精品解析：山东泰安市新泰一中北校2025-2026学年高二下学期第一次阶段性考试数学试卷

新泰一中北校高二下学期第一次阶段性考试 数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每个题目只有一个正确答案，答对答案得5分，共计40分） 1. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号，确定函数的单调区间，再由单调性分析得到函数的极值点. 【详解】 如上图，为导函数与轴的交点的横坐标. 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在处都取得极小值；在处都取得极大值. 故函数在开区间内的极小值点有3个． 故选：C. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数值为非负数以及函数的单调性判断出正确答案. 【详解】因为，所以排除A. 又因为， 所以在和上，单调递减， 在上单调递增，所以C选项正确，BD选项错误 故选：C. 3. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 4. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数，依题意只需使在上恒成立，参变分离后，求出正弦型函数的值域即得. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立， 因函数在上的值域为，故得. 故选：A. 5. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ） A. 72种 B. 36种 C. 144种 D. 108种 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可. 【详解】先把甲乙捆绑起来，和除丙丁之外的2人排列后形成4个空，再将丙、丁插入 2个空中， 故有种不同的排法. 故选：C 6. 当是函数的极值点，则的值为 A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -3或2 【答案】B 【解析】 【分析】由f，解得或-2，再检验是否函数的极值点，可得结论. 【详解】由， 得， ∵x＝1是函数f（x）的极值点， ∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2， 当2时，恒成立，即单增，无极值点，舍去； 当3时，时，x＝1或x=9， 满足x＝1为函数f（x）的极值点， ∴． 故选B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，注意在x=处导数值为0不一定满足x=是极值点，属于易错题． 7. 某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ） A. 18 B. 21 C. 36 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由分类计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生， 若甲地派2名女生，有种情况； 若甲地分配1名女生，有种情况， 则甲地的分派方法有种方法； 甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法， 由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种. 故选：D. 8. 已知函数，则使不等式成立的最小正整数x为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据等比数列求和公式，可判断在R上为增函数，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】根据题意，函数，其导数， 当时，可以看成是以1为首项，为公比的等比数列的前5项和， 则有，则函数在R上为增函数. 又由，， 知函数在上存在唯一的零点， 设其零点为t，则， 又由，知，则，即或， 故使不等式成立的x的最小正整数为 故选：A 二、多选题（每个题目有多个正确答案，选对部分答案得部分分，选错得零分，共计18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 恒成立 B. 是上的减函数 C. 在得到极大值 D. 在区间内只有一个零点 【答案】CD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，由此可判断BC，取可判断A选项的正误，根据函数的单调性及可判断D. 【详解】，该函数的定义域为， 所以， 由，可得，由，可得， 所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， ，故B选项错误，C选项正确； 当时，，此时，A选项错误； 由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零点，D选项正确. 故选：CD. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确. 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确； 对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误； 对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确； 对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. 或 B. C. 存在实数，使得 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解； C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明； D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明； 【详解】易知， 令，则. 令，则.设， 由对勾函数的图象可知： 当时，与的图象有两个交点， 因为，故不成立，故A错误； 设，则①， 设为①式的两根，则，即②， ③. 由③式可知，所以，则， 故B正确； 解法1：由②式可知， 令， 则， 则在上单调递减，所以， 故，所以不存在实数使得，故C错误； 解法2：，，， 可得为区间的极小值点，则必有，故C错误； 由③式可知，所以， 要证 ， 仅需证明成立. 令，则. 则在上单调递增，所以， 故，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（每个题目5分，共15分） 12. 一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有________种． 【答案】120 【解析】 【分析】根据排列的意义问题可转化为从6个元素中取出3个元素的排列数求解 【详解】由题意，问题相当于从6个不同元素中取3个元素的排列数， 故有种． 故答案为：120 13. 已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解； 若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是 故答案为：． 14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个不同的零点，即函数的图象与x轴有两个不同的交点，利用导数探讨函数的最值，建立不等式求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多1个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， 而当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大， 函数有两个不同的零点，当且仅当函数的图象与x轴有两个不同的交点， 因此，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式，化简列出不等式求解即得. （2）利用组合数公式，化简列出方程求解即得 【详解】（1）由，得，， 于是，整理得，解得， 所以. （2）原方程变形为，即，显然， 因此， 化简整理，得，而，解得， 所以. 16. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. （1）共有多少种不同的报名方法？ （2）甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ （3）甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）每个同学都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （2）分析可知，丙、丁各有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）由题意可知，甲、乙报名的方法种数为，丙有种选择，丁有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【小问1详解】 每个同学都有种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为； 【小问2详解】 甲不能报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以不同的报名方法种数为. 【小问3详解】 甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，而丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 证明：由函数，可得函数的定义域为， 由不等式，即， 要证，即证，即证， 令， 可得，其中， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取值最大值，所以， 即在恒成立，所以． 18. 如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． （1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ （2）由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ （3）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 【答案】（1）10条． （2）21条． （3）155条． 【解析】 【分析】（1）先求出点出发到达点需要向上和向右的次数，再根据组合数求解即可； （2）先求出点出发到达点的最近路线有多少条，再计算两次向上行走连续且最近的路线，相减即可； （3）分类讨论分别经过的情况数，结合（1）中的方法求解即可. 【小问1详解】 由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． 【小问2详解】 由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条， 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条． 故所求路线有条． 【小问3详解】 设H，K的位置如图所示， 则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况： ①，有条最近路线； ②，有条最近路线； ③，有条最近路线． 故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． 19. 已知函数，，令函数． （1）当a为正数时，讨论函数的单调性； （2）若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，分类讨论，和，讨论与的大小，即可求出函数的单调性； （2）将不等式变形为，令，即在上单调递增，分类讨论和，使得在上恒成立，求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则， 当时，在，上为正，上为负， 所以的单调增区间为，，单调减区间为. 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，在，上为正，上为负， 所以的单调增区间为，，单调减区间为， 综上：当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，，变形为， 令，则在上单调递增， 其中，， 则， 若，此时在上恒成立，即在上单调递增，满足要求. 若，此时要满足在上恒成立， 令，对称轴为， 故要满足，解得， 综上：，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中北校高二下学期第一次阶段性考试 数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每个题目只有一个正确答案，答对答案得5分，共计40分） 1. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ） A. 72种 B. 36种 C. 144种 D. 108种 6. 当是函数的极值点，则的值为 A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -3或2 7. 某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ） A. 18 B. 21 C. 36 D. 42 8. 已知函数，则使不等式成立的最小正整数x为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每个题目有多个正确答案，选对部分答案得部分分，选错得零分，共计18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 恒成立 B. 是上的减函数 C. 在得到极大值 D. 在区间内只有一个零点 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 11. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. 或 B. C. 存在实数，使得 D. 三、填空题（每个题目5分，共15分） 12. 一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有________种． 13. 已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 四、解答题 15. （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 16. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. （1）共有多少种不同的报名方法？ （2）甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ （3）甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 18. 如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． （1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ （2）由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ （3）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 19. 已知函数，，令函数． （1）当a为正数时，讨论函数的单调性； （2）若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $