已知f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且x>1时f(x)>0，则下列说法正确的是（ ） A.f(x)是奇函数 B.f(x)是减函数 C.f(1)=0 D.f(4)=2f(1) 3．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 . 题型07 构造幂函数模型 模型1：若，则可设 模型2：若，则可设. 【典例7】(25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【跟踪训练】 1．已知函数f(x)不是常函数，且满足f(xy)=f(x)f(y)，且f(x)是奇函数，则f(-1)=（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 2．（多选）已知定义在上的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（） A． B．为单调递减函数 C． D． 3．已知函数定义在上，对任意，有，且，则 ， . 题型08 构造余弦或双曲余弦函数模型 模型1：若，则， 或 模型2：若，则，或 附：双曲余弦函数特征：. 模型3：若，则. 【典例8-1】（2022·新高考Ⅱ，8）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B． C．0 D．1 【典例8-2】(2026湖南A佳5月大联考) 定义在上的函数满足： ，，若为偶函数，且 恒大于 0，则下列选项正确的是（ ） A．为奇函数 B． C． D．若 ，则 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（   ） A． B．1 C．0 D． 2．（多选）（25-26高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 3．(多选)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 题型9 正弦与双曲正弦型 【典例8】（2027高三·江西九江·阶段测试）已知函数，任意，满足，且，则（     ） A． B．0 C．2 D．4 【跟踪训练】 1.（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 3．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 题型09 构造正切函数模型 模型：若，则 【典例9】已知函数f(x)满足，则（ ） A. B. C. D. 【跟踪训练】 1．已知f(x)满足，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶 D. 既是奇又是偶 2．（多选）已知定义在D上的函数f(x)满足：对任意且，恒有，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C.f(x)是定义域上的奇函数 D. 3．已知定义在上的函数$f(x)$满足：对任意且，恒有，且当时，0<f(x)<1，则下列说法正确的有（ ） A. B. f(x)在上单调递增 C. f(x)是定义域上的偶函数 D. 【答案】ABD 【详解】原式变形为，令得，A正确； 令得，故f(x)为奇函数，，D正确、C错误； 任取，则，，，因f(x)在(0,2)上小于1、在上大于-1，故分母大于0，且，故$f(x)$单调递增，B正确. 模特秒解：构造正切型函数，验证当时，值介于0到1，完全匹配条件.代入选项：（A对），正切函数在单调递增（B对），正切为奇函数（C错、D对），直接选ABD. 题型10 构造反比例函数模型 模型：若. 【典例10】（24-25高三·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（25-26高三·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 2.（多选）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减 限于篇幅，其他类型的模特函数问题就不一一讲述了，同学们可以仿照本文自行归纳并做到灵活应用。日常刷题时多对标初等原型函数，熟记一次、二次、指数、三角四类常见模型的函数方程特征，遇到抽象函数先试构造模型快速预判答案，再用赋值法严谨验算.长期坚持归纳总结，就能跳出抽象函数的思维误区，实现小题速解、大题稳拿分. 1．（25-26高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R上的函数对任意实数x，y满足，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 2（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4.(2020·新高考I,8)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5．（2025高三·北京·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 6．定义在上的函数满足：对任意，且当时，，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．周期为4 C． D．为奇函数 8．（多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（    ） A． B．或 C．是上的增函数 D．是上的增函数 9．（25-26高三上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是__________. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招10 构造模特函数，秒解抽象函数问题 知识点 常见的模特函数 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象来源于具体.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法. 常见的抽象函数对应的初等函数模型如下: 特殊函数模型 抽象函数性质 正比例函数 反比例函数 一次函数 幂函数 二次函数（a≠0） f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数 对数函数 或f(xm)=mf(x) 正弦函数 余弦函数或 正切函数 耐克函数 此外，对于表格中未提及的抽象函数性质对应的试题，要注意举一反三，通过类比与归纳的手段得出相应的函数模型. 题型01 构造正比例函数 模型：，令 此模型有以下性质： 【典例1-1】已知定义在R上的函数f(x)满足，且f(x)是增函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由，令得，令得，f(x)是R上奇函数.又f(x)是增函数，所以不等式等价于，移项得，解集为，选B. 模特秒解：构造符合条件的模特函数（满足，且为增函数），代入不等式得，直接选B，10秒出答案. 【典例1-2】(2017·全国I，5)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则解得.故选D. 【跟踪训练】 1．已知f(x)定义域为R，满足，且，则（ ） A. B.6 C. D. 【答案】A 【详解】令，得，令得，令得，又，所以，选A. 模特秒解：构造，由，故，，直接选A. 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论： ①； ②可能是偶函数； ③在上一定存在最大值； ④的解集为． 其中正确的结论为（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【详解】对于①，令，则，所以，故①正确； 对于②，令，则， 所以，所以为奇函数， 又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误； 对于③，设，则， 则， 所以，所以是减函数， 所以在上一定存在最大值，故③错误； 对于④，因为为减函数，， 由，得，解得， 所以的解集为，故④正确. 故选：C. 模特秒解：令，则，为奇函数，①正确②错误；排除AD， 在上单调递减，最小值为，③错误，排除B；故选D. 3．（25-26高三·四川成都·阶段练习）若且函数在上单调，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，所以，所以， 令，所以， 所以且的定义域为关于原点对称， 所以是奇函数； 又因为且在上单调，所以在上单调递增； 又因为，所以， 所以不等式等价于， 又因为在上单调递增，所以， 故选：A. 模特秒解：令，则，故选A. 题型02 构造一次函数模型(图象不过原点) 模型：，构造. 【典例2-1】(2008·重庆) 若定义在 上的函数 满足: 对任意的 , 有 , 则下列说法 一定正确的是 ( ). A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】C 【详解】令, 显然满足 ,故选 C. 【典例2-2】（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数满足：对任意，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误； 【详解】因为，故令，可得， 即，解得，故①正确； 令，，可得，又， 即，解得，再令，可得， 即，故②正确； 令，可得，即 因为，则，可得，所以， 令，不妨设，可得，即， 因为，则，则，可得，即， 所以为上增函数，故③错误； 令，可得，即，整理得， 所以为奇函数，故④正确； 故选：A． 模特秒解：令，由，得，所以，由此模特函数验证各选项，知A正确，迅速搞定. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据条件判断出的奇偶性，然后构造函数结合条件判断出的奇偶性，再根据最值的关系可求得. 【详解】因为对任意实数，恒有， 令，所以，所以， 令，所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，则，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，其中为奇函数， 所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知， 所以，所以， 故选：D. 模特秒解：令, 则，令，则为奇函数，由奇函数的图象特点可知，所以，所以， 2．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得，可得， 令，则，对任意的、， 总有，则，这是柯西函数方程. 由于当时，，可得对于时，，表明是一个线性函数， 形式为，，因此. 因为，所以将代入，得到，即， 因此函数，又因为， 所以，即， 因此，不等式的解集为. 故选：D. 模特秒解：设，由，得k=2，即，从而速解原不等式. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】任取，从而, 因为，所以，所以，则在R上单调递增． 不等式等价于不等式， 即．因为在R上单调递增， 所以，解得．故选：A. 模特秒解：令，由，得，所以，从而速解原不等式. 题型03 构造二次函数模型 模型：构造：. 证明： 此模型中，b的值需依赖其他条件来确定. 【典例3-1】（2019·新高考Ⅱ，8）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则 ； ， （简单的估算）. 故.即选C. 【典例3-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】C 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故错误； 对于B，取，得，则， 所以， 以上各式相加得， 所以， 令，得，此方程无解，故B错误. 对于CD，由B知， 所以是偶函数， 不是偶函数，故C正确，错误. 故选：C. 模特秒解：由，得， 所以可设，由，所以,再代入各选项验证即可知C正确. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·山东菏泽·模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则（    ） A．4 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】依题意利用赋值法代入计算即可得出结果. 【详解】根据题意令，则，可得， 再令，则，可得. 故选：C 模特秒解：由，得， 所以可设，由，所以,所以，C正确. 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 模特秒解：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到.故选：C. 3．(多选)（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【详解】取得，，取得， 所以，，故A错误； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 取得， 所以， ， 所以， 若，则故C错误； ，故D正确． 模特秒解：因为，所以可设，再代入各选项验证. 题型04 构造三次函数模型 模型：构造： 【典例4】（2026·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】对于①，令，得，所以. 令，得，所以为奇函数，故①正确； 对于③，令，得， 所以，，故③错误. 对于②，因为， 所以， ， ，，，以上各式相加得 ，所以，故②正确. 对于④，当时，，所以在上单调递减，故④正确. 故选：D. 模特秒解：由可构造满足条件的函数，又 可以快速得到，所以，再验证各选项. 【跟踪训练】 1．定义在R上的函数满足，则 A.5 B.6 C.7 D. 【答案】D 【详解】令，得；令，得，f(x)为奇函数， 对中的x求导： 令，得，令，则， ，， 设，由得 ，故，所以. 模特秒解：对比模型对应，设， 由 得 ，故，，和为. 2．函数定义在R上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】对中的导： 令，得，令，则， ，故选. 模特秒解：对应 ，设 ，则 .由 得 ，故 . 3．(多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．在上单调递增 D． 【答案】BCD 【详解】对于A，取，得，解得， 取，则，即，又， 因此为奇函数，A错误； 对于B，， 解得，因此，B正确； 对于C，，则，， ，函数在上单调递增，C正确； 对于D，取，则，求导得， 于是，解得，由， 求导得，则，， 又函数的周期为4，， 所以，D正确. 故选：BCD 模特秒解：题目给出的抽象函数模型为：,与通用三次函数模型 对比，可得，即,因此，可设函数为： ,则，由代入得：， 验证：，与题目条件一致，所以，利用此函数验证各选项即可. 题型05 构造指数函数模型 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则. 【典例5-1】已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2，则f(3)=（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】C 【详解】令x=y=1，得f(2)=f(1)·f(1)=4；再令x=2,y=1，得f(3)=f(2)·f(1)=8.故选C. 模特秒解：构造模特函数f(x)=2x，直接代入得f(3)=23=8，秒出答案选C. 【典例5-2】已知f(x)满足对任意x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时f(x)>1，则下列说法正确的是（ ） A.f(x)是奇函数 B.f(x)是减函数 C.f(0)=0 D.f(2)>f(1) 【答案】D 【详解】令x=y=0得f(0)=f²(0)，故f(0)=0或1，若f(0)=0，则对任意x，f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0，与x>0时f(x)>1矛盾，故f(0)=1，C错误；令y=-x得f(0)=f(x)f(-x)=1，故，为非奇非偶函数，A错误；设x1<x2，则x2-x1>0，f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)f(x2-x1)>f(x1)，故为增函数，B错误；f(2)=f(1+1)=f²(1)，因f(1)>1，故f(2)>f(1)，D正确. 模特秒解：构造模特函数f(x)=2x，逐一验证：A选项f(-x)=2-x≠-2x，错误；B选项f(x)=2x是增函数，错误；C选项f(0)=1，错误；D选项f(2)=4>2=f(1)，正确，直接选D. 【跟踪训练】 1.(多选)已知f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)，且f(2)=4，下列说法正确的是（ ） A.f(1)=2 B.f(0)=1 C.f(-2)=4 D.f(x)是奇函数 【答案】AB 【详解】f(2)=f(1+1)=f²(1)=4，所以f(1)=±2，又因为，所以f(1)=2，A正确；令x=y=0，得f(0)=f²(0)，所以f(0)=0或1，若f(0)=0，则对任意x，f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0，与f(2)=4矛盾，故f(0)=1，B正确；令x=2，y=-2，得f(0)=f(2)f(-2)=1，所以，C错误；令y=-x，得f(0)=f(x)f(-x)=1，所以，f(x)是非奇非偶函数，D错误，答案选AB. 模特秒解：构造模特函数f(x)=2x，f(1)=2，A正确；f(0)=1，B正确；，C错误；f(-x)=2-x≠-2x，D错误. 2.（多选）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2，下列说法正确的有（ ） A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(2x)=[f(x)]² 【答案】ACD 【详解】令x=y=0，得f(0)=f²(0)，所以f(0)=0或1，若f(0)=0，则对任意x，f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0，与f(1)=2矛盾，故f(0)=1，A正确；令y=-x，得f(0)=f(x)f(-x)=1，所以，f(x)是非奇非偶函数，B错误；设x1<x2，则x2-x1>0，f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)f(x2-x1)>f(x1)，，因为且f(1)=2>1，所以f(x)在R上单调递增，C正确；f(2x)=f(x+x)=f(x)f(x)=[f(x)]²，D正确，答案选ACD. 模特秒解：构造模特函数f(x)=2x，f(0)=1，A正确；f(-x)=2-x≠-2x，B错误；f(x)=2x在R上单调递增，C正确；f(2x)=22x=(2x)²=[f(x)]²，D正确，答案选ACD. 3．（多选）已知函数的定义域为R，值域为，，则（    ） A． B． C． D．是函数的极小值点 【答案】AC 【分析】由已知利用赋值法分别检验各选项即可判断. 【详解】取，则，且，故，A正确； 取，符合题意，此时，且在上单调递增，不存在极值点，B和D错误； 取，则，即，C正确， 故选：AC． 题型06 构造对数函数模型 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 特征：. 【典例6】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即， 因为， 所以，可转化为， 即，即. 因为满足且，有， 所以在区间上单调递增， 即，解得， 即不等式的解集为.故选：C. 模特秒解：构造模特函数，则由，得易求得a=8， 即，再秒解该不等式. 【跟踪训练】 1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 模特秒解：构造模特函数，符合条件：对任意不等于0的实数，都有， 且为偶函数，故选B. 2．已知f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且x>1时f(x)>0，则下列说法正确的是（ ） A.f(x)是奇函数 B.f(x)是减函数 C.f(1)=0 D.f(4)=2f(1) 【答案】C 【详解】令x=y=1得f(1)=2f(1)，故f(1)=0，C正确；定义域为x>0，无奇偶性，A错误；设x1<x2，，为增函数，B错误；f(4)=2f(2)≠2f(1)=0，D错误. 模特秒解：构造f(x)=lnx，验证得f(1)=0，其余选项均错误，选C 3．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 . 【答案】答案不唯一 【详解】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数， 又因为在上是减函数且， 所以满足条件的一个函数可取， 故答案为：(答案不唯一). 题型07 构造幂函数模型 模型1：若，则可设 模型2：若，则可设. 【典例7】(25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 模特秒解：构造，因为定义域为R,所以所以为单调递增函数，B错误. 【跟踪训练】 1．已知函数f(x)不是常函数，且满足f(xy)=f(x)f(y)，且f(x)是奇函数，则f(-1)=（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【详解】f(1)=f²(1)，解得f(1)=0或1，若f(1)=0，则，为常函数，不合题意，故f(1)=1，又f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-1，选A. 模特秒解：构造，显然f(-1)=-1，故选A. 2．（多选）已知定义在上的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（） A． B．为单调递减函数 C． D． 【答案】ACD 【详解】令，则，已知，且在上，若 为幂函数形式，函数值恒正，故，A正确；令，则 ， 由，且，可知 越大，越大，故单调递增，B错误；令 ，则，令 ，得 ，故 ，C 正确；对于D，用数学归纳法证明：当n=1时，，成立； 假设时，，则时，，成立. 故 D 正确.故选ACD. 模特秒解：构造幂函数模型:,由 , 故，再代入各选项秒解. 3．已知函数定义在上，对任意，有，且，则 ， . 【答案】 . 【详解】令，则 . 因 在 上，由 ，且为幂函数形式时函数值恒正，故. 令，先求 ：令，得 ，则. 模特秒解：构造幂函数模型， ，由，得，再代值秒解. 题型08 构造余弦或双曲余弦函数模型 模型1：若，则， 或 模型2：若，则，或 附：双曲余弦函数特征：. 模型3：若，则. 【典例8-1】（2022·新高考Ⅱ，8）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】取符合条件，则，且．由于22除以6余4, 所以 【典例8-2】(2026湖南A佳5月大联考) 定义在上的函数满足： ，，若为偶函数，且 恒大于 0，则下列选项正确的是（ ） A．为奇函数 B． C． D．若 ，则 【答案】ABD 【解析】令 ，得 ，因为 和 0 ，则 ．令 ，得 ，故 ，则 为奇函数.故选项 A正确；令 ，得 ，因为 ，则 令 ，得 ，故选项 B 正确； 用＂＂代替＂＂，得 ， 两式相乘得 ，若等于 ，则 ，故选项 C 错误；令 ，相加得 ，用2x代替x,得 ，继续操作得， 令 ，得，由，联立得 ．故选项 D 正确．故选择 ABD． 模特秒解：取 符合题意，此时为奇函数，故选项 A 正确；，故选项B正确； ， 而 ，不恒相等，故选项C错误；若，则 ．故选项D正确．故选择AB. D ． 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又由为奇函数，可得，令，则，得， 又由可得的图象关于点成中心对称，则； 又由可得，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故，则， 故 故选：B. 模特秒解：设，则为奇函数，故， 令，其最小正周期T=4，且， 所以故. 2．（多选）（25-26高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 【答案】BC 【详解】方法一：由题可知 令，，则， 即，可得，故A错； 令，则，即， 又因为，，可得，故B正确； 令，可得，故C正确； 若的图象关于对称，则函数满足， 而，，显然，故D错， 令，可得， 的图象关于对称. 故选：BC. 模特秒解：设，则由，得， 3．(多选)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]模特秒解：由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. 题型9 正弦与双曲正弦型 【典例8】（2027高三·江西九江·阶段测试）已知函数，任意，满足，且，则（     ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】模特秒解：依题，吻合正弦平方差公式， 结合，构建特殊函数满足题设条件， 则知该函数是以4为周期的函数，也是一个奇函数，有， 依，可得， 则， 所以. 【跟踪训练】 1.（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】令，可得，所以， 令，可得， 因为不恒为0，所以，所以是奇函数， 因为， 所以. 故选：B. 模特秒解：依题意可令， 所以. 故选：B. 2．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 【答案】C 【详解】对A，令，则，得，故A错误； 对B，令，得， 由整理可得， 将变换为，则， 故，故，故是奇函数，故B错误； 对C，设，则， 且 ，故，则. 又，是奇函数，故是增函数，故C正确； 对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误. 故选：C 模特秒解：令，则易知是增函数，几秒搞定选C. 3．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【答案】D 【详解】对于A， 令，则，得， 令，得， 由整理可得， 由题干可知不恒为0，故， 即，故是奇函数，不是偶函数，A错误； 对于B，设，则， 则， 且， 故，则， 又，是奇函数，故是增函数， 由是增函数可得不是周期函数，故B错误； 对于C，时，，， ，，C错误； 对于D，时，， ，，D正确. 故选：D. 模特秒解：令，易知是增函数，而 题型09 构造正切函数模型 模型：若，则 【典例9】已知函数f(x)满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】令，得，直接得A，选A. 模特秒解：构造，左边，正好是A选项，选A. 【跟踪训练】 1．已知f(x)满足，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶 D. 既是奇又是偶 【答案】A 【详解】令得，令得，奇函数，选A. 模特秒解：构造，，奇函数， 2．（多选）已知定义在D上的函数f(x)满足：对任意且，恒有，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C.f(x)是定义域上的奇函数 D. 【答案】ABC 【详解】令，代入等式得，整理得，因，故，A正确；令，代入得，故，f(x)为奇函数，C正确； 代入，得，B正确；设，则，解得，D错误. 模特秒解：直接构造正切型函数，由得.代入验证：（A对），（B对），正切函数为奇函数（C对），（D错），直接选ABC. 3．已知定义在上的函数$f(x)$满足：对任意且，恒有，且当时，0<f(x)<1，则下列说法正确的有（ ） A. B. f(x)在上单调递增 C. f(x)是定义域上的偶函数 D. 【答案】ABD 【详解】原式变形为，令得，A正确； 令得，故f(x)为奇函数，，D正确、C错误； 任取，则，，，因f(x)在(0,2)上小于1、在上大于-1，故分母大于0，且，故$f(x)$单调递增，B正确. 模特秒解：构造正切型函数，验证当时，值介于0到1，完全匹配条件.代入选项：（A对），正切函数在单调递增（B对），正切为奇函数（C错、D对），直接选ABD. 题型10 构造反比例函数模型 模型：若. 【典例10】（24-25高三·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 令，得，又，， ， 再令，，， .故选：B 模特秒解：令，则由②，得，解得k=2，即，所以. 【跟踪训练】 1.（25-26高三·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得，所以，又，故，由，取，，可得， 故选：D. 模特秒解：令，则由，得，解得k=2，即，所以.故选D. 2.（多选）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减 【答案】AC 【详解】令，则，解得，故A正确； 因为，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 故，故B错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则， 令代换，则， 由两式可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确； 因为在单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故D错误. 故选：AC 模特秒解：令，则由，得k=1,即，再代入验证各选项正误. 限于篇幅，其他类型的模特函数问题就不一一讲述了，同学们可以仿照本文自行归纳并做到灵活应用。日常刷题时多对标初等原型函数，熟记一次、二次、指数、三角四类常见模型的函数方程特征，遇到抽象函数先试构造模型快速预判答案，再用赋值法严谨验算.长期坚持归纳总结，就能跳出抽象函数的思维误区，实现小题速解、大题稳拿分. 1．（25-26高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R上的函数对任意实数x，y满足，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【详解】由题意令，则有，故得 令，，则有 又∴∴ 故选:B 模特秒解：令，由，得k=2，即，所以 2（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得.故选：C. 模特秒解：令，由，得. 3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】分别令，，得出与的关系后可得结论． 【详解】令，得； 令，，得； 令，得. 将以上三式相加得，即. 故选：A． 模特秒解：设，则 联立，同类项系数对应相等： ，所以，即 ,从而速求. 4.(2020·新高考I,8)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且, 所以在上也是单调递减,且,. 故可令 设，则 所以由，得 解得或.故选D. 5．（2025高三·北京·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即，当时，，即， 设，即，即有， 则在上递增，故C正确． 故选：B． 模特秒解：令，由，得，所以，由此模特函数验证各选项，知B正确，迅速搞定. 6．定义在上的函数满足：对任意，且当时，，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，由条件,又，故 在 上单调递增, ，由单调性得,解得. 模特秒解：构造，所以， 从而. 7．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．周期为4 C． D．为奇函数 【答案】B 【详解】对于选项A，令，则， 整理得， 解得或； 若，令，则， 即，这与函数不恒为0矛盾， 所以，选项A错误； 对于选项B，令， 则， 所以； 用代替，则， 再用代替，则； 所以函数周期为4，选项B正确； 对于选项C，因为函数周期为4， 所以， 令，则，即， 因为， 所以，所以，选项C错误； 对于选项D，令，则， 即， 因为，所以，即， 为偶函数，选项D错误. 故选：B 模特秒解：设模特函数：，满足，符合题干条件,再代入各选项秒解. 8．（多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（    ） A． B．或 C．是上的增函数 D．是上的增函数 【答案】AC 【详解】在中， 令，得，即． 因为函数为非常数函数，所以，A正确． 令，则． 令，则，① 令，则，② 由①②，解得，从而，B错误． 令，则，即， 因为，所以，所以C正确，D错误． 故选：AC 模特秒解：题目给出的抽象函数模型为：,与通用三次函数模型 对比，可得，即,因此，可设函数为： ,再验证各选项. 9．（25-26高三上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【分析】通过对分别赋值，逐个分析四个结论. 【详解】对于①，令，则，当时，，所以，所以，故①正确； 对于②，令，则，， 由当时，，所以，所以，得， 故②错误； 对于③，令，则，得， 令，则，得， 故③正确 对于④，设，则， 当时，，所以， 由已知得， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 模特秒解：令，再验证各选项的对错. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $