第十一章《不等式与不等式组》应用题专题二 一元一次不等组问题 训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式组应用题，分类型覆盖分配问题与综合方案设计，通过真实情境培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分配问题|4题|资源分配中的“不空不满”“不足”等不等关系|从实际情境抽象数量关系，建立不等式组模型，强化符号意识| |综合大题|5题|结合二元一次方程组的方案设计问题|先通过方程组求解基本量，再用不等式组确定方案范围，体现应用意识与推理能力|

第十一章《不等式与不等式组》应用题专题二 ——一元一次不等式组应用题 姓名： 班级： 类型一 分配问题 1．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 2．把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个．如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子．有多少个苹果． 【答案】有6个孩子，有26个苹果． 【详解】解：设有x个孩子，则有个苹果， 由题意得： 解得 ∴ ∴有6个孩子，有26个苹果 【点睛】本题考查不等式组的应用，本题难度中等，主要考查学生对不等式知识点解决实际问题的综合运算能力． 3．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【答案】有26本书，6个学生 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设有个学生，根据“每人分3本，还余8本”用含的代数式表示出书的本数；再根据“每人分5本，最后一人就分不到2本”列不等式． 【详解】解：设有个学生，那么共有本书，由题意得： ， 解得， 所以，共有本． 答：有26本书，6个学生． 4．某学校为学生安排宿舍，现有住房若干间，若每间5人，则还有14人安排不下，若每间7人，则有一间不足7人．问学校至少有几间房可以安排学生住宿？可以安排住宿的学生有多少人？ 【答案】解：设学校有x间房可以安排y名学生住宿， ∵若每间5人，则还有14人安排不下， ∴y=5x+14． ∵若每间7人，则有一间不足7人， ∴0＜y﹣7（x﹣1）＜7． 将y=5x+14代入上式得： 0＜5x+14﹣7x+7＜7， 解得：7＜x＜10.5， 故学校至少有8间房可以安排学生住宿，可以安排住宿的学生有5×8+14=54（人）． 【详解】设学校有x间房可以安排y名学生住宿，根据题意得：，求解即可． 类型二 综合大题 5．学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，购买本文学名著和本动漫书共需元，购买本文学名著比购买本动漫书的费用少元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元? (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案? 【详解】（1）解：设每本文学名著元，每本动漫书元， 根据题意得，， 解得：， 答：每本文学名著元，每本动漫书元； （2）解：设动漫书购买本，则购买文学名著本， 根据题意得，， 解得：， ∴可取的整数值为，，，，，，， ∴有种购书方案； 6．在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台；方案三费用最低． 【分析】（1）设电脑、电子白板的价格分别为x、y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可． （2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设购进电脑x台，电子白板有(30-x)台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答． 【详解】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元． （2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台， 则， 解得：，即a=15，16，17． 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元； 方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元； 方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元． ∴方案三费用最低． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系和不等关系列出方程组及不等式组是解题关键． 7．“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少； (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．问有几种购买方案？最低总费用是多少？ 【答案】(1)每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元 (2)共有3种购买方案，详见解析，最低总费用是12600元 【分析】（1）设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元，根据“每套甲种的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据“总费用不超过12640元，且购进乙种的数量不超过甲种数量的4倍”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出共有3种购买方案，再求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； （2）解：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为30，31，32， 共有3种购买方案， 方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”，所需费用为（元； 方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”，所需费用为（元； 方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝”，所需费用为（元． ， 最低总费用是12600元． 答：共有3种购买方案，最低总费用是12600元． 8．某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表． 种产品 种产品 成本(万元件) 2 5 利润(万元件) 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于22万元，问工厂有哪几种生产方案？ 【答案】（1）生产产品8件，生产产品2件；（2）有两种方案：方案①，种产品2件，则种产品8件；方案②，种产品3件，则种产品7件． 【分析】（1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划获利14万元”列出方程即可得出结论； （2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出y的取值范围，即可求出方案． 【详解】解：（1）设生产种产品件，则生产种产品件， 依题意得：， 解得： ， 则， 答：生产产品8件，生产产品2件； （2）设生产产品件，则生产产品件 ， 解得：． 因为为正整数，故或3； 答：共有两种方案：方案①，种产品2件，则种产品8件；方案②，种产品3件，则种产品7件． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． 9．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 湖州五中根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送2016～2017学年度八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题： （1）用含x的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x B _______ _______ （2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值； （3）在（2）的条件下，若2016～2017学年度八年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可； （2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决； （3）由（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可． 【详解】解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金， ∴B型客车载客量=30（5-x）；B型客车租金=280（5-x）； 填表如下： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x B 30（5-x） 280（5-x） （2）根据题意，400x+280（5-x）≤1900，解得：x≤4， ∴x的最大值为4； （3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4， ①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去； ②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去； ③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去； ④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意； ⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，但载客量为45×4+30×1=210，符合题意； 故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆． 【点睛】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金关系是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $第十一章《不等式与不等式组》应用题专题二 一一元一次不等式组应用题 姓名： 班级： 类型一分配问题 1.我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若 每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，其 余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足5 人.若设宿舍间数为x,根据题意x应满足的不等式（组） 为 2.把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么 多8个.如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹 果不足3个，问有几个孩子.有多少个苹果. 3.把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8 本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不 到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 4.某学校为学生安排宿舍，现有住房若干间，若每间5 人，则还有14人安排不下，若每间7人，则有一间不 足7人.问学校至少有几间房可以安排学生住宿？可以 安排住宿的学生有多少人？ 类型二综合大题 5.学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类 图书，经了解，购买20本文学名著和30本动漫书共需 2200元，购买15本文学名著比购买20本动漫书的费用 少50元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的 动漫书价格都一样)· (1)求每本文学名著和动漫书各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多40本，动漫书 和文学名著总数不低于100本，总费用不超过5250元， 请问有几种购书方案？ 6.在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购 进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台 电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1 台电子白板需要2.5万元. (1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台， 总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计 算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低。 7.“文房四宝"是中国独有的书法给画工具，源于南北朝 时期.某校为了落实双减，开设了书法社团，计划为学 生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知： 每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元， 买5套甲种和10套乙种共用1300元. (1)甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少： (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝"共150套， 总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进 乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4 倍.问有几种购买方案？最低总费用是多少？ 8.某工厂计划生产A,B两种产品共10件，其生产成 本和利润如下表 A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 3 (1)若工厂计划获利14万元，问A,B两种产品应分 别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于 22万元，问工厂有哪几种生产方案？ 9.某公交公司有A,B型两种客车，它们的载客量和租 金如下表： B 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 湖州五中根据实际情况，计划租用A,B型客车共5辆， 同时送2016~2017学年度八年级师生到基地校参加社 会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列 问题： (1)用含x的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元) A 45.x 400x 5-x (2)若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值： (3)在（2)的条件下，若2016~2017学年度八年级 师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最 省钱的租车方案. 第十一章《不等式与不等式组》应用题专题二 ——一元一次不等式组应用题 姓名： 班级： 类型一 分配问题 1．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 2．把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个．如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子．有多少个苹果． 3．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 4．某学校为学生安排宿舍，现有住房若干间，若每间5人，则还有14人安排不下，若每间7人，则有一间不足7人．问学校至少有几间房可以安排学生住宿？可以安排住宿的学生有多少人？ 类型二 综合大题 5．学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，购买本文学名著和本动漫书共需元，购买本文学名著比购买本动漫书的费用少元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元? (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案? 6．在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 7．“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，源于南北朝时期．某校为了落实双减，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． (1)甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少； (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．问有几种购买方案？最低总费用是多少？ 8．某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表． 种产品 种产品 成本(万元件) 2 5 利润(万元件) 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于22万元，问工厂有哪几种生产方案？ 9．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 湖州五中根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送2016～2017学年度八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题： （1）用含x的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x B _______ _______ （2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值； （3）在（2）的条件下，若2016～2017学年度八年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 学科网（北京）股份有限公司 $