精品解析：山东省泰安市新泰中学2025-2026学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ） A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C. 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 D. 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 5. 甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（ ） A. 15个 B. 27个 C. 28个 D. 36个 8. 已知正实数满足和，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 当取最大值时，或2 10. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ） （注：若，则） A. B. 在上是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于事件，则__________. 13. 若，则的最小值为____________． 14. 若函数的定义域为，满足，，都有，则关于x的不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求. 16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； 参考公式：相关系数，． 参考数据：，， ， 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 18. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 19. 已知函数有两个零点． （1）求a的取值范围； （2）已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； （3）设，是的两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】，， 当，，则，，此时； 当，，则，，此时； 充分性不成立. 由，得，即； ，，由基本不等式得（当且仅当时等号成立）； ； . 必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再求导函数，最后解出导数小于0的不等式并与定义域取交集即可得出单调递减区间. 【详解】由题意得， 令，则，解得, 因为，最终有. 4. 新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ） A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C. 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 D. 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 【答案】C 【解析】 【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项和；根据，对照临界指表，即可判断选项和. 【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人，错误； 由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人， 所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误； 已知，根据临界值表可得， 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于， 所以正确； 因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论， 所以错误. 5. 甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 6. 若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用二项式展开求得有理项的个数，结合超几何分布的分布列与均值公式即可求解. 【详解】由可得，当为整数时，该项为有理项， 因为且，所以当时，分别为2，0，是整数， 即有理项有3项， 的取值为， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 P 则 7. 我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（ ） A. 15个 B. 27个 C. 28个 D. 36个 【答案】C 【解析】 【分析】用隔板法即可求解 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有 个安康数. 法二：等价于从左到右三份分别对应 且 ， 若 ，则 ，即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有 个安康数.∴选C 8. 已知正实数满足和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，， 即， 令，因为且，则， 则，由，可得在上单调递增， 则，故； 又由可得，则， 故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 当取最大值时，或2 【答案】ABD 【解析】 【详解】，，选项A正确. ，选项B正确. ， ，选项C错误. ，，或时，取得最大值，D选项正确. 10. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进行求解 【详解】由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为， ，所以为等比数列，C错误； 为首项是，公比是的等比数列， ，故A正确； 前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率， ∴传到乙手中共有11种传法，B正确； ，显然， ，D正确. 11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ） （注：若，则） A. B. 在上是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对于B，由正态分布曲线的性质即可判断，对于C，将替换为结合条件即可求解，对于D，由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小， 在上是减函数，B错误； 对于，根据对称性，将替换为， 即， 图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，，根据对称性得， 因此，即。 关于（）对称，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于事件，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据两个事件并集的概率公式和的值即可求出， 【详解】已知，由条件概率公式，得， 又因为，根据两个事件并集的概率公式， 得. 13. 若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若函数的定义域为，满足，，都有，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结构特征可知该部分是某个函数的导函数变形所得，由问题中的不等式提示可得构造函数，再结合函数的单调性情况即可进一步求解出答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以构造函数，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以不等式，即，所以， 因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求. 【答案】（1）8 （2）0 【解析】 【分析】（1）利用排列数和组合数的展开公式将原等式化简为一元二次方程，结合定义域即可求解； （2）用赋值法，分别令求出所有项的系数之和，令求出常数项，两者相减即可求解. 【小问1详解】 由题意得,,且， 且，所以有， 整理得，解得或（舍）， 【小问2详解】 令，得； 令，得. 16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； 参考公式：相关系数，． 参考数据：，， ， 【答案】（1）0.979，y与x有较强的相关关系 （2），万台 【解析】 【分析】（1）根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可； （2）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到2026年7月对应的值，代入可得2026年7月该款迎宾机器人的销量； 【小问1详解】 ，，， 则 故y与x有较强的相关关系； 【小问2详解】 ， 又，， 所以， 故经验回归方程为， 2026年7月对应的x值为10， 当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为万台 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过对原函数求导得出切点处的斜率，结合切点坐标，利用点斜式直接写出切线方程； （2）法一（构造函数法）： 构造两函数之差的新函数，通过求导并分类讨论找出该新函数在给定区间上的最小值，令其最小值大于等于零来求解参数的取值范围；法二（分离参数法）： 排除端点值后，将参数单独分离到不等式一侧，从而将“恒成立”问题转化为求不含参新函数在指定区间上的最小值问题。 【小问1详解】 的定义域为， 所以，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 法一：令，则， 设，则在上恒正， 所以在上单调递增，. ①当时，，所以在上单调递增， 即恒成立，所以此情况满足题意； ②当时，，， 当时，，故，因此， 且在上单调递增，所以使得， 即，有. 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 解得，因为，所以， ，则，所以在单调递增， 所以， 综上所述，的取值范围为. 法二：①当时，，对任意实数恒成立； ②当时，.不妨令，则 令，解得或.所以在上单调递减， 在上单调递增.所以. 综上，的取值范围为. 18. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】（1）方案一 （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可； （2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解. 【小问1详解】 若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，，， 所以， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 【小问2详解】 设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，， 则，，， 所以， 故， 所以所求概率为. 19. 已知函数有两个零点． （1）求a的取值范围； （2）已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； （3）设，是的两个零点，证明：． 【答案】（1） （2）因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以， 构造函数， 所以， 所以在上单调递减，则， 所以， 即当时， （3）不妨设，由，则． 构造函数，   ， 因为，，∴，即，所以在是递增，又，所以，∴， ∴． 又，∴． 而，，在上递减，所以，，即，所以，． 【解析】 【分析】（1）求导确定函数的单调性，即可根据最大值求解， （2）由对称的性质可得，构造函数，利用导数研究的单调性以及最值即可证明结论. （3）构造函数，利用导数求解单调性，即可求解. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，在上递增，至多一个零点，不符合题意，舍去； 当时，令得，所以在上递增， 当，此时在上递减， 所以的极大值也是最大值，∴． 又时，；趋向于时，趋向于． 所以，有两个零点，a的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $