2026陕西中考数学考前冲刺——圆的综合题

**基本信息** 聚焦陕西中考第24题，以近3年真题为锚点，构建“考情-知识-题型”三维突破体系，提炼切线证明、线段计算等核心方法，逻辑清晰，迁移性强。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情分析|近3年真题+副卷|切线性质“连半径证垂直”、判定“公共点明确/不明确”分类法，线段计算“三角函数-勾股-相似”三策略|从中考命题规律逆向推导必备方法，建立“题型-技巧-辅助线”对应关系| |必备知识|5大核心知识点|垂径定理“知二推三”、圆周角定理“同弧等角”等结论性提炼|以圆的基本性质为起点，层层递进至切线综合应用，形成概念-定理-计算逻辑链| |题型特训|3类型+21道题|角度/线段关系证明“等角转化”“全等相似”，切线判定“作垂直证半径”|通过真题回顾+针对练习，实现“方法-题型-变式”螺旋式巩固，培养几何直观与推理能力|

张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题（第24题） 参考答案详解详析 二、必备知识 知识点一 弦、弧、圆心角的关系 相等，相等，相等，∠COD,CD,∠COD,CD,∠COD 知识点二 垂径定理及其推论 平分，平分，垂直，平分，CD,BE,BD 知识点三 圆周角定理及其推论 半，相等，直径 知识点五 圆的弧长和扇形相关计算 2,需m2,需 三、题型特训 类型一与切线的性质有关的证明与计算 角度1证明角度数量关系 真题回顾 例1【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线 的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质 定理是解题的关键。 (1)利用切线和直径的性质求得∠BAD=∠BFA=90°，再利用等角的余角相等即可证明 ∠BAF=∠CDB: (2)先求得AB=12=AC,BD=15,证明△ABC和△ABE是等腰直角三角形，求得AE 的长，再证明△BEF∽△BDC,据此求解即可. 【答案】(1)证明：，直线1与⊙0相切于点A, ∴.∠BAD=90°，∴.∠BDA+∠ABD=90°， ,AB是⊙O的直径，∴.∠BFA=90°， .∠BAF+∠ABD=90°，，LBAF=∠CDB: 老师备课、家长伴学、学生提高 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 （2)解：，=6， ∴.AB=2r=12=AC,BD=VAB2+AD2=V122+9=15, 直线1与⊙0相切于点A,∴.LBAC=90°， ∴，△ABC是等腰直角三角形， .∠ABC=∠ACB=45°， ,AB是⊙O的直径，.∠BEA=90°， ∴△ABE也是等腰直角三角形， .'.AE BE AB.cos45=6v2, ,BF=BF,∴，∠BEF=∠BAF, ,LBAF=∠CDB,∴LBEF=∠BDC, ∴.△BEF△BDC, 器-器即-品 15 12+93 .EF=422 5 针对练习 1.【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到∠ACB=∠ODE=90°，则 可得到∠BAC+∠ACB=90°，∠0ED+∠D0E=90°，根据等边对等角和三角形外角的性质 可证明∠DOE=2LOBD,则可证明∠ABC=∠DOE,得到∠OED=∠BAC,即∠BED= LBAC: (2)设DE=3x,0E=5x(x>0),由勾股定理得0A=OD=4x,则AE=0E-0A=x, 据此求出OE=5,OA=4,得到AB=8;根据LBED=∠BAC,得到cos∠BAC= cos-BED=号则AC=AB:Cos-BAC= 5 【答案】(1)证明：如图所示，连接0D, B ,AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°， 老师备课、家长伴学、学生提高 2 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 .∠BAC+∠ACB=90°： ,DE是⊙O的切线，.∠0DE=90°， ∴.∠OED+∠D0E=90°： 'OD=OB,.∠ODB=∠OBD, ∴.∠DOE=∠ODB+∠OBD=2LOBD, ,∠ABC=2LDBE,∴，∠ABC=∠DOE, ∴，∠OED=∠BAC,即∠BED=∠BAC: (2)解：由(1)得∠0DE=90°， 5DE=30E,.可设DE=3x,0E=5x(x>0), ∴，由勾股定理得0D=VOE2-DE2=4x, ∴.0A=0D=4x,∴.AE=0E-0A=x, AE=2,.x=2, .0E=10,0A=8,AB=16 .LBED LBAC, ∴c0s∠BAC=c0s∠BED=cos∠0ED=器-号 ∴AC=AB.cOs-BAC= 2.【分析】(1)连接OB,由圆周角定理可得AB 1 BD,进而由平行线的性质得0E1BD, 即得∠COE+∠ODB=90°，再根据切线的性质得∠CBD+∠OBD=90°，最后根据∠ODB= ∠OBD即可求证： (2)利用勾股定理可得0C=VOB2+BC=6,即得AC=0A+0C=10,再利用 △OEC∽△ABC解答即可求解. 【答案】(1)证明：如图，连接OB, 0 D C E B 老师备课、家长伴学、学生提高 3 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 :AD是⊙0的直径， .∠ABD=90°，即AB1BD, ,OEIAB,∴.OE1BD, ∴.∠C0E+∠0DB=90°， ,BC是⊙O的切线，∴.OB1BC, ∴.∠0BC=90°，即LCBD+∠0BD=90°， 又，OD=OB,,∠ODB=∠0BD, ∴.LCOE=∠CBD; (2)解：，L0BC=90°，0B=4,BC=2V5 ∴0C=0B2+BC=√42+(2⑤-6， .AC=0A+0C=4+6=10, ,OEIIAB,∴.△OEC△ABC, 器-=品- 3.【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理以及三角函数定义等 (1)连接0C,根据圆的切线性质得∠OCB+∠BCF=90°，再利用直径所对的圆周角是直 角得∠0CB+∠OCA=90°，根据等腰三角形的性质，由OA=OC得∠OCA=∠A,即可得证： (2)先根据三角函数定义，得smB=怨=子求出AC的长，结合勾股定理求出BC的长， 从而求得sinA=进而得到DB=专AD,最后由勾股定理得：AE2+DE2=AD2,即可求 得AD的长 【答案】(1)证明：如图，连接OC, 夕 E 万 CF是⊙O的切线， 0C1CF,即∠0CF=90°， 老师备课、家长伴学、学生提高 4 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ∴∠OCB+∠BCF=90°， AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∴.∠0CB+∠0CA=90°， .∠OCA=∠BCF, OA=OC,.∠OCA=∠A, ·∠A=LBCF: (2)解：⊙0的半径为10，AB=20, 在Rt△ABC中，sinB-若-号 AC=20×号12， .BC=VAB2-AC2=V202-12z=16, sM=器-8-青 点E是0B的中点，0E=0B=5, AE=A0+0E=10+5=15, DE1AB,∠AED=90°， 在Rt△ADE中，mA-器=意DE=吉AD, 由勾股定理得：AE2+DE2=AD2, 即152+（传AD)2=AD,得AD2=625, AD>0,AD=25, 故AD的长为25. 4.【分析】(1)连接0D,由等边三角形的性质可得∠ABC=∠C=60°，再证明△OBD是 等边三角形得出∠ODB=60°，由切线的性质可得∠ODE=90°，求出∠BDE=30°，即可得 证： (2)由(1)可得∠E0D=60°，再解直角三角形求出0D=5,即可得出结果， 【答案】(1)证明：如图，连接OD, 老师备课、家长伴学、学生提高 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 O B 万 E △ABC为等边三角形， .LABC=∠C=60°， ,OB=OD,∴△OBD是等边三角形， .∠0DB=60°， ~DE是⊙O的切线， 0D1DE,即∠0DE=90°， ∴.∠BDE=90°-∠ODB=30°， ÷LC=2LBDE. (2)解：由(1)知△OBD是等边三角形，∴∠EOD=60, 在Rt△0DE中，tan∠EOD=器即V5-语 OD 解得0D=5,AB=20D=10, ⊙0的直径为10. 5.【分析】(1)连接ED,根据圆周角定理得出∠EDC=90°，即AC1ED,又∠ACB= 90°，则EDIBC,得出∠DEC=∠BCE,即可证明EG=DC. (2)连接EG,根据圆周角定理得出LEGC=90°，根据题意可得CE=√5，根据EG=DC, 得出EG=CD=√5.在Rt△EGC中，由勾股定理求出CG=√2，根据EF是⊙O的切 线，得出∠CEF=90,证明△CGE~△CEF,则(N⑤=V2·CF,即可解答. 【答案】(1)证明：连接ED, ,CE是⊙O的直径， 老师备课、家长伴学、学生提高 6 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 .∠EDC=90°，即AC1ED, 又，∠ACB=90°，即AC1BC,∴.EDIBC, .∠DEC=∠BCE,.EG=DC (2)解：连接EG, ,CE是⊙0的直径，.∠EGC=90, :⊙0半径为9， 直径CB=2x9=V5, ,EG=DC,∴EG=CD=3. 在Rt△EGC中，由勾股定理：CG=VCE-BC=√(W⑤2-（同'=V2, ,EF是⊙O的切线，∴.LCEF=90°， 又LECG=∠ECF,∠EGC=LCEF=90°， ∴△CGEA CEF,-得 则CE2=CG·CF,即（⑤'=V2·CF,解得CF=52 2 6.【分析】(1)连接OC、OF,根据切线的性质得出OC1CD,确定∠COD=∠EBD,再 由圆周角定理及等量代换确定LAOF=2LB0C,即可证明： (2)过点O作0G1EF,根据等腰三角形的性质得出GF=BG=BF=2.5,确定0G= Vo®2-G示-严，再由相似三角形的判定利性质即可求解。 【答案】(1)证明：连接0C、OF,如图所示： 根据题意得DC为⊙O的切线，∴.OC1CD, .EF L CD,..OCIFE, ∴.∠COD=∠EBD, 老师备课、家长伴学、学生提高 7 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 :∠AOF=2LOBF,∠DBE=∠OBF, ..LAOF 24BOC,..AF 2BC: (2)过点O作0G1EF,如图所示： 0B=0F,.GF=BG=BF=2.5, ∴.0G=VOB2-GF= 2 .OC L CD,EF L CD, .四边形0GEC为矩形， ..OC=0A=GE=6,OGlIDE, ∴.BE=GE-BG=3.5, ,OGIIDE,.△OBG△DBE, 119 解得：DE=四 10 7.【分析】(1)连接0D,利用切线性质“圆的切线垂直于经过切点的半径得到0D1EF, 再结合EF II AB,得出OD⊥AB,再根据垂径定理的推论得出AD=BD,最后根据同弧或等 弧所对的圆周角相等得出LACD=∠BCD即可证明： (2)先证明△ADU∽△CDA,根据相似三角形的性质求出AD,然后由圆周角定理得到 ∠A0D=120°，再解△A0D即可. 【答案】(1)解：连接0D, B E D 直线EF切⊙O于点D,∴OD1EF. 又EF II AB,OD LAB OD为⊙O的半径，AD=BD, .LACD=∠BCD,∴CD平分LACB 老师备课、家长伴学、学生提高 8 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 (2)解：连接AD,AO C A E D ∠ACD=∠BAD,∠ADU=∠CDA, ∴.△ADU△CDA, 2兴-2即DA2=DU-DC 已知DU·DC=9, 所以AD2=9,.AD=3(舍负)， ,∠ACB=120°，CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=60°，，∠A0D=2LACD=120°， 过点O作OT1AD于点T, ,0A=0D, :.AT =TD =AD=3.LAOT =LAOD=60, .0A= AT sin∠AoT =V5, ⊙0的半径长为v5. 角度2证明线段数量关系 真题回顾 例2【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用， 相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出 合适的辅助线是解本题的关键 (1)如图，连接OD,证明OD1AB,∠DOE=2∠F=90°，即EF1OD,可得ABIEF,进 一步证明∠B=∠C,可得AB=AC: (2)求解4C=8,设⊙0的半径为r,结合sin4=号可得器-千=可得：r=3, 老师备课、家长伴学、学生提高 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 AD=VA02-D0=4,求解DF=V3+3=3V2,证明△0FG~△ADG,可得% 器一号进一步可得答案 【答案】(1)解：如图，连接OD, ,以OC为半径的⊙O与AB相切于点D,∴.OD1AB, ,∠F=45°，∴.∠D0E=2∠F=90°，即EF10D, .ABIEF,.∠OEC=∠B, ,0E=0C,.∠C=L0EC, .∠B=∠C,.AB=AC: (2)解：，AB=8,AB=AC,.AC=8, 设⊙0的半径为r, A0=8-T,0D=T,而∠AD0=90,sinA=号 8子解得：r=3 ∴.0F=0D=3,A0=5,AD=√A02-D02=4, ,0D1EF,则∠D0F=90°， ∴.DF=V32+32=3W2, ,EFIAB,.△OFG△ADG, 器-器-DG=D=x32=9 7 针对练习 1. 【分析】(1)根据圆周角定理可知∠EOG,进而可知OG‖BC,根据角度关系即可证明： (2)证明△OAG∽△BCA,根据相似三角形的性质即可求解. 【答案】(1)证明：连接0G,0E, 老师备课、家长伴学、学生提高 10 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 H G B 0A=0G∴.∠0AG=L0GA, 在⊙0中，∠H=45°，∴.∠E0G=90°， ,BC是⊙0的切线，∴.L0EC=90° .OG II BC,∴.∠0GA=∠C, .∠C=LOAG.AB=BC (2)解：BC=BA=13,BD=3, .AD=13-3=10,.A0=5, ,∠A0G=∠ABC,∠OGA=LBCA, A0A6ABAC是-盼-品 2.【分析】(I)根据切线的性质，可得∠ABC+∠CBF=90°，再由AB是直径，可得 ∠DBC+LDCB=90°，再由AB=AC,可得∠ABC=LACB,可得∠DBC=∠FBC,再利用 角平分线定理即可求证： (2)连接AE,OE,证明△ABD是等腰直角三角形，可得OA=OB=3,再由三角形中位 线定理可得0EⅡAD,从而得到∠B0E=45°，据此计算即可求解. 【答案】(1)证明：，BF是⊙0的切线， ∴∠ABF=90°，.LABC+∠CBF=90°， ,AB是直径，∴.∠ADB=90°， ,∴.∠DBC+∠DCB=90°， ,AB=AC,∴，∠ABC=∠DCB, ∴.∠DBC=∠FBC,∴.BC平分∠DBF: ,∠CDB=90°，且CF1BF,.CD=CF: (2)解：如图，连接AE,OE, 老师备课、家长伴学、学生提高 11 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 B AB是直径，∠AEB=90°，∠ADB=90°， ,∠BAC=45°，AD=3V2, ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴.LBAC=∠ABD=45°，AB=VAD2+BD2= J(3W22+(3V2=6. ∴.0E=0B=3, ,AB=AC,AE⊥BC,∴，CE=BE, .OE是△ADB的中位线，.OE II AD, ∴.∠B0E=∠BAC=45, ÷BE的长度=502=江 180 3.【分析】(1)根据对角线互相平分可得四边形ACBD为平行四边形.再根据对角线相 等，可得四边形ACBD为矩形： （2)由切线的性质得0c1CH,根据snH=能=可得∠H=30,进面证明∠0AC=∠H, AC=CH,结合矩形ACBD中AC=BD即可证明BD=CH. 【答案】(1)证明：点A、B、C、D均在⊙0上， :.0A=0B,OC OD. 四边形ACBD为平行四边形. AB和CD均为⊙O的直径， ÷AB=CD,四边形ACBD为矩形 (2)证明：AB=2BH, ∴OC=OB=BH. CH为⊙O的切线， 0C1CH,即∠0CH=90°. 老师备课、家长伴学、学生提高 2 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 在Rt△0cH肿，sinH=器-克 ∠H=30°，∴∠C0H=90°-∠H=60°， ∴.∠0AC+∠0CA=∠C0H=60°， ,0A=0C,∠0AC=L0CA=30°， ∴.∠OAC=∠H,.AC=CH. 四边形ACBD为矩形， ..AC BD,.BD =CH. 4.【分析】(1)根据切线的性质可得：∠0BF=90°，从而得到0E1AD,再由垂径定理 解答即可； (2)连接BD,证明△CDB~△CBR,可得器-手设0E=x,则BD=2x,EF=5x, 0F=4,根据∠DBC=∠R,可得cOs2DBC=cos∠R,从而得号=名进而得到BD 2V5,OF=4V5,然后在Rt△OBF和Rt△ADB中，利用勾股定理解答即可 【答案】(1)证明：AB为⊙O直径，CB是⊙O的切线， ÷L0BF=90, ∠A=∠F,∠AOE=∠FOB, ∴.180°-∠A0E-∠A=180°-∠F0B-∠F, .∠AE0=∠0BF=90°，即OE1AD, ·AE=DE,即E为AD中点； (2)解：如图，连接BD, E ○ B .0A=0B,AE=DE, OE=BD,OE II BD, ACDB∽△CEF,∠DBC=∠F,2=g EF CE 老师备课、家长伴学、学生提高 13 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 BF=68C=4,器=高=号 设0E=x,则BD=2x,EF=5x, 0F=4x, ~AB为⊙O直径， .∠ADB=90°，∴.∠BDC=90°， 由(1)得：∠0BF=90°， ∠DBC=∠F, cosLDBC=cos∠F, 器=器吗=名解得x=V3, BD=25,0F=43, 在Rt△OBF中，OB=VOF2-BFZ= (4w32-62=25, AB=20B=4V3, 在Rt△ADB中，AD=V√AB2-BDZ J(4w32-(2V32=6. 5.【分析】(1)连接OE,由题意易得LOEA+∠CEF=90°，∠0EA=∠A,然后可得 ∠CEF=∠AFD=∠CFE,进而问题可求解： (2)设半径为R,OE=R,AM=2R+2,则有EM=等R,连接BE,由题意易得LA+ ∠ABE=90,∠0EB+∠BEM=90,则有△BEM-△EAM,然后可符器-器-是进 而可得EM=4,AB=6,最后根据勾股定理进行求解即可. 【答案】(1)解：△CEF是等腰三角形，理由如下： 连接OE, B M ,CE切⊙O于E,.OE1CE, 老师备课、家长伴学、学生提高 14 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 .LOEA+∠CEF=90° OA=OE,∴.∠0EA=∠A. :CD⊥AB,∴.∠A+∠AFD=90°， ·LCEF=∠AFD=∠CFE, CE=CF,∴，△CEF为等腰三角形. (2)解：设半径为R,OE=R,AM=2R+2. 在Rt△oEM中，tamM=器-品=是÷EM=R 连接BE,如图所示： D O B AB为直径，∴∠AEB=90°. ∴.∠A+∠ABE=90°， ,CE切⊙O于E,÷OE1CE, .∴.∠OEB+∠BEM=90°. ,OE=OB,LOEB=∠OBE,.LBEM=∠A, ,∠M=∠M,∴.△BEM△EAM, 一器-器-是即E?=AM:BM, ∴(（售R)=2(2R+2),解得：R=3(负根合去)， EM=4AB=6,÷器--克EB=4E, 在Rt△ABE中，由勾股定理得：(（传AE)）'+AE2=6, 解得：A6=25(负根舍去). 5 6.【分析】(1)连接0D,证明OH是△ABC的中位线，得到H I AC.且OH=AC,证明 四边形ODEH是矩形，得到OH=DE,即可得证； 老师备课、家长伴学、学生提高 15 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 (2)连接CD,BD,证明△BED∽△DEC,得到DE2=BE·CE,设BC=X,则CE=x+1, 进而求出BC的长，勾股定理求出AB的长即可. 【答案】(1)证明：连接0D, B ,DE是⊙O的切线，∴.OD⊥DE, :H是BC的中点，O是AB的中点， ∴.OH是△ABC的中位线， ∴.OH II AC且OH=AC, ,AB是直径，∴.∠ACB=90°， ∴∠0HB=∠C=90° ,OD L DE,DE⊥CE, .四边形ODEH是矩形，∴OH=DE, ∴.DE=AC,即AC=2DE; (2),DE=3BE=3,,BE=1, 设⊙O的半径为r,则AB=2r. 由(1)知AC=2DE=6. ,AB是直径，∴LACB=90 连接CD,BD,则∠ADB=90°，OD=OB, ∴.∠DAB+∠ABD=90°，∠ODB=∠ABD, :DE是切线，∴.OD L DE, 老师备课、家长伴学、学生提高 16 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 .∠0DE=90°，.∠BDE+∠0DB=90, ,∴.∠BDE=∠BAD, 又，∠DCB=∠DAB,∴∠BDE=∠BCD, '∠E=∠E,△BED△DEC, “器=器DB2=B6·CE 设BC=x,则CE=x+1, .32=1·(x+1),解得x=8,.BC=8. 在Rt△ABC中，由勾股定理：AB=√AC2+BC2=10,∴.r=5. 7.【分析】(1)结合切线的性质和三角形内角和定理等计算出LCAE与∠F的度数，即可 证明CF=AC=BC (2)先根据勾股定理计算出AC2,再求证△AEC∽△ACF,得到AE,AF与AC2的数量关系， 即可得到AE·AF的值. 【答案】(1)证明：，∠ABC=60°，AB=AC, ∴.△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=BC,LBAC=60° 如图，连接OA.连接OB,OC,延长AO交BC于点G, :AD为⊙O的切线，OA1AD,即∠0AD=90 又，AB=AC,AB=AC, ∴.直线OA垂直平分线段BC, ∴.∠AGC=90 CD1AD,∴.∠ADC=90°， .∠BCD=90°，.∠BAE=90°， ∴.∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-60°=30°，∠F=90°-∠ABC=30°， .LCAE=∠F,∴.CF=AC,∴.CF=BC. 老师备课、家长伴学、学生提高 17 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 (2)解：如图，连接OA.连接OB,OC,延长AO交BC于点G, 0A=5,∴.0C=5. 由(1)可知直线0A垂直平分线段BC, .BG GC=BC=4. ∴.0G=√0C2-CG=V52-平=3， AG=5+3=8, .AC2=AG2+GC2=82+42=80, .'AB AC,..ABC ACB. 又，∠ABC+∠AEC=∠ACB+∠ACF=180°， ..LAEC LACF. 又，LCAE=∠FAC,∴.△AEC∽△ACF, 是=9∴AB·AF=AC2=80. 角度3证明线段位置关系 真题回顾 例3【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股 定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关 键. (1)利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行： (2)先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直 角、三角函数以及勾股定理求出AC的长 【答案】(I)证明：AB=BC,∠A=∠ACB. OC=OD,÷∠ACB=∠ODC, ∠A=LODC,DF II AB: 老师备课、家长伴学、学生提高 18 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 (2)解：如图，设⊙O的半径为，连接CE, FG切⊙0于点F,六∠0FG=90° 在Rt△OFG中，cOS∠FOG=E=工=2 0G+2=3 解得r=4,BC=8, DF I AB,.∠FOG=∠ABC BC为⊙O的直径，∴∠CEB=90 在Rt△CEB中，BE=BC,cOs-ABC=台 ·CE=VBC2-CE2 3 8 AB BC 8.AE AB-BE=3 在Rt△CEA中，AC=VAE2+CEZ +-9 针对练习 1.【分析】(1)先推导出∠CAB=∠COB,得到LACB=∠CAB,则AB=BC,推导出AC1 OB,则ACIBD,即可解答： (2)先求出0C=0B=3,CE=AC=2V2,L0EC=∠BEC=90,得到0E= VoC2-CE=1维而推导出∠ACB=<CBD则am<cBD=am∠AcB-器-忌=号，即可 解答， 【答案】(1)证明：~BC=BC,“∠CAB=号C0B, 2 ACB=24COB. ∴LACB=LCAB,∴AB=BC, OB是⊙O的半径，∴AC1OB, 老师备课、家长伴学、学生提高 19 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ~BD是⊙O的切线， BD⊥OB,.AC II BD. (2)解：AF是⊙0的直径，AF=6,AC=4W2,AC10B, ∴0C=0B=3,CE=AC=2W2L0EC=∠BEC=90, ∴0E=V0C2-CE2=1, BE=0B-OE=2, AC II BD,∠ACB=∠CBD, tan4CBD=tan☑ACB=器=a-号 2.【分析】(1)连接0C,根据切线的性质可得0C⊥CD,根据平行四边形的性质可得 ABIICD,则OC 1 AB,进而根据半径相等可得OB=OC,即可得证： (2)连接AM,则∠BAM=∠BCM,根据sinBAM=sinzBCM,求得AB=10,则OB=5, 进而利用勾股定理，即可求解。 【答案】(1)证明：如图，连接0C, M D CD是⊙O的切线，.OC1CD, ~四边形ABCD是平行四边形， ABlICD ..OC⊥AB, OB=OC,∴.△OBC是等腰直角三角形， ∠0BC=45°，即∠ABC=45°. (2)解：连接AM,则LBAM=∠BCM, AB是⊙O的直径，LAMB=90°， sn<BAM=sn∠BCM-器-专即哈-吉 .AB=10,∴.0B=0C=5 老师备课、家长伴学、学生提高 20 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ∴.在Rt△0BC中，BC=√20B=5V2 3.【分析】(1)连接圆心O与点C,根据圆周角定理可知，∠B0C=2LA,得到 ∠ABE=∠COB,由平行线判定定理，得到ED‖OC,因为CD是圆的切线，所以OC⊥CD, 再由平行线的性质，得到∠CDE=90°，即可证明： (2)连接BC,得到∠ACB=90°，求出BC=2,由OA=OC,得到∠BCD=LA,由(1)知 ED1CD,得到tan∠BCD=铝=tanA=克根据勾股定理计算即可得到答案. 【答案】(1)证明：连接圆心O与点C,如下图： Y∠A是劣弧BC所对的圆周角，∠COB是劣弧BC所对的圆心角， ·∠C0B=2∠A, LABE=2LA,∠ABE=∠COB, “OC IIED(内错角相等，两直线平行)， CD是圆的切线，∴OC L CD, ∠CDE=180°-90°=90°，÷.ED1CD (2)解：如图，连接BC, AB是⊙O的直径，∴LACB=90°， “LA=∠E,tanM=tanE= 票-克AC=2Bc, 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2, (2W⑤2=4BC2+BC2,BC=2, 老师备课、家长伴学、学生提高 21 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ∠BCD+∠BC0=∠AC0+∠BC0=90°， ∴.∠BCD=∠ACO, OA=OC,∴.∠A=∠ACO,∴.∠BCD=∠A, 由(1)知ED1CD,∠CDE=90°， *.tan/BCD=g=tanA=克BD=号CD. 在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2, 4=CD2,CD= 5 4.【分析】(1)根据垂径定理可得0F1BE,由直径所对圆周角等于90°可得AC1BE, 由此即可得出结论： (2)由已知可得∠D=∠OAE,由CD是⊙O的切线CD得出LABC=∠DBA=90°，结合等角 的余角相等和平行线性质证明LBAD=LC=∠OFB,最后结合正切求边长即可. 【答案】(1)证明：连接EB,交OG于H, A ,,点G是BE的中点，∴，OF1BE, 又，AB是直径，∴.∠AEB=90°， 即AC1BE,∴.OF II AC (2)解：.0A=OE,∴.L0AE=∠0EA, 又，∠D=∠AE0,∴，LD=∠OAE, ,CD是⊙O的切线CD,AB是直径， .∠ABC=∠DBA=90°， .∠D+∠BAD=90°，LC+LEA0=90°， ∴.∠C=∠BAD, 由(1)得：OFI‖AC,∴.∠C=∠0FB, 老师备课、家长伴学、学生提高 22 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 .∠BAD=∠C=LOFB, '.tan/BAD tanc tan/OFB= ∴AB=BC-tamC=6x号4， BD=AB:ta∠BAD=4×号=号 5.【分析】(1)连接OC,由圆周角定理得∠COB=2LCAB,再由AD=2BC得∠ABD= 2LCAB,则LABD=LCOB,根据内错角相等，两直线平行得OCIDE,根据切线的性质得 OC L CF,即可得出结论： (2)延长CO交AD于点G,连接OD,易证四边形CGDE是矩形，则CG=DE,OG LAD, 根据垂径定理得AG=DG=AD=4,再由勾股定理求出OG,然后由CG=C0+OG即可 求解. 【答案】(1)证明：连接0C, D ∴.∠COB=2∠CAB, ,AD=2BC,∴.∠ABD=2LCAB, .∠ABD=∠COB,.OCIDE, ,CF是⊙O的切线， .OC⊥CF,.CF1DE: (2)解：如图，延长C0交AD于点G,连接0D, D 由(1)知OC⊥CF,CF1DE, 老师备课、家长伴学、学生提高 23 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 又，∠ADB=90°， ∴.四边形CGDE是矩形， ..CG=DE,OG L AD, AG DG=AD=4. ∴.在Rt△AG0中，0G=VA02-AG2=√52-4平=3， ,0A=5,.0C=0A=5, .∴.CG=C0+0G=5+3=8, ..DE=CG=8. 类型二与切线的判定有关的证明与计算 真题回顾 例4【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，切线的判定和性质，勾股定理，相似 三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质解决此题的关键， (1)由圆周角定理得∠BAD=90°，∠D=∠C,整理得出∠EBD=90°，进而即可得证： (2)由勾股定理得出AD=12,然后再证△BDA∽△EDB,得出肥=0进而代入求值即 DE BD' 可得解. 【答案】(1)证明：~BD是⊙O的直径， ∴.∠BAD=90°，∴.∠D+∠ABD=90°， AB=AB,∠D=∠C, ∴.∠C+∠ABD=90° .:∠ABE=∠C,∴.∠ABE+∠ABD=90°， 即∠EBD=90°， BD是⊙O的直径， ·BE是⊙O的切线： (2)解：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=16,BC=12, 由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=V162+122=20, 老师备课、家长伴学、学生提高 24 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ∠ABC=90°，.AC为⊙0的直径， BD是⊙O的直径， ∴.BD=AC=20,∠BAD=90°， 由勾股定理得，AD=VBD2-AB2=√202-162=12， 由(1)知LEBD=90°， ∴.∠EBD=∠BAD=90°， 又~∠D为公共角，△BDA∽△EDB, 器品=四 3 针对练习 1.【分析】(1)连接OC,可得OC是△ABD的中位线，即OC BD,根据平行线性质即可 解答： (2)求得0F=5,证明△FBE∽△F0C,利用相似三角形的性质即可解答. 【答案】(1)证明：如图，连接0C, AB为⊙O的直径，·A0=BO. CD=AC,.OC是△ABD的中位线，.OC II BD, CF⊥BD,∴OC1CF, 0C是⊙0半径， ·CF为⊙O的切线， (2)解：由(1)可知L0CF=90°，则0F=VOC2+CF2=5 ∠BEF=∠OCF=90°，∠F=∠F, aF86△P0C,器-装 BF=0F-0B=5-3=2,0C=3, 是职BE=号 老师备课、家长伴学、学生提高 25 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2.【分析】(1)证明∠EDF=∠AED=∠ACB=90°即可得证； (2)过点D作DG LAB于点G,根据勾股定理，三角函数的应用，结合△BDF的面积为： BF,DG求解即可. 【答案】(1)证明：AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， ,OE I BC,∴.∠AED=∠ACB=90°， ,DF I AC,∴.∠EDF=∠AED=∠ACB=90°， ∴.DF是⊙O的切线 (2)解：过点D作DG⊥AB于点G, ,0D=5,AC=8, .0B=0D=5,AB=20D=10, ∴.BC=VAB2-AC2=6, sin/ABC=-告-青c0s-ARG=器= ,OE I BC,.∠ABC=LDOB, sinD08-器= cos4D0B=8胎=是 ÷DG=0D=4,0F=9-9 5 ∴BF=0F-0B=5-5= ∴△BDF的面积为：BF:DG=x9×4=碧 3.【分析】(1)连接OC,利用DE1AB可得∠B+∠DCG=90°，又根据等边对等角可得 ∠B=∠OCB,进而可得LOCB+∠DCG=90°，结论即可论证： (2)通过论证△OAC∽△DGC即可得出结论. 【答案】(1)证明：如图，连接0C, DE1AB,∠B+∠BGE=90°， 老师备课、家长伴学、学生提高 26 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ∠BGE=∠DGC=∠DCG, ·∠B+∠DCG=90°， :OC=OB,∴.∠B=∠OCB, ∴.L0CB+LDCG=90°，即0C1CD, CD是⊙O的切线. B (2)解：AB是⊙O的直径，÷LACB=90°， ∴.∠OCA+∠OCB=90°，∴.∠OCA=∠DCG, OA=OC,∠OCA=∠0AC=∠DGC=∠DCG, △OAC△DGC, AC OC 品吕c6=骨 4.【分析】(1)由AC平分∠BAD=60°，得∠CA0=30°，再根据0A=0C和三角形外角 的性质，可得LCOP=∠CAO+∠OCA=60°.再根据三角形内角和可求出LOCP,则可得 OC1CP,进而即可求证： (2)先证明四边形OABC是平行四边形，再根据OA=OC,证明其为菱形.由LCAP ∠P=30得CP=AC=3V3,在Rt△C0P中，OC=CP·tan30°=3，进而求出菱形的周长. 【答案】(1)证明：∠BAD=60,AC平分LBAD, ÷.∠CA0=30° 0A=0C,∠CA0=∠0CA=30°， ÷.LC0P=∠CA0+∠0CA=60°， L0CP=180°-∠C0P-∠P=90°，即0C1CP, 0C是⊙0的半径， ∴CP是⊙O的切线： 老师备课、家长伴学、学生提高 27 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 (2)解：∠COP=∠BAD=60°，ABIIOC, BCIIAP,四边形OABC是平行四边形， OA=OC,四边形0ABC是菱形. 由(1)知，∠CAP=∠P=30°， .CP AC=3v3, 在Rt△c0P中，0c=CP,tan30°=3V3×9=3, 菱形0ABC的周长=40C=12,即四边形0ABC的周长为12. 5.【分析】(1)利用等腰三角形OMA与角平分线证明AB‖OM,两直线平行同位角相等， 从而得出答案： (2)连EF得直角三角形AEF,利用平行线性质得到对应角相等证明△AEF~△OMC,根 据相似比和等量代换求解， 【答案】(1)解：BC与⊙0相切，理由如下： 连接0M,如图， B M ,AM是角平分线，∴.∠BAM=∠CAM, ,OA=OM,.∠CAM=∠0MA, ∴.∠OMA=∠BAM,.AB II OM. ∴.∠OMC=∠B=90°，.∴，OM⊥BC, ,0M为⊙0的半径，∴，BC与⊙0相切. (2)解：连接EF,如图， B M :AF为⊙O的直径，∴.LAEF=∠B=90°， 老师备课、家长伴学、学生提高 28 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 .EFIBC,.∠AFE=∠C, :0MC=0,∴AAEFA0MC,是=g器 0A:0C=3:5,0A=0F=0M, OM ,.0M=3, 6.【分析】本题主要考查圆的切线判定定理、圆周角定理（直径所对圆周角是直角）、等腰 三角形性质以及锐角三角函数的定义。重难点在于利用辅助圆（以A为圆心）的性质证明垂 直，以及通过角度转换，利用三角函数求半径。 (1)根据直径所对圆周角是直角，结合圆的切线判定定理，即可证明OP1PC,从而求证 PC是⊙的切线. (2)根据等腰三角形性质以及锐角三角函数的定义，即可求证∠AQP=∠BCP,从而利用 三角函数求半径。 【答案】(1)证明：依题意得AB=AP=AC. 点B、A、C在同一条直线上， ·BC为⊙A的直径. ·LBPC=90°，即OP1PC. 0P为⊙0的半径， ·PC为⊙O的切线. (2)解：如图，连接AQ, PQ为⊙0的直径，.∠QAP=90°. AB=AP,∠ABP=∠APB, LBCP+∠ABP=∠AQP+∠APB=90°， 老师备课、家长伴学、学生提高 29 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ·∠AQP=∠BCP im2A0P=sinCP-音号-圭 AP=12,P0=52=15. P0=PQ=7.5.÷⊙0的半径为7.5， 7.【分析】(1)选择小明同学的建议：过点O作OF1AD,连接OE,BD,证明 △DFO≌△BEO(AAS),可得OF=OE,即可解答；选择小红同学的建议： 连接EO,并延长交AD于点F,证明△FOD≌△EOB(ASA),可得DF=BE,OF=OE,即可 解答： (2)当AB与⊙O相切时，切点记为点F,证明Rt△OFB兰Rt△OEB(HL),可得∠ABD= ∠CBD,即可解答。 【答案】(1)解：选择小明同学的建议： 过点O作OF1AD,连接OE,BD,如图： ∴.∠DF0=90°， ,O是☐ABCD的对称中心， ∴.B,O,D三点共线，且OB=DO,AD II BC, ∴.∠FD0=∠EB0, ,BC与⊙O相切于点E, .OE1BC,即∠BE0=90°， ..LDFO=LBEO, .△DF0≌△BEO(AAS),∴.OF=OE, ,∠DF0=90°∴.直线AD是⊙0的切线： 选择小红同学的建议： 连接EO,并延长交AD于点F,如图： 老师备课、家长伴学、学生提高 30 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ,O是口ABCD的对称中心， ∴.B,O,D三点共线，且OB=DO,AD II BC, .∠FD0=∠EB0, ,BC与⊙O相切于点E,∴，OE1BC, ,AD II BC,.LDF0=∠BE0=90°， ,OB=D0,∠FOD=∠EOB, .△FOD≌△EOB(ASA), ∴.DF=BE,OF=OE, :∠DF0=90°，∴.F是切点， 即直线AD是⊙O的切线： (2)解：□ABCD是菱形，理由如下： 当AB与⊙O相切时，切点记为点F,如图所示： B ,BC与⊙0相切于点E.AB与⊙O相切于点F, .∠OFB=∠0EB=90°， B0=B0,0F=0E, ∴.Rt△OFB≌Rt△OEB(HL), ∴∠ABD=∠CBD, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD II BC,..ZADB ZCBD. 老师备课、家长伴学、学生提高 31 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ∠ADB=∠ABD,AB=AD, ,四边形ABCD是平行四边形， .口ABCD是菱形. 8.【分析】(1)先根据圆周角定理以及三角形内角和的关系得到∠ACB+∠0AB=90°， 再由角度的关系得到LOAB=∠CAH,进行等量代换，得到∠OAD=90°，由此可证切线： (2)先由△DAC~△DBA,得到边长成比例进而求解AC的长度，结合cos4CAH=票，可 求解AH,进而可得LABH的度数，由圆周角定理即可求解LAOC的度数，再由等边三角形 的面积和扇形面积即可求解阴影面积. 【答案】(1)证明：连接0A,0B,如图， 0A=0B,∴.∠0AB=∠OBC, ,∠OAB+∠0BA+∠AOB=180°， ∴.∠A0B=180°-2L0AB, .LAOB 2LACB, .2∠ACB=180°-2∠0AB,即2（∠ACB+∠0AB)=180°， ∴.∠ACB+∠0AB=90°， ,∠ACB+∠CAH=90°，∴.∠OAB=∠CAH, ∴.∠OAB+∠OAH=∠CAH+∠OAH,即LBAH=∠OAC, ,∠CAD=∠ABC,∠ABC+∠BAH=90°， ∴.∠CAD+∠BAH=90°， ∴.∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，，.OA⊥AD. ,0A是⊙0的半径，.AD为⊙O切线. (2)解：连接0A,0C,如图， 老师备课、家长伴学、学生提高 32 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 B ,LD=∠D,∠CAD=LABD, ∴△DAC-△DBA.品-0=岩 由2CD=V8AD,得89=9 由AB=2,可得AC=V5, 在Rt△AHC中，Cos/GAH=是=得=9AH=1, 由勾股定理可得HC=VAC2-AH=V3-1=√2， 在Rt△AHB中，AH=1,AB=2, ∴.sin-ABH=器=京即∠ABH=30, .∠A0C=2LABH=60°， ,OA=OC,则△A0C为等边三角形， ∴.0A=0C=AC=V3, ∴.△AoC的高为h a-(-多 ∴5a0c=×AC×h=xBx-g S扇形0AC= @-5∴片华 360 4 9.【分析】(1)过点O作OG1CE于点G,证明LAC0=∠BOD,再证明∠D=∠ACO: ∠OCG=∠G0F,∠AC0=∠GC0,证明△AC0兰△GCO(AAS)得OG=OA,从而可得CE是 ⊙0的切线（作垂直，证相等）： (2)过点D作DM1AB交AB的延长线于点M,设OB=OG=OA=R,则BD=R,设 DM=x,求出OM=2x,BM=2x-R,得出R=x,由OD=8得R=2V5,求出0A=2W5, AC=4V5,由勾股定理求出0C. 【答案】(1)证明：过点O作0G1CE于点G, 老师备课、家长伴学、学生提高 33 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 G F D B ,AC与⊙0相切于点A, .∠CA0=90°，.∠A0C+∠AC0=90°， 0D10C,∴.∠C0D=90°， ∠A0C+∠B0D=90°，.∴.∠AC0=∠B0D, BD=OB,∴，∠D=∠DOB,.∠D=∠AC0: ,∠C0F=90°，.LC0G+∠F0G=90°， ,L0GC=90°，∴.L0CG+∠C0G=90°， ∴.∠OCG=∠GOF:又CE⊥BD,OG⊥CE .OG IIBD,∴.∠D=∠FOG, ∴∠OCG=∠D,∴，∠AC0=∠GC0, 又L0AC=L0GC=90°，C0=C0, ∴.△AC0≌△GCO(AAS), OG=0A,.CE是⊙O的切线： (2)解：过点D作DM1AB交AB的延长线于点M, D B M 设OB=OG=OA=R,则BD=R,设DM=x, ,LBOD=∠BDO, 老师备课、家长伴学、学生提高 34 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 tam∠80D=tam∠BD0=器=点=克 ∴.0M=2x,∴.BM=OM-0B=2x-R, 在Rt△DBM中，DM2+BM2=BD2, ∴2+(2x-)2=R2,解得：R=, 在Rt△D0M中，DM2+OM2=OD2, x2+(2x)2=82,x=8V5, 5 R=x号V5=2W5,0A=2W5, 又∠AC0=∠ODB, m2AG0=a400B=器-爱-克AC=4W5. 在Rt△AC0中，OC=√OA2+AC2 (2v⑤+(4w52-10. 类型三不涉及切线的证明与计算 真题回顾 例5【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定 和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键. (1)如图，连接DC,根据圆周角定理得到∠BDC=∠BAC=45°，求得∠BCD=90°- ∠BDC=45°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论： (2)如图，根据圆周角定理得到CD为⊙O的直径，求得CD=2r=6.根据勾股定理得到 EC=BE2+BC2 62+3V2)?=3V6,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结 论 【答案】(1)证明：如图，连接DC, 老师备课、家长伴学、学生提高 35 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 则∠BDC=LBAC=45°， BD1BC,∠BCD=90°-∠BDC=45°， ∴.∠BCD=∠BDC.∴.BD=BC: (2)如图，∠DBC=90°， CD为⊙0的直径，CD=2r=6. .BC CD.sinzBDC=6x=32. 2 ·EC=VBE2+BCZ 62+3W2)2=3V6, BF1AC,∠BMC=∠EBC=90°， 又∠BCM=∠BCM,÷ABCM~△ECB,小器-器=岩 8w-2-2=2,CM=器=2-6 EC 36 连接CF,，则LF=∠BDC=45°，∠MCF=45, .MF=MC=√6，.BF=BM+MF=2V5+V6. 针对练习 1.【分析】(1)根据圆周角定理得到∠GAF=∠GEH,结合角平分线的定义，可证明 ∠GAF=∠GEH,再结合对项角相等，即可证明结论： (2)连接DE,先证明△AGF兰△ABF,得到AG=AB=7,可得DG=3,再证明GH= DH,即可求得答案. 【答案】(1)解：AC平分LBAD,∠BAC=∠GAF, ~BC是∠BAC和LGEH所对的弧，·.∠GAF=∠GEH, ∠AGF=∠EGH,∴△AFG∽△EHG: (2)解：连接DE, 老师备课、家长伴学、学生提高 36 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 E B AC⊥BE,∴.∠AFG=∠AFB=90°， ∠GAF=∠BAC,AF=AF, △AGF≌△ABF(ASA), ·AG=AB=7,∠B=∠AGF, :∠B=∠D,∠EGD=∠AGF, LEGD=∠D,·EG=ED, .△AFG∽△EHG, .∠AFG=∠EHG=90°，∴.GH=DH, .'DG=AD-AG=10-7=3, DH=DG=是 2.【分析】(1)根据AB为⊙O的直径，可得∠CAD+∠G=90°，根据AC=CD得出 ∠ABC=∠CAD,进而得出∠ABC+∠BCE=90°，即可得出CF L AB: (2)根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出CF=7,进而求得CE,勾股 定理求得AE,AC,再证明△ABC~△ACE,根据相似三角形的性质，即可求解. 【答案】(1)证明：~AB是⊙O的直径， ·.∠ACB=90°.·.∠CAD+∠G=90°. AC=CD,÷LABC=∠CAD. ∴.∠ABC+∠G=90°. ∠BCE=∠G,∴.∠ABC+∠BCE=90°. ·∠BEC=90°，即CF1AB. (2)解：∠BCE=∠G,∠ACF+∠BCE=90°，∠G+∠CAF=90°， 老师备课、家长伴学、学生提高 37 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ·CF=FG,LCAF=∠ACF. “AF=CF=FG=AG=7. .AE =AF2 EF2=3V5,CE CF-EF =7-2=5. .AC=√AE2+CE区=√70 由(1)可知∠ABC+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCE=90°， ·LABC=∠ACE. LACB=∠AEC=90°，∴△ABC∽△ACE. 是能即0=需B= 3 3.【分析】(1)由CE为⊙O的直径可得∠CAE=90°，再证明∠ACB+∠ACE=90°，再由 BD⊥AC,可得LBDC=90°，从而得出∠ACB+∠DBC=90°，最后可得结果： (2)连接BE,过点O作OG L BC于点G,先求得LBEC=∠BAC,可得tanBEC= taniBAC=四，设BE=2x,则BC=V2ix,由中位线性质可得OG=BE=x,CG= 2 吉BC=受x,由勾般定理可列方程2+（受了=102，解得x=4,求得0G=48E=8, BC=4V2I1,再证明△EBF∽△ABC,可求得EF=EB=8,最后求得结果. 【答案】(1)证明：~CE为⊙0的直径， ·∠CAE=90°，÷∠ACE+LAEC=90°， ∠AEC=LABC,AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=∠AEC, .∠ACB+LACE=90°， BD L AC,.∠BDC=90°， ∠ACB+∠DBC=90°， ·LACE=∠DBC: (2)解：如图，连接BE,过点O作0G⊥BC于点G, 老师备课、家长伴学、学生提高 38 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 E O G ~CE为⊙O的直径，∴∠CBE=90°， ∠BEC=∠BAC, tan_BEC=-tan-BAC=÷荒= 2 设BE=2x,则BC=√21x, ·OG1BC,∴点G是BC的中点， 点O是CE的中点，~OG是△BCE的中位线， 0G=8B=x,CG=Bc=要x, 2 ÷在Rt△0CG中，0G2+CG2=0C2, 即2+（停）=10，解得x=4(负值已舍去)， 0G=4,BE=8,BC=4W21, 由(1)知LACE=∠DBC, ·.∠DFC=LDBC+LBCE=∠ACE+LBCE=LACB, ·∠EFB=LDFC=∠ACB, 又∠BEC=∠BAC,∴△EBF∽△ABC, 器=8=1，EF=EB=8, ∴0F=0E-EF=0C-EF=10-8=2. 4.【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角求出∠AEB=90°，∠AFB=90°，结合圆的 性质，证得∠3=∠2，再结合等腰三角形的性质即可得证： (2)先证出△GEA~△ABF,得到-凭-专再根据幻股定理即可求出： 【答案】(1)证明：连接AF,BE, 老师备课、家长伴学、学生提高 39 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 B ,AB为⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°，∠AFB=90°， ∴.∠GEA+∠BEH=90°， 又，LG=90°，∠3+∠GEA=90°， ∠3=∠BEH, ∠BEH=∠2，.∠3=∠2， 又AB=AC,AF⊥BC, ÷L1=L2=5LCAB,÷LCAB=2L2, ∠BAC=2∠3.即∠BAC=2∠GAE. (2)解：过点O作OM⊥GH于点M,则ME=MF, G 2 E T F2H 3 3m2m B ,BH1EF,AG⊥EF,OM⊥GH, ..OMIAGIIBH, A0=0B,9= OA GM MG=MH,÷FH=GE=2, ∠2=∠3，∠G=∠AFB=90°， aGEA△FBM,÷架-是-子 设BF=2m,AF=3m, 老师备课、家长伴学、学生提高 40 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 ∠1=∠2，BF=EF, 在Rt△AGF中，AG2+GF2=AF2, .32+(2+2m)2=(3m2, 解得：m1=号，m=一1（舍去），∴BF= ∴Rt△BHF中，BH 、罔-4-告 5.【分析】(1)根据圆内接四边形的性质，结合等边对等角，推出∠ABC=∠C,即可得 出结果： (2)连接BM,根据垂径定理，圆周角定理，分别解直角三角形BHM和直角三角形BME, 即可得出结果。 【答案】(1)解：：四边形ABEF内接于⊙O, .∠ABC+∠AFE=180°， 又，∠AFE+∠EFC=180°，∴.∠EFC=∠ABC, ,EF=EC,LC=∠EFC, .LABC=∠C,∴.AB=AC: (2)解：连接BM,如图， M ,M,O,E三点共线，∴.ME为⊙O的直径， ∴∠MBE=90°，∴.∠ABC+∠ABM=90°， ,点M是AB的中点， .OM垂直平分AB, ∴.AH=BH=1AB=3,∠ABM+∠BMH=90°， ∴.∠ABC=∠BMH, 由(1)知：∠ABC=∠C,.∠BMH=∠C, 老师备课、家长伴学、学生提高 41 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 sn2BMH=nc-器-器-吉 BM=月8H=3x=号 设BE=4x,ME=5x,则BM=VME2-BE=3x, 3x=gx=是MB=5x=华 “⊙0的半径=MB=装 老师备课、家长伴学、学生提高 422026陕西中考数学考前冲刺——圆的综合题张学远新中考 · 个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺——圆的综合题（第24题） 目 录 一、考情分析 2 （一）整体考情概览 2 （二）核心考法与解题技巧 2 二、必备知识 4 三、题型特训 6 类型一 与切线的性质有关的证明与计算 6 角度1 证明角度数量关系/6 角度2 证明线段数量关系/10 角度3 证明线段位置关系/14 类型二 与切线的判定有关的证明与计算 17 类型三 不涉及切线的证明与计算 23 相关文档 1.教师版word 2.学生版word、pdf 3.参考答案详解详析pdf 选题：吴莎莎 策划：吴莎莎 审校：贾廷 阮长鑫 陈佳欢 策划团队：张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺——圆的综合题（第24题） 一、考情分析 结合陕西中考数学近三年（2025-2023年）的真题，对第24题“圆的综合题”进行详细考情分析，如下： （一）整体考情概览 题型：解答题；分值：固定为8分；题位：连续多年稳定在第24题。 核心模块：主要围绕“圆”展开，常综合考查圆的基本性质、与圆有关的位置关系以及三角形等相关知识。 年份 设问形式 辅助线作法 考查知识点 2025 （1）证线段相等 （2）求线段长 （1）连半径 切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质 2025 副卷 （1）证平行 （2）求线段长 （2）连弦 切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理 2024 （1）证角相等 （2）求线段长 — 切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质 2024 副卷 （1）证切线 （2）求线段长 — 切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质 2023 （1）证线段相等 （2）求线段长 （1）连直径 （2）连弦 圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质 2023 副卷 （1）证线段相等 （2）求线段长 （1）连半径、连弦 （2）作垂直 切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质 （二）核心考法与解题技巧 1. 核心考法 陕西24题“圆的综合题”通常包含证明和计算两问。我们将该题型详分为三大类，设问分析如下表： 类型 考情 第（1）问 第（2）问 类型一 与切线的性质有关的证明与计算 2025，2025副卷 2024，2023副卷 ①证明角度数量关系 ②证明线段数量关系 ③证明线段位置关系 求线段长 类型二 与切线的判定有关的证明与计算 2024副卷 切线的判定 类型三 不涉及切线的证明与计算 2023 同“类型一” 2. 证明的常见设问及思路 （1）证明角度数量关系——证明两角相等 找同角/等角的余角或补角：当图中出现直角或平角时，这是最常用的方法；【2024.24（1）】 利用平行线：寻找同位角、内错角相等； 利用等腰三角形：等边对等角； 利用圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等； 利用全等或相似三角形：对应角相等。 （2）证明线段数量关系——证明两线段相等 在同一三角形中：证明它是等腰三角形（等角对等边）；【2025.24（1），2023.24（1）】 在两个三角形中：证明这两个三角形全等；【2023副卷.24（1）】 利用特殊四边形：如证明是矩形、菱形、正方形的对边或对角线等； 利用中点性质：证明某点是线段的中点。 （3）证明线段位置关系——证明平行或垂直 平行：主要利用平行线的判定定理；【2025副卷.24（1）】 垂直：证明夹角为90°，常利用直径所对的圆周角是直角、切线的性质等。 （4）切线的判定 ①满足切线的定义即可得证；【2024副卷.24（1）】 ②公共点明确，连半径，证垂直；③公共点不明确，作垂直，证与半径相等。 3. 计算的常见设问及方法 （1）求线段长（半径/直径/弦） ①锐角三角函数：出现特殊角（30°/45°/60°）或已知三角函数值时， 若此线段在直角三角形，可将三角函数值转化为直角三角形的边长比； 若没有直角三角形，可作垂直构造直角三角形； 若线段和角不在同一直角三角形，可导角找等角或同角的三角函数值相等，实现不同直角三角形的边长转换； ②勾股定理：此线段在直角三角形中或者构造直角三角形，可用勾股定理进行计算；【2025副卷.24（2）】 ③相似三角形的判定与性质：利用对应边成比例来求解线段长，常见的相似模型有“A字型”、“8字型”等。【A字型：2024.24（2），2024副卷.24（2），2023.24（2）；8字型：2025.24（2），2023副卷.24（2）】 （2）求角度/三角函数：一般通过倒角进行计算。 （3）求弧长/周长：直接利用周长/弧长公式进行计算。 （4）求扇形/阴影面积：直接利用扇形面积公式，或结合和差法、等积转化法等方法进行计算。 4. 圆中常见辅助线作法 （1）连半径：看到切点，连半径，得垂直，这是处理切线问题的第一步。 （2）连直径：当遇到90°的圆周角，可连接其两边与圆的交点构造直径。 （3）连接弦：①当遇到直径时，想直径所对的圆周角是90°（圆周角定理推论2），连接弦是构造直角三角形；②当需要利用圆周角定理时，可连接相关点构成弦。 （4）作垂直（作高）：当需要运用锐角三角函数或勾股定理时，可作垂直构造直角三角形。 二、必备知识 知识点一 弦、弧、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 。 “知一推二”——如图1，若 ，则, ；若，则 ，；若 ，则 ，． 图1 图2 知识点二 垂径定理及其推论 定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧； 推论：平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的弧． “知二推三”——如图2，根据圆的对称性，有以下五个结论： 是的直径； ； ； ； . 知识点三 圆周角定理及其推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ； 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ； 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是 。 知识点四 切线的性质与判定 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。注：圆心到切线的距离等于半径。 切线的判定：①定义法：满足切线的定义即可得证； 图3 图4 知识点五 圆的弧长和扇形相关计算 圆的周长与弧长公式 圆的周长 扇形的弧长 圆与扇形的面积公式 圆的面积 扇形的面积 阴影部分的面积计算 分割求和法 连接， 直接和差法 构造和差法 连接， 等积转换法 连接，， 三、题型特训 类型一 与切线的性质有关的证明与计算 角度1 证明角度数量关系（2024.24） 真题回顾 例1 （2024陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 针对练习 1．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，以为直径作，点C和点D都是圆上的一点，过点D作的切线交延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，点在的边上，连接，以为直径的经过点，过点作，交于点，是的切线． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的值． 3．（2026·陕西渭南·一模）如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，的半径为，，求的长． 4．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，以等边的边为直径作，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的直径． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点E在上，连接，以为直径作，交于点D，交于点G，过点E作⊙O的切线交于点F． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的长． 6．（2026·陕西西安·三模）如图，为的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点B作的垂线，垂足为E，延长，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 7．（2026·陕西西安·三模）如图，内接于，，直线切于点D，且，连接交于点U． (1)求证：平分； (2)若，求的半径长． 角度2 证明线段数量关系（2025.24，2023副卷.24） 真题回顾 例2 （2025陕西）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 针对练习 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在边上，以为直径作，分别交、边于点G、E，点H在上方的上，连接、，，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的值． 2．（2026·陕西延安·一模）如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，是的切线，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 3．（2026·陕西渭南·二模）如图，为的直径，点在的延长线上，过点作的切线，为切点，连接并延长交于点，连接、、、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求证：． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为直径，是的切线，连接交于点，点在上，连接并延长交于点，且． (1)求证：为中点； (2)若，，求的长度． 5．（2026·山东聊城·一模）如图，为的直径，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作，垂足为． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，，求的长度． 6．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，为的直径，为的弦，点为的中点，连接，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，的半径． 7．（2026·安徽阜阳·三模）如图，内接于，，与相切，，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)若的半径为5，，求的值． 角度3 证明线段位置关系（2025副卷.24） 真题回顾 例3 （2025陕西副卷）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 针对练习 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，是的直径，内接于，连接，过点B作的切线交的延长线于点D，． (1)求证：； (2)与交于点E，若，，求的值． 2．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，以为直径作，恰好为的切线．点为上方上的点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线，交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，是的直径，过点作的切线，连接，，交于点，点是的中点，连接并延长交于点，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，C、D是上的两点，且分别分布在的两侧，满足．连接，，，过点C作的切线交的延长线于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型二 与切线的判定有关的证明与计算（2024副卷.24） 真题回顾 例4 （2024陕西副卷）如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 针对练习 1．（2026·陕西安康·一模）如图，为的直径，为弦延长线上一点，且满足，连接，并过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求线段的长． 2．（2026·广东深圳·一模）如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的面积． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，内接于，且是的直径，是外一点，连接，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求的长． 4．（2026·陕西·一模）如图，已知为的直径，点均在上，连接，平分，延长至点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求四边形的周长． 5．（2026·山东东营·二模）如图，在中，，是角平分线，是上一点，经过点、点的分别交，于点，点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 6．新考法 （2026·广东汕头·一模）问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？ 【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点、重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接． (1)【推理证明】小明认为此时是的切线．请你帮小明写出证明过程； (2)【数值计算】若，，求的半径． 7．新考法 （2026·广东汕头·一模）已知：O是的对称中心，与相切于点E． (1)如图1，求证：直线是的切线． 小明建议：可以过点O作的垂线…… 小红建议：也可以连接并延长…… 选择其中一位同学的建议，完成证明： (2)如图2，当与相切时，是菱形吗？说明理由． 8．（2026·山东聊城·二模）如图，内接于，是边上的高，过点A作射线交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积． 9．（2026·甘肃白银·一模）如图，是的直径，与相切于点A，连接，过点O作的垂线，在垂线上取一点D，连接，使得，过点 C作的垂线分别交于点 E，F． (1)求证：是的切线； (2)若 ，，求的长． 类型三 不涉及切线的证明与计算（2023.24） 真题回顾 例5 （2023陕西）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 针对练习 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，点A，B，C，D，E均在上，分别连接，，，，，平分，与相交于F，与相交于G，与相交于H． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．（2026·陕西铜川·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，E是上一点，连接并延长交于点F，延长，交于点G，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2026·陕西商洛·二模）如图，已知内接于，且．连接并延长，交于点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F．分别过点A，B作于点G，于点H． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 5．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，四边形内接于，延长，交于点，点是的中点，连接交于点，且， (1)求证：； (2)当，，三点共线时，若，，求的半径． 老师备课、家长伴学、学生提高1 学科网（北京）股份有限公司 $张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2026陕西中考数学考前冲刺一」 圆的综合题（第24题) 目录 一、考情分析... 2 (一)整体考情概览 (二)核心考法与解题技巧 2 二、必备知识.... 三、题型特训 类型一与切线的性质有关的证明与计算 角度1证明角度数量关系/6 角度2证明线段数量关系/10 角度3证明线段位置关系/14 类型二与切线的判定有关的证明与计算 17 类型三不涉及切线的证明与计算..· ……….23 相关文档 1.教师版word 2.学生版word、pdf 3.参考答案详解详析pdf 选题：吴莎莎 策划：吴莎莎 审校：贾廷阮长鑫陈佳欢 策划团队：张学远新中考·个性化学伴 老师备课、家长伴学、学生提高 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2026陕西中考数学考前冲刺— 圆的综合题（第24题) 一、 考情分析 结合陕西中考数学近三年(2025-2023年)的真题，对第24题“圆的综合题”进行详细考 情分析，如下： (一)整体考情概览 题型：解答题；分值：固定为8分；题位：连续多年稳定在第24题。 核心模块：主要围绕“圆”展开，常综合考查圆的基本性质、与圆有关的位置关系以及三 角形等相关知识。 年份 设问形式 辅助线作法 考查知识点 (1)证线段相等 切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角 2025 (1)连半径 (2)求线段长 形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理， 相似三角形的判定与性质 2025 (1)证平行 切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性 副卷 (2)求线段长 (2)连弦 质，平行线的判定与性质，锐角三角函数，勾 股定理 (1)证角相等 切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的 2024 (2)求线段长 判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与 性质 2024 （1)证切线 切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理， 副卷 (2)求线段长 相似三角形的判定与性质 (1)证线段相等 (1)连直径 圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质， 2023 (2)求线段长 (2)连弦 锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定 与性质 （1)连半 切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性 2023 (1)证线段相等 质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角 副卷 (2)求线段长 径、连弦 (2)作垂直 形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三 角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质 (二) 核心考法与解题技巧 1.核心考法 陕西24题“圆的综合题”通常包含证明和计算两问。我们将该题型详分为三大类，设问分 析如下表： 类型 考情 第（1)问 第(2)问 类型一与切线的性质有关 2025,2025副卷 ①证明角度数量关系 的证明与计算 2024,2023副卷 ②证明线段数量关系 ③证明线段位置关系 类型二与切线的判定有关 2024副卷 切线的判定 求线段长 的证明与计算 类型三不涉及切线的证明 2023 与计算 同“类型一” 老师备课、家长伴学、学生提高 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2.证明的常见设问及思路 (1)证明角度数量关系一证明两角相等 找同角/等角的余角或补角：当图中出现直角或平角时，这是最常用的方法：【2024.24 (1)】 利用平行线：寻找同位角、内错角相等： 利用等腰三角形：等边对等角： 利用圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等： 利用全等或相似三角形：对应角相等。 (2)证明线段数量关系—证明两线段相等 在同一三角形中：证明它是等腰三角形（等角对等边）：【2025.24（1)，2023.24（1)】 在两个三角形中：证明这两个三角形全等：【2023副卷.24(1)】 利用特殊四边形：如证明是矩形、菱形、正方形的对边或对角线等； 利用中点性质：证明某点是线段的中点。 (3)证明线段位置关系—证明平行或垂直 平行：主要利用平行线的判定定理；【2025副卷.24（1)】 垂直：证明夹角为90°，常利用直径所对的圆周角是直角、切线的性质等。 (4)切线的判定 ①满足切线的定义即可得证；【2024副卷.24(1)】 ②公共点明确，连半径，证垂直；③公共点不明确，作垂直，证与半径相等。 3.计算的常见设问及方法 (1)求线段长（半径/直径/弦） ①锐角三角函数：出现特殊角（30°/45°/60°)或己知三角函数值时， 若此线段在直角三角形，可将三角函数值转化为直角三角形的边长比；： 若没有直角三角形，可作垂直构造直角三角形： 若线段和角不在同一直角三角形，可导角找等角或同角的三角函数值相等，实现不同直角 三角形的边长转换； ②勾股定理：此线段在直角三角形中或者构造直角三角形，可用勾股定理进行计算： 【2025副卷.24(2)】 ③相似三角形的判定与性质：利用对应边成比例来求解线段长，常见的相似模型有“A字 型”、“8字型”等。【A字型：2024.24（2)，2024副卷.24（2)，2023.24(2)；8字 型：2025.24（2)，2023副卷.24(2)】 (2)求角度/三角函数：一般通过倒角进行计算。 (3)求弧长/周长：直接利用周长/弧长公式进行计算。 老师备课、家长伴学、学生提高 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 (4)求扇形/阴影面积：直接利用扇形面积公式，或结合和差法、等积转化法等方法进行 计算。 4.圆中常见辅助线作法 (1)连半径：看到切点，连半径，得垂直，这是处理切线问题的第一步。 (2)连直径：当遇到90°的圆周角，可连接其两边与圆的交点构造直径。 (3)连接弦：①当遇到直径时，想直径所对的圆周角是90°（圆周角定理推论2)，连接 弦是构造直角三角形；②当需要利用圆周角定理时，可连接相关点构成弦。 (4)作垂直（作高)：当需要运用锐角三角函数或勾股定理时，可作垂直构造直角三角形。 二、必备知识 知识点一弦、弧、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 所对的弦 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别一。 “知一推二”一一如图1，若∠A0B= 则AB=CD,AB=;若AB=CD,则 ∠AOB=,AB=CD;若AB=」 ,则∠AOB= AB=CD. 图1 图2 知识点二垂径定理及其推论 定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧； 推论：平分弦（不是直径）的直径于弦，并且弦所对的弧. “知二推三”一一如图2，根据圆的对称性，有以下五个结论： ①CD是⊙O的直径；②ABI;③AE=; ④AC=BC:⑤AD= 知识点三圆周角定理及其推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的； 推论1：同弧或等弧所对的圆周角__； 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角：90°的圆周角所对的弦是 知识点四 切线的性质与判定 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。注：圆心到切线的距离等于半径。 老师备课、家长伴学、学生提高 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 切线的判定：①定义法：满足切线的定义即可得证： 「具体内容：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线： ②判定定理法 运用情况：直线与圆的公共点明确： 步骤：如图3，连接OA,证明OA1CD: 简称：公共点明确，连半径，证垂直 B 0 C A D A D 图3 图4 具体内容：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线； 运用情况：直线与圆的公共点不明确： ③距离法 步骤：如图4，过点0作0A1CD于点A,证明0A=OB=T: 简称：公共点不明确，作垂直，证与半径相等 知识点五 圆的弧长和扇形相关计算 圆的周长 圆的周长与 C 弧长公式 扇形的弧长 l= 圆的面积 S= 圆与扇形的 面积公式 扇形的面积 分割求和法 连接0A,S阴影=S△A0C+S扇形A0B 直接和差法 S阴影=S四边形ABcD一S扇形EAD 阴影部分的 面积计算 连接OE, 构造和差法 S阴影=S扇形B0B十S△0cB-S扇形cOD 连接0C,0F, 等积转换法 S阴影=S扇形F0C CF//AB 老师备课、家长伴学、学生提高 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 三、 题型特训 类型一与切线的性质有关的证明与计算 角度1证明角度数量关系(2024.24) 真题回顾 例1 (2024陕西)如图，直线1与⊙0相切于点A,AB是⊙O的直径，点C,D在1上， 且位于点A两侧，连接BC,BD,分别与⊙O交于点E,F,连接EF,AF. A D (1)求证：LBAF=∠CDB: (2)若⊙0的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长. 针对练习 1.(2025·陕西西安·三模)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O,点C和点D都是圆 上的一点，过点D作⊙O的切线交BA延长线于点E,且LABC=2LDBE. D (1)求证：∠BED=∠BAC: (2)若5DE=30E,且AE=2,求AC的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 6 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2.(2026陕西宝鸡·二模)如图，点D在△ABC的边AC上，连接BD,以AD为直径的⊙O 经过点B,过点O作OEIAB,交BC于点E,BC是⊙O的切线 0 D (I)求证：LCOE=∠CBD: (2)若8C=25,⊙0的半径为4，求的值， 3.(2026陕西渭南一模)如图，△ABC内接于⊙O,且AB是⊙O的直径，延长AC至点D, 过点D作DE⊥AB于点E,过点C作⊙O的切线CF交DE于点F. E (1)求证：∠A=∠BCF; (2)若点E是0B的中点，⊙0的半径为10，simB-号，求AD的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 7 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 4.(25-26九年级下.陕西·期中)如图，以等边△ABC的边AB为直径作⊙0，交BC边于点 D,过点D作⊙O的切线DE,交AB的延长线于点E B D (1)求证：LC=2LBDE: (2)若DE=5V3,求⊙0的直径. 5.(2026陕西榆林·二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AB上，连接CE,以 CE为直径作⊙O,⊙O交AC于点D,交BC于点G,过点E作⊙O的切线交BC于点F. E (1)求证：EG=DC: (②)若cD=V3,⊙0的半径为 ,求CF的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 8 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 6.(2026陕西西安三模)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，过点C作⊙0的切线， 交AB的延长线于点D,过点B作CD的垂线，垂足为E,延长EB,交⊙O于点F. E F (1)求证：AF=2BC: (2)若0A=6,BF=5,求线段DE的长. 7.(2026陕西西安·三模)如图，△ABC内接于⊙0，∠ACB=120°，直线EF切⊙0于点 D,且EF I AB,连接BD,CD交AB于点U. C B D (1)求证：CD平分LACB: (2)若DUDC=9,求⊙0的半径长. 老师备课、家长伴学、学生提高 9 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 角度2证明线段数量关系(2025.24,2023副卷.24) 真题回顾 例2 (2025陕西)如图，点0在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙0与AB相切于点D, 与BC相交于点E,EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G,∠F=45°. (1)求证：AB=AC: (2)若simA=号，AB=8,求DG的长。 针对练习 1.（2026陕西咸阳·一模)如图，在△ABC中，点D在AB边上，以AD为直径作⊙0，分 别交AC、BC边于点G、E,点H在AD上方的⊙O上，连接EH、HG,∠H=45°，BC是⊙O 的切线。 H D B (1)求证：AB=BC (2)若8C=13,BD=3,求架的值. 老师备课、家长伴学、学生提高 10 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2.(2026陕西延安.一模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙0，AC与⊙0 交于点D,BC与⊙O交于点E,BF是⊙O的切线，且CF1BF D A B (1)求证：CD=CF; (2)若LBAC=45,AD=3V2,求BE的长度. 3.(2026陕西渭南·二模)如图，AB为⊙O的直径，点H在AB的延长线上，过点H作⊙0 的切线HC,C为切点，连接CO并延长交⊙O于点D,连接AC、AD、BC、BD. B H (1)求证：四边形ACBD为矩形： (2)若AB=2BH,求证：BD=CH. 老师备课、家长伴学、学生提高 11 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 4.(2026陕西西安·模拟预测)如图，AB为⊙0直径，CB是⊙0的切线，连接AC交⊙0 于点D,点E在AD上，连接EO并延长交CB于点F,且LA=LF. A E F B (1)求证：E为AD中点： (2)若BF=6,BC=4,求AD的长度. 5.(2026山东聊城一模)如图，AB为⊙O的直径，直线CE与⊙O相切于点E,交AB的延 长线于点M,过点C作CD L AB,垂足为D B M (1)判断△CEF的形状，并说明理由. (2)若BM=2,tanM=子求AE的长度。 老师备课、家长伴学、学生提高 12 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 6.(2026陕西商洛.一模)如图，△ABC内接于⊙0，AB为⊙O的直径，AD为⊙O的弦， 点H为BC的中点，连接OH,过点D作⊙O的切线DE交CB的延长线于点E,DE⊥CE, H (1)求证：AC=2DE: (2)若DE=3BE=3,⊙O的半径. 7.(2026安徽阜阳·三模)如图，△ABC内接于⊙0，AB=AC,AD与⊙0相切，CD1 AD,CD交⊙O于点E,连接AE并延长交BC的延长线于点F. D B (1)若LABC=60°，求证：BC=CF; (2)若⊙O的半径为5，BC=8,求AE·AF的值. 老师备课、家长伴学、学生提高 13 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 角度3证明线段位置关系(2025副卷.24) 真题回顾 例3 (2025陕西副卷)如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙0，分别交AC, AB于点D,E,连接DO并延长，交⊙O于点F,过点F作⊙O的切线，交CB的延长线于点G. D E (1)求证：DF II AB: (2)若c0s∠F0G=子，BG=2,求AC的长. 针对练习 1.(2026陕西渭南·二模)如图，AF是⊙0的直径，△ABC内接于⊙0，连接0C、0B, 过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点D,∠ACB=1∠COB. 0 (1)求证：ACIIBD: (2)0B与AC交于点E,若AF=6,AC=4V2,求tan-CBD的值. 老师备课、家长伴学、学生提高 14 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2.(2026陕西汉中.二模)如图，在口ABCD中，以AB为直径作⊙0，CD恰好为⊙0的切 线.点M为AB上方⊙O上的点，连接BM、CM M (1)求证：∠ABC=45°： (2)若BM=8,sin/BCM=专，求BC的长. 3.（2026陕西西安·三模)如图，AB是⊙O的直径，点C,E在⊙0上，连接AC,CE,EB, 过点C作⊙O的切线，交EB的延长线于点D,已知LABE=2LA. 0 D (I)求证：ED1CD: 2)若tanB=AB=2V5,求CD的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 15 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 4.(2026陕西榆林·二模)如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线CD,连接AC, AD,AC交⊙O于点E,点G是BE的中点，连接OG并延长交BC于点F,∠D=∠AEO E B (1)求证：OF‖AC: (2)若tanz0FB=子BC=6,求BD的长. 5.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB为⊙0的直径，C、D是⊙0上的两点，且分别 分布在AB的两侧，满足AD=2BC.连接AC,BC,AD,过点C作⊙O的切线交AB的延长 线于点F,连接DB并延长交CF于点E. D (1)求证：CF⊥DE; (2)若0A=5,AD=8,求DE的长 老师备课、家长伴学、学生提高 16 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺一圆的综合题 类型二与切线的判定有关的证明与计算 (2024副卷.24) 真题回顾 例4 (2024陕西副卷)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，BD是⊙O的直径， 作直线BE,使LABE=∠C,并与DA的延长线交于点E. D E B (1)求证：BE是⊙O的切线： (2)当AB=16,BC=12时，求DE的长. 针对练习 1.(2026陕西安康·一模)如图，AB为⊙0的直径，D为弦AC延长线上一点，且满足 CD=AC,连接BD,并过点C作BD的垂线，与BD交于点E,与AB的延长线交于点F. (1)求证：CF为⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为3，CF=4,求线段BE的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 17 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2.(2026广东深圳一模)如图，以AB为直径的⊙0经过点C,连接AC,BC.过点O作 OE BC,交AC于点E,交⊙O于点D,过点D作OF II AC,交AB的延长线于点F. B (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)连接BD,若AC=8,OD=5,求△BDF的面积. 3.（2026陕西西安·二模)如图，△ABC内接于⊙O,且AB是⊙0的直径，D是⊙0外一 点，连接CD,过点D作DE L AB于点E,DE交BC于点G,∠DCG=∠DGC. EO B G D (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为13，AC=10,CD=8,求CG的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 18 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 4.（2026陕西·一模)如图，已知AD为⊙0的直径，点B、C均在⊙0上，连接 OC、BC、AB、AC,AC平分∠BAD,延长AD至点P,连接CP,∠P=30°，∠BAD=60°. D (1)求证：CP是⊙O的切线； (2)若BCIAP,AC=3V3,求四边形OABC的周长. 5.(2026山东东营·二模)如图，在△ABC中，∠B=90,AM是角平分线，O是AC上一 点，经过点A、点M的⊙O分别交AB,AC于点E,点F. A M (1)判断BC与⊙0的位置关系，并说明理由： (2)若CF=2,0A:0C=3:5,求AE的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 19 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 6.新考法(2026广东汕头一模)问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的 切线？ 【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点P为⊙上一点，先作射线PO交⊙于点Q,再 以⊙上一点A为圆心（点A不与点P、Q重合），以AP长为半径画圆弧，交射线PQ于点B, 交射线BA于点C,连接PC. B (1)【推理证明】小明认为此时PC是⊙的切线.请你帮小明写出证明过程： (2)【数值计算】若sinzBCP=专，AP=12,求⊙0的半径. 老师备课、家长伴学、学生提高 20 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 7.新考法(2026广东汕头一模)已知：O是口ABCD的对称中心，BC与⊙0相切于点E. D R 图1 图2 (1)如图1，求证：直线AD是⊙0的切线， 小明建议：可以过点O作AD的垂线… 小红建议：也可以连接E0并延长. 选择其中一位同学的建议，完成证明： (2)如图2，当AB与⊙O相切时，□ABCD是菱形吗？说明理由. 老师备课、家长伴学、学生提高 21 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 8.(2026山东聊城二模)如图，△ABC内接于⊙O,AH是边BC上的高，过点A作射线 AD交BC的延长线于点D,且LCAD=LABC. (1)求证：AD为⊙O的切线： (2)若AB=2,2CD=V3AD,c0 S4CAH--复，求阴影部分的面积。 9.(2026甘肃白银一模)如图，AB是⊙0的直径，AC与⊙0相切于点A,连接C0,过 点O作OC的垂线，在垂线上取一点D,连接BD,使得BD=OB,过点C作BD的垂线分别 交BD,OD于点E,F C F D E (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若tanD=,0D=8,求C0的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 22 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 类型三不涉及切线的证明与计算(2023.24) 真题回顾 例5 (2023陕西)如图，△ABC内接于⊙0，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙0 于点D,并与CA的延长线交于点E,作BF L AC,垂足为M,交⊙O于点F E D 0 XM B (1)求证：BD=BC: (2)若⊙0的半径r=3,BE=6,求线段BF的长. 针对练习 1.(2026安徽阜阳·二模)如图，点A,B,C,D,E均在⊙0上，分别连接AB,AC, AD,BE,CE,AC平分LBAD,BE与AC相交于F,与AD相交于G,CE与AD相交于H. E D (1)求证：△AFG∽△EHG: (2)若AC1BE,AB=7,AD=10,求DH的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 23 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 2.(2026陕西铜I川一模)如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙0上的点，AC=CD,E是 AB上一点，连接CE并延长交AD于点F,延长AD,CB交于点G,且LBCE=LG E D (1)求证：CF1AB; (2)若EF=2,AG=14,求AB的长. 3.（2026陕西商洛·二模)如图，已知△ABC内接于⊙0，且AB=AC.连接C0并延长， 交⊙O于点E,连接AE,过点B作BD⊥AC于点D,交CE于点F. E B (1)求证：∠ACE=LDBC: (2)若tan-BAC=牙，0C=10,求0F的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 24 张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺—圆的综合题 4.(25-26九年级下.北京·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆， 交AC于点E,BC于点F.分别过点A,B作AG L EF于点G,BH⊥EF于点H. 0 (1)求证：∠BAC=2LGAE (2)已知AG=3,GE=2,求BH的长 5.（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中)如图，四边形ABEF内接于⊙0，延长AF,BE交于 点C,点M是AB的中点，连接ME交AB于点H,且EF=EC, M B (1)求证：AB=AC: (2)当M,O,E三点共线时，若AB=6,sinC=年，求⊙0的半径. 老师备课、家长伴学、学生提高 252026陕西中考数学考前冲刺——圆的综合题张学远新中考 · 个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺——圆的综合题（第24题） 目 录 一、考情分析 2 （一）整体考情概览 2 （二）核心考法与解题技巧 2 二、必备知识 4 三、题型特训 6 类型一 与切线的性质有关的证明与计算 6 角度1 证明角度数量关系/6 角度2 证明线段数量关系/16 角度3 证明线段位置关系/28 类型二 与切线的判定有关的证明与计算 35 类型三 不涉及切线的证明与计算 50 相关文档 1.教师版word 2.学生版word、pdf 3.参考答案详解详析pdf 选题：吴莎莎 策划：吴莎莎 审校：贾廷 阮长鑫 陈佳欢 策划团队：张学远新中考·个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺——圆的综合题（第24题） 一、考情分析 结合陕西中考数学近三年（2025-2023年）的真题，对第24题“圆的综合题”进行详细考情分析，如下： （一）整体考情概览 题型：解答题；分值：固定为8分；题位：连续多年稳定在第24题。 核心模块：主要围绕“圆”展开，常综合考查圆的基本性质、与圆有关的位置关系以及三角形等相关知识。 年份 设问形式 辅助线作法 考查知识点 2025 （1）证线段相等 （2）求线段长 （1）连半径 切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质 2025 副卷 （1）证平行 （2）求线段长 （2）连弦 切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理 2024 （1）证角相等 （2）求线段长 — 切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质 2024 副卷 （1）证切线 （2）求线段长 — 切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质 2023 （1）证线段相等 （2）求线段长 （1）连直径 （2）连弦 圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质 2023 副卷 （1）证线段相等 （2）求线段长 （1）连半径、连弦 （2）作垂直 切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质 （二）核心考法与解题技巧 1. 核心考法 陕西24题“圆的综合题”通常包含证明和计算两问。我们将该题型详分为三大类，设问分析如下表： 类型 考情 第（1）问 第（2）问 类型一 与切线的性质有关的证明与计算 2025，2025副卷 2024，2023副卷 ①证明角度数量关系 ②证明线段数量关系 ③证明线段位置关系 求线段长 类型二 与切线的判定有关的证明与计算 2024副卷 切线的判定 类型三 不涉及切线的证明与计算 2023 同“类型一” 2. 证明的常见设问及思路 （1）证明角度数量关系——证明两角相等 找同角/等角的余角或补角：当图中出现直角或平角时，这是最常用的方法；【2024.24（1）】 利用平行线：寻找同位角、内错角相等； 利用等腰三角形：等边对等角； 利用圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等； 利用全等或相似三角形：对应角相等。 （2）证明线段数量关系——证明两线段相等 在同一三角形中：证明它是等腰三角形（等角对等边）；【2025.24（1），2023.24（1）】 在两个三角形中：证明这两个三角形全等；【2023副卷.24（1）】 利用特殊四边形：如证明是矩形、菱形、正方形的对边或对角线等； 利用中点性质：证明某点是线段的中点。 （3）证明线段位置关系——证明平行或垂直 平行：主要利用平行线的判定定理；【2025副卷.24（1）】 垂直：证明夹角为90°，常利用直径所对的圆周角是直角、切线的性质等。 （4）切线的判定 ①满足切线的定义即可得证；【2024副卷.24（1）】 ②公共点明确，连半径，证垂直；③公共点不明确，作垂直，证与半径相等。 3. 计算的常见设问及方法 （1）求线段长（半径/直径/弦） ①锐角三角函数：出现特殊角（30°/45°/60°）或已知三角函数值时， 若此线段在直角三角形，可将三角函数值转化为直角三角形的边长比； 若没有直角三角形，可作垂直构造直角三角形； 若线段和角不在同一直角三角形，可导角找等角或同角的三角函数值相等，实现不同直角三角形的边长转换； ②勾股定理：此线段在直角三角形中或者构造直角三角形，可用勾股定理进行计算；【2025副卷.24（2）】 ③相似三角形的判定与性质：利用对应边成比例来求解线段长，常见的相似模型有“A字型”、“8字型”等。【A字型：2024.24（2），2024副卷.24（2），2023.24（2）；8字型：2025.24（2），2023副卷.24（2）】 （2）求角度/三角函数：一般通过倒角进行计算。 （3）求弧长/周长：直接利用周长/弧长公式进行计算。 （4）求扇形/阴影面积：直接利用扇形面积公式，或结合和差法、等积转化法等方法进行计算。 4. 圆中常见辅助线作法 （1）连半径：看到切点，连半径，得垂直，这是处理切线问题的第一步。 （2）连直径：当遇到90°的圆周角，可连接其两边与圆的交点构造直径。 （3）连接弦：①当遇到直径时，想直径所对的圆周角是90°（圆周角定理推论2），连接弦是构造直角三角形；②当需要利用圆周角定理时，可连接相关点构成弦。 （4）作垂直（作高）：当需要运用锐角三角函数或勾股定理时，可作垂直构造直角三角形。 二、必备知识 知识点一 弦、弧、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等 ，所对的弦 相等 。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 。 “知一推二”——如图1，若 ，则, ；若，则 ，；若 ，则 ，． 图1 图2 知识点二 垂径定理及其推论 定理：垂直于弦的直径 平分 弦，并且 平分 弦所对的两条弧； 推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直 于弦，并且 平分 弦所对的弧． “知二推三”——如图2，根据圆的对称性，有以下五个结论： 是的直径； ； ； ； . 知识点三 圆周角定理及其推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 ； 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ； 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是 直径 。 知识点四 切线的性质与判定 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。注：圆心到切线的距离等于半径。 切线的判定：①定义法：满足切线的定义即可得证； 图3 图4 知识点五 圆的弧长和扇形相关计算 圆的周长与弧长公式 圆的周长 扇形的弧长 圆与扇形的面积公式 圆的面积 扇形的面积 阴影部分的面积计算 分割求和法 连接， 直接和差法 构造和差法 连接， 等积转换法 连接，， 三、题型特训 类型一 与切线的性质有关的证明与计算 角度1 证明角度数量关系（2024.24） 真题回顾 例1 （2024陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【答案】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴，∴， ∵是的直径，∴， ∴，∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A，∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径，∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴，即，∴． 针对练习 1．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，以为直径作，点C和点D都是圆上的一点，过点D作的切线交延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到，则可得到，，根据等边对等角和三角形外角的性质可证明，则可证明，得到，即； （2）设，由勾股定理得，则，据此求出，得到；根据，得到，则． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的直径，∴， ∴； ∵是的切线，∴， ∴； ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴，即； （2）解：由（1）得， ∵，∴可设， ∴由勾股定理得， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴； ∵， ∴， ∴． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，点在的边上，连接，以为直径的经过点，过点作，交于点，是的切线． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的值． 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，进而由平行线的性质得，即得，再根据切线的性质得，最后根据即可求证； （）利用勾股定理可得，即得，再利用解答即可求解． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，∴， ∴， ∵是的切线，∴， ∴，即， 又∵，∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴． 3．（2026·陕西渭南·一模）如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，的半径为，，求的长． 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理以及三角函数定义等． （1）连接，根据圆的切线性质得，再利用直径所对的圆周角是直角得，根据等腰三角形的性质，由得，即可得证； （2）先根据三角函数定义，得，求出的长，结合勾股定理求出的长，从而求得，进而得到，最后由勾股定理得：，即可求得的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ，即， ， 是的直径，， ， ， ，， ； （2）解：的半径为，， 在中，， ， ， ， 点是的中点，， ， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 即，得， ，， 故的长为． 4．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，以等边的边为直径作，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的直径． 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，再证明是等边三角形得出，由切线的性质可得，求出，即可得证； （2）由（1）可得，再解直角三角形求出，即可得出结果． 【答案】（1）证明：如图，连接， 为等边三角形， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， 是的切线， ，即， ， ． （2）解：由（1）知是等边三角形，， 在中，，即， 解得，， 的直径为10． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点E在上，连接，以为直径作，交于点D，交于点G，过点E作⊙O的切线交于点F． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的长． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，即，又，则，得出，即可证明． （2）连接， 根据圆周角定理得出，根据题意可得，根据，得出​．在中，由勾股定理求出​，根据是的切线，得出，证明 ，则，即可解答． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵，即，∴， ∴，∴． （2）解：连接， ∵是的直径，∴， ∵半径为， ∴直径， ∵，∴​． 在中，由勾股定理： ​， ∵是的切线，∴， 又，， ∴ ，∴， 则，即，解得． 6．（2026·陕西西安·三模）如图，为的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点B作的垂线，垂足为E，延长，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，确定，再由圆周角定理及等量代换确定，即可证明； （2）过点O作，根据等腰三角形的性质得出，确定，再由相似三角形的判定和性质即可求解． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 根据题意得为的切线，∴， ∵，∴， ∴， ∵，， ∴，∴； （2）过点O作，如图所示： ∵，∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴，即，解得：． 7．（2026·陕西西安·三模）如图，内接于，，直线切于点D，且，连接交于点U． (1)求证：平分； (2)若，求的半径长． 【分析】（1）连接，利用切线性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”得到，再结合，得出，再根据垂径定理的推论得出，最后根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出即可证明； （2）先证明，根据相似三角形的性质求出，然后由圆周角定理得到，再解即可． 【答案】（1）解：连接， 直线切于点D， ． 又 ， ． 为的半径， ， ， 平分． （2）解：连接， ，， ， ，即， 已知， 所以，∴（舍负）， ∵，平分， ∴，∴， 过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 的半径长为． 角度2 证明线段数量关系（2025.24，2023副卷.24） 真题回顾 例2 （2025陕西）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. （1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【答案】（1）解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点，∴， ∵，∴，即， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）解：∵，，∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴，解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵，∴， ∴，∴. 针对练习 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在边上，以为直径作，分别交、边于点G、E，点H在上方的上，连接、，，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【分析】（1）根据圆周角定理可知，进而可知，根据角度关系即可证明； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【答案】（1）证明：连接,, ∵∴, 在中，，∴， ∵是的切线，∴ ∴,∴, ∴∴ （2）解：∵,, ∴,∴, ∵, ∴,∴． 2．（2026·陕西延安·一模）如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，是的切线，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【分析】（1）根据切线的性质，可得，再由是直径，可得，再由，可得，可得，再利用角平分线定理即可求证； （2）连接，，证明是等腰直角三角形，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，据此计算即可求解． 【答案】（1）证明：∵是的切线， ∴，∴， ∵是直径，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴平分； ∵，且，∴； （2）解：如图，连接，， ∵是直径，∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，，∴， ∴是的中位线，∴， ∴， ∴的长度． 3．（2026·陕西渭南·二模）如图，为的直径，点在的延长线上，过点作的切线，为切点，连接并延长交于点，连接、、、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求证：． 【分析】（1）根据对角线互相平分可得四边形为平行四边形．再根据对角线相等，可得四边形为矩形； （2）由切线的性质得，根据可得，进而证明，，结合矩形中即可证明． 【答案】（1）证明： 点、、、均在上， ，， 四边形为平行四边形． 和均为的直径， ，四边形为矩形． （2）证明：， ． 为的切线， ，即． 在中，， ，， ∴， ∵，， ，． 四边形为矩形， ，． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为直径，是的切线，连接交于点，点在上，连接并延长交于点，且． (1)求证：为中点； (2)若，，求的长度． 【分析】（1）根据切线的性质可得：，从而得到，再由垂径定理解答即可； （2）连接，证明，可得，设，则，，，根据，可得，从而得到，进而得到，，然后在和中，利用勾股定理解答即可． 【答案】（1）证明：为直径，是的切线， ． ，， ， ，即， ，即为中点； （2）解：如图，连接， ，， ，， ，，， ∵，，， 设，则，， ， 为直径， ，， 由（1）得：， ， ， ，即，解得， ，， 在中，， ， 在中，． 5．（2026·山东聊城·一模）如图，为的直径，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作，垂足为． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，，求的长度． 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）设半径为R，，，则有，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而可得，最后根据勾股定理进行求解即可． 【答案】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 连接， 切于E， ， ∴． ， ． ， ， ， ，∴为等腰三角形． （2）解：设半径为R，，． 在中，，∴． 连接，如图所示： 为直径， ． ∴， ∵切于E， ， ∴． ∵，∴，∴， ∵，∴， ，即， ∴，解得：（负根舍去）， ∴，∴,∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）． 6．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，为的直径，为的弦，点为的中点，连接，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，的半径． 【分析】（1）连接，证明是的中位线，得到且，证明四边形是矩形，得到，即可得证； （2）连接，证明，得到，设，则，进而求出的长，勾股定理求出的长即可． 【答案】（1）证明： 连接， ∵是的切线，∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵是直径，∴， ∴ ∵，， ∴四边形是矩形，∴， ∴，即； （2）∵，∴， 设的半径为，则． 由（1）知． ∵是直径，∴． 连接，则， ∴， ∵是切线，∴， ∴，∴， ∴， 又∵，∴， ∵，∴， ∴，∴ 设，则， ∴，解得，∴． 在中，由勾股定理：，∴． 7．（2026·安徽阜阳·三模）如图，内接于，，与相切，，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)若的半径为5，，求的值． 【分析】（1）结合切线的性质和三角形内角和定理等计算出与的度数，即可证明． （2）先根据勾股定理计算出，再求证，得到，与的数量关系，即可得到的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 如图，连接．连接，，延长交于点G， ∵为的切线，，即． 又∵，， ∴直线垂直平分线段， ∴． ，∴， ∴，∴， ∴，， ∴，∴，∴． （2）解：如图，连接．连接，，延长交于点G， ∵，∴． 由（1）可知直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴． 又∵， ∴． 又∵，∴， ∴，∴． 角度3 证明线段位置关系（2025副卷.24） 真题回顾 例3 （2025陕西副卷）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【答案】（1）证明：，． ，， ，； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点，． 在中，， 解得，， ，． 为的直径，． 在中，， ． ，． 在中，． 针对练习 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，是的直径，内接于，连接，过点B作的切线交的延长线于点D，． (1)求证：； (2)与交于点E，若，，求的值． 【分析】（1）先推导出得到则推导出则，即可解答； （2）先求出 ，得到继而推导出则，即可解答． 【答案】（1）证明∶ 是 的半径， 是 的切线， （2）解∶ 是 的直径， ， ． 2．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，以为直径作，恰好为的切线．点为上方上的点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，则，进而根据半径相等可得，即可得证； （2）连接，则，根据，求得，则，进而利用勾股定理，即可求解． 【答案】（1）证明：如图，连接， 是的切线，， 四边形是平行四边形， ， ，∴是等腰直角三角形， ，即． （2）解：连接，则， 是的直径，， ，即，     ， ∴在中，． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线，交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）连接圆心O与点C，根据圆周角定理可知，，得到，由平行线判定定理，得到，因为是圆的切线，所以，再由平行线的性质，得到，即可证明； （2）连接，得到，求出，由，得到,由（1）知，得到，根据勾股定理计算即可得到答案． 【答案】（1）证明：连接圆心O与点C，如下图： 是劣弧所对的圆周角，是劣弧所对的圆心角， ， ,， （内错角相等，两直线平行）， 是圆的切线，， ，． （2）解：如图，连接， 是的直径，， ,， ，， 在中，， ，， ， ， ，，， 由（1）知，， ，， 在中，， ， ． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，是的直径，过点作的切线，连接，，交于点，点是的中点，连接并延长交于点，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 【分析】（1）根据垂径定理可得，由直径所对圆周角等于可得，由此即可得出结论； （2）由已知可得，由是的切线得出，结合等角的余角相等和平行线性质证明，最后结合正切求边长即可. 【答案】（1）证明：连接，交于， ∵，点是的中点，∴， 又∵是直径，∴， 即，∴ （2）解：∵，∴， 又∵，∴， ∵是的切线，是直径， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得：，∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，C、D是上的两点，且分别分布在的两侧，满足．连接，，，过点C作的切线交的延长线于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由得，则，根据内错角相等，两直线平行得，根据切线的性质得，即可得出结论； （2）延长交于点G，连接，易证四边形是矩形，则，，根据垂径定理得，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【答案】（1）证明：连接， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵是的切线， ∴，∴； （2）解：如图，延长交于点G，连接， 由（1）知，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵，∴， ∴， ∴． 类型二 与切线的判定有关的证明与计算（2024副卷.24） 真题回顾 例4 （2024陕西副卷）如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质解决此题的关键． （1）由圆周角定理得，，整理得出，进而即可得证； （2）由勾股定理得出，然后再证，得出，进而代入求值即可得解． 【答案】（1）证明：是的直径， ，， ，， ， ，， 即， 是的直径， 是的切线； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得，， ，为的直径， 是的直径， ，， 由勾股定理得，， 由（1）知， ， 又为公共角，， ，，． 针对练习 1．（2026·陕西安康·一模）如图，为的直径，为弦延长线上一点，且满足，连接，并过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求线段的长． 【分析】（1）连接，可得是的中位线，即，根据平行线性质即可解答； （2）求得，证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【答案】（1）证明：如图，连接， 为的直径，． ，是的中位线，， ，， 是半径， 为的切线， （2）解：由（1）可知，则 ，， ， ，， ，． 2．（2026·广东深圳·一模）如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的面积． 【分析】（1）证明即可得证； （2）过点D作于点G，根据勾股定理，三角函数的应用，结合的面积为：求解即可． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴是的切线． （2）解：过点D作于点G， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积为：． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，内接于，且是的直径，是外一点，连接，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求的长． 【分析】（1）连接，利用可得 ，又根据等边对等角可得，进而可得 ，结论即可论证； （2）通过论证 即可得出结论． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ，即， 是的切线． （2）解：是的直径，， ，， ，， ，， ，． 4．（2026·陕西·一模）如图，已知为的直径，点均在上，连接，平分，延长至点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求四边形的周长． 【分析】（1）由平分，得，再根据和三角形外角的性质，可得．再根据三角形内角和可求出，则可得，进而即可求证； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据，证明其为菱形．由得，在中，，进而求出菱形的周长． 【答案】（1）证明：，平分， ， ，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ，四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 由（1）知，， ， 在中，， 菱形的周长，即四边形的周长为12． 5．（2026·山东东营·二模）如图，在中，，是角平分线，是上一点，经过点、点的分别交，于点，点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【分析】（1）利用等腰三角形与角平分线证明，两直线平行同位角相等，从而得出答案； （2）连得直角三角形，利用平行线性质得到对应角相等证明，根据相似比和等量代换求解． 【答案】（1）解：与相切，理由如下： 连接，如图， ∵是角平分线，∴， ∵，∴， ∴，∴． ∴，∴， ∵为的半径，∴与相切． （2）解：连接，如图， ∵为的直径，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，， ∴，∴， ∴，∴． 6．新考法 （2026·广东汕头·一模）问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？ 【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点、重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接． (1)【推理证明】小明认为此时是的切线．请你帮小明写出证明过程； (2)【数值计算】若，，求的半径． 【分析】本题主要考查圆的切线判定定理、圆周角定理(直径所对圆周角是直角)、等腰三角形性质以及锐角三角函数的定义。重难点在于利用辅助圆(以A为圆心)的性质证明垂直，以及通过角度转换，利用三角函数求半径． （1）根据直径所对圆周角是直角，结合圆的切线判定定理，即可证明，从而求证是的切线． （2）根据等腰三角形性质以及锐角三角函数的定义，即可求证，从而利用三角函数求半径． 【答案】（1）证明：依题意得． 点在同一条直线上， 为的直径． ，即． 为的半径， 为的切线． （2）解：如图，连接， 为的直径， ． ， ， ， ． ． ． ， ． ． 的半径为． 7．新考法 （2026·广东汕头·一模）已知：O是的对称中心，与相切于点E． (1)如图1，求证：直线是的切线． 小明建议：可以过点O作的垂线…… 小红建议：也可以连接并延长…… 选择其中一位同学的建议，完成证明： (2)如图2，当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【分析】（1）选择小明同学的建议：过点O作，连接，，证明，可得，即可解答；选择小红同学的建议： 连接，并延长交于点F，证明，可得，即可解答； （2）当与相切时，切点记为点，证明，可得，即可解答． 【答案】（1）解：选择小明同学的建议： 过点O作，连接，，如图： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴，即， ∴， ∴，∴， ∵∴直线是的切线； 选择小红同学的建议： 连接，并延长交于点F，如图： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点，∴， ∵，∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，∴是切点， 即直线是的切线； （2）解：是菱形，理由如下： 当与相切时，切点记为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴，∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 8．（2026·山东聊城·二模）如图，内接于，是边上的高，过点A作射线交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）先根据圆周角定理以及三角形内角和的关系得到，再由角度的关系得到，进行等量代换，得到，由此可证切线； （2）先由，得到边长成比例进而求解的长度，结合，可求解，进而可得的度数，由圆周角定理即可求解的度数，再由等边三角形的面积和扇形面积即可求解阴影面积． 【答案】（1）证明：连接，，如图， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即，∴． ∵是的半径，∴为切线． （2）解：连接，，如图， ∵，， ∴，∴， 由，得．∴， 由，可得， 在中，，∴， 由勾股定理可得， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，则为等边三角形， ∴， ∴的高为， ∴， ∴，∴． 9．（2026·甘肃白银·一模）如图，是的直径，与相切于点A，连接，过点O作的垂线，在垂线上取一点D，连接，使得，过点 C作的垂线分别交于点 E，F． (1)求证：是的切线； (2)若 ，，求的长． 【分析】（1）过点作于点，证明，再证明；，，证明得，从而可得是的切线（作垂直，证相等）； （2）过点作交的延长线于点，设，则，设，求出,,得出，由得，求出，，由勾股定理求出． 【答案】（1）证明：过点作于点， ∵与相切于点A， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； ∵，∴， ∵，∴， ∴；又， ∴，∴， ∴，∴， 又， ∴， ∴，∴是的切线； （2）解：过点作交的延长线于点， 设，则，设， ∵， ∴， ∴,∴, 在中，， ∴，解得：， 在中，， ∴，∴， ∴，∴， 又， ∴，∴， 在中，． 类型三 不涉及切线的证明与计算（2023.24） 真题回顾 例5 （2023陕西）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【答案】（1）证明：如图，连接， 则， ，， ．； （2）如图，， 为的直径，． ， ， ，， 又，． ， ，， 连接，则，， ，． 针对练习 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，点A，B，C，D，E均在上，分别连接，，，，，平分，与相交于F，与相交于G，与相交于H． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合角平分线的定义，可证明，再结合对顶角相等，即可证明结论； （2）连接，先证明，得到，可得，再证明，即可求得答案． 【答案】（1）解：平分，， 是和所对的弧，， ，； （2）解：连接， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ． 2．（2026·陕西铜川·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，E是上一点，连接并延长交于点F，延长，交于点G，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）根据为的直径，可得，根据得出，进而得出，即可得出； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而求得，勾股定理求得，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【答案】（1）证明：是的直径， ．． ，． ． ，． ，即． （2）解：，，， ，． ． ，． ．     由（1）可知，， ． ，． ，即．． 3．（2026·陕西商洛·二模）如图，已知内接于，且．连接并延长，交于点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）由为的直径可得，再证明，再由，可得，从而得出，最后可得结果； （2）连接，过点作于点，先求得，可得，设，则，由中位线性质可得，，由勾股定理可列方程，解得，求得，，，再证明，可求得，最后求得结果． 【答案】（1）证明：为的直径， ，， ，， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， 为的直径，， ， ，， 设，则， ，点是的中点， 点是的中点，是的中位线， ，， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， ，，， 由（1）知， ， ， 又，， ，， ． 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F．分别过点A，B作于点G，于点H． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出，结合圆的性质，证得，再结合等腰三角形的性质即可得证； （2）先证出，得到，再根据勾股定理即可求出； 【答案】（1）证明：连接， ∵为的直径， ， ， 又 ∵，， ， ，， 又， ，， ．即． （2）解：过点作于点，则， ∵，，， ∴， ，， ，， ， ，， 设， ，， 在中，， ， 解得：（舍去），∴， ∴中，． 5．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，四边形内接于，延长，交于点，点是的中点，连接交于点，且， (1)求证：； (2)当，，三点共线时，若，，求的半径． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，结合等边对等角，推出，即可得出结果； （2）连接，根据垂径定理，圆周角定理，分别解直角三角形和直角三角形，即可得出结果． 【答案】（1）解：∵四边形内接于， ∴， 又∵，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）解：连接，如图， ∵，，三点共线，∴为的直径， ∴，∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 由（1）知：，∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，∴，∴， ∴的半径. 老师备课、家长伴学、学生提高1 学科网（北京）股份有限公司 $